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\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\begin{satz}[Majoranten Kriterium]
    Es sei $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ eine reelle Reihe ($b_n \in \R$ $\forall n \in \N)$.
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Ist $\sum_{n=1}^{\infty} b_n $ konvergent und gilt
            $|a_n| \le b_n$ ($a_n \in \mathbb{C}$ oder $\R$ ) für
            fast alle $n \in \N$ (d.h. $\forall n \ge N_0)$, so
            ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ absolut konvergent.

            Die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ heißt Majorante der Reihe
            $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
        \item Ist $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ divergent und $a_n \in \R$ mit
            $a_n \ge |b_n|$ für fast alle $n \in \N$, so ist
            die reelle Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ divergent. Die
            Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} b_n $ heißt Minorante der Reihe
            $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $(s_n)_{n\in\N}, (t_n)_{n\in\N}$ Partialsummen von
            $(a_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N}$. Dann 
            \[
            |s_n - s_m| \le \sum_{k=m+1}^{n} |a_k| \le \sum_{k=m+1}^{n} b_k
            = |t_n - t_m|
        .\] $\implies (s_n)_{n \in \N}$ ist C.F.\\
        $\implies (s_n)_{n \in \N}$ konvergiert.
        \item Ann. $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ konvergiert
            $\implies \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ konvergente Majorante
            zu $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \implies \sum_{n=1}^{\infty} b_n$
            konvergiert. Widerspruch.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}$.
            \[
                2^{n} = (1+1)^{n} \ge 1+n \quad \forall n
                \implies \frac{n}{2^{n}} \le \frac{n}{1+n} < 1 \quad \forall n
            .\] $\implies$
            \[
            \frac{n}{4^{n}} \le \frac{n}{2^{n}} \cdot \frac{1}{2^{n}} < \frac{1}{2^{n}} \quad \forall n
        .\] $\implies \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n}$ konvergente
        Majorante für $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}$.
    \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} } $ ist divergent, weil
        $\frac{1}{\sqrt{n} } \ge \frac{1}{n}$ ($\sqrt{n} \ge 1$)
        $\implies \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergente
        Minorante.
\end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{satz}[Quotientenkriterium]
    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge mit $|a_n| \neq 0$ für fast alle
    $n \in \N (a_n \in \mathbb{C} \text{ oder } \R)$.
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Falls ein $0 < q < 1$ existiert mit
            \[
            \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \le q \quad \forall n \in \N, n \ge N_0
            ,\] dann ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ absolut konvergent.
        \item Falls $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \ge 1 \quad \forall n \ge N_0$,
            so ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ divergent.
    \end{enumerate}
\end{satz}

Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht sicher.

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\forall n \ge N_0$ gilt:
            \[
            |a_n| \le q |a_{n-1}| \le  \ldots \le q^{n-N_0} |a_{N_0}|
            .\] $\implies \frac{|a_{N_0}|}{q^{N_0}} \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}$
             ist konvergente Majorante.
         \item $|a_n| \ge  |a_{n-1}| \ge \ldots \ge |a_{N}| \implies
             (a_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies \sum_{n=1}^{\infty} a_n$
             divergiert.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bsp}[Exponentialreihe]
    $\forall z \in C$ :
    \[
        \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} =: \text{exp}(z) \text{ oder } e^{z}
    .\] Zahl $e := \text{exp}(1)$
    $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} $ absolut konvergent, für alle
    $z \in \mathbb{C}$.
    \[
    a_n := \frac{z^{n}}{n!} \implies \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =
    \frac{\frac{|z|^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|z|^{n}}{n!}} = \frac{|z|}{n+1}
    .\] Für $n \ge 2 |z|$ gilt:
    \[
    \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{|z|}{n+1} \le \frac{1}{2} =: q < 1
    .\] 
\end{bsp}

\begin{satz}[Wurzelkriterium]
    Es sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe
    ($a_n \in \R$ oder $\mathbb{C}$ ).
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Falls $\exists \quad 0 < q < 1$ und $N_0 \in \N$ mit
            \[
                \sqrt[n]{|a_n|} \le q \quad \forall n \ge N_0
            ,\] so ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ absolut
            konvergent.
        \item Falls $\exists N_0$ mit $\sqrt[n]{|a_n|} \ge 1 $ $\forall n \ge N_0$, so ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ divergent.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}
        \item Für $n \ge N_0$ ist $|a_n| \le q^{n} \implies$ konvergente
            Majorante
        \item $\sqrt[n]{|a_n|}  \ge 1 \implies |a_n| \ge 1 \implies (a_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies$ Divergenz.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bem}
    Im Quotientenkriterium und Wurzelkriterium wird gefordert:
    \[
        \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \text{ bzw. } \sqrt[n]{|a_n|}  \le q < 1
    .\] Die Forderung $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ bzw. $\sqrt[n]{|a_n|} < 1$
     reicht nicht: Bsp.: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ divergent.
\end{bem}

\begin{satz}[Verdichtungskriterium von Cauchy]
    Sei $(a_n)_{n\in\N}$, $a_n \in \R_{+}$, eine reelle, positive
    monoton fallende Nullfolge. Dann gilt
    \[
    \sum_{k=1}^{\infty} a_k \text{ konvergent } \iff \sum_{k=1}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} \text{ konvergent}
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    durch Übung.
\end{proof}

\begin{bsp}
    $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$
    \begin{enumerate}
        \item $\alpha \le 0$: $\left( \frac{1}{n^{\alpha}} \right)_{n \in \N} $ 
            keine Nullfolge $\implies \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$
            divergent.
        \item $\alpha > 0$ :
            \[
                \left( \frac{1}{n^{\alpha}} \right)_{n \in \N}
            .\] eine monoton fallende Nullfolge mit
            \[
                \sum_{k=1}^{\infty} 2^{k} \frac{1}{(2^{k})^\alpha}
                = \sum_{k=1}^{\infty} (\underbrace{2^{1-\alpha}}_{=: q})^{k} =
                \sum_{k=1}^{\infty} q^{k}
            .\] mit $q = 2^{1-\alpha}$

            Falls $|q| < 1 \iff $ konvergenz \\
            d.h. $\alpha > 1 \iff $  konvergenz
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\subsection{Umordnen von Reihen}

\begin{definition}[Umordnung]
    Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe und $\tau: N \to N$ eine
    bijektive Abbildung.

    Dann heißt $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\tau(n)} =
    a_{\tau(1)} + a_{\tau(2)} + \ldots$ eine Umordnung der Reihe
    $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
\end{definition}

\begin{bsp}
    \[
        \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots \text{ konvergiert}
    .\] Umordnung:
    \begin{align*}
        1 - \frac{1}{2} &+ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7}
        - \frac{1}{6} + \underbrace{\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15}}_{> 4 \frac{1}{15} > \frac{1}{4}}
        - \frac{1}{8} \\
                        &+ \ldots +
        \underbrace{\left( \frac{1}{2^{n}+1} + \frac{1}{2^{n}+3} + \ldots + \frac{1}{2^{n} + 2^{n} - 1} \right)}_{> 2^{n-1} \frac{1}{2^{n+1} - 1} > \frac{1}{4}} - \frac{1}{2n +2}
    .\end{align*}
    divergiert!

    $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ konvergent, aber nicht
    absolut konvergent, deshalb kann eine Umordnung die
    Konvergenzeigenschaften drastisch ändern !!!
\end{bsp}

\begin{satz}[Umordnungssatz]
    Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine absolut konvergente Reihe.

    Dann konvergiert jede Umordnung dieser Reihe absolut gegen
    denselben Grenzwert.
\end{satz}

\begin{proof}
    Forster.
\end{proof}

\begin{bem}
    Ist $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine reelle Reihe, welche konvergiert, 
    aber nicht absolut, so gibt es zu jedem $c \in \R$ oder $c = \pm \infty$
    eine Umordnung $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\tau(n)}$, welche
    gegen $c \in \R$ konvergiert (oder divergiert).
\end{bem}

\subsection{Das Cauchy-Produkt von Reihen}

\begin{satz}[Cauchy-Produkt]
    Seien $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ und $\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ 
    absolut konvergente Reihen. Für $n \in \N_0$ sei $c_n$ definiert
    durch
    \[
        c_n := \sum_{k=0}^{\infty} a_k b_{n-k} = a_0b_n + a_1b_{n-1}
        + \ldots + a_nb_0
    .\] Dann ist die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} c_n$ absolut konvergent
    mit $\sum_{k=0}^{\infty} c_n = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right)
    \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \right)$ 
\end{satz}

\begin{proof}
    Forster.
\end{proof}

\begin{bem}
    Die Voraussetzung der absoluten Konvergenz ist wichtig:
    \[
    \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text{ mit }
    a_n := b_n := \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1} }
    .\] konvergieren, aber ihr Cauchy-Produkt:
    \[
    c_n := \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}, \quad n \in \N_0
    .\] divergiert
\end{bem}

\begin{proof}
    durch Übung.
\end{proof}

\begin{bsp} Für $x, y \in \mathbb{C}$ gilt
    \[
        \text{exp}(x+y) = \text{exp}(x)\cdot \text{exp}(y)
    .\] 

    \begin{proof}
        \[
            \text{exp}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!},
            \text{exp}(y) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{n}}{n!}
        .\] Bilde Cauchy-Produkt
        \[
        .\] 
        \begin{align*}
            c_n &:= \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} \\
            &= \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}
            \cdot \frac{y^{n-k}}{(n-k)!} \\
            &= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n!} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}
            x^{k} y^{n-k} \\
            &= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}y^{n-k}
            = \frac{1}{n!} (x+y)^{n}
        .\end{align*}
    \end{proof}
\end{bsp}

\begin{korrolar}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\forall z \in \mathbb{C}$ gilt $(\exp(z))^{-1} = \exp(-z)$
        \item $\forall x \in \R$ gilt $\exp(x) > 0$
        \item $\forall n \in \Z$ ist
            \[
                \exp(n) = e^{n} = \begin{cases}
                    e \cdot e \cdot \ldots \cdot e & n > 0 \\
                    e^{-1} \cdot e^{-1} \cdot \ldots \cdot e^{-1} & n < 0 \\
                    1 & n = 0
            \end{cases}
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{korrolar}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\exp(-z)\cdot \exp(z) = \exp(-z+z) = \exp(0) = 1$
        \item Für $x \in \R, x \ge 0$ ist $\exp(z) = 1 + x + \ldots > 0$

            Für $x < 0 $ ist $(\exp(x))^{-1} = (\exp(-x)) > 0 \implies \exp(x) > 0$.
        \item Zz.: $\exp(n) = e^{n}$ $\forall n \in \N$
            
            Vollständige Induktion:\\
            $n = 1$ : $\exp(1) = e$ nach Definition\\
            $n \to n+1$ : $\exp(n+1) = \exp(n) \cdot \exp(1) =e^{n} \cdot e
            = e^{n+1}$

            Für $n \in \Z$ mit $n < 0$ gilt:

            $(\exp(n))^{-1} = \exp(-n) = e^{-n} \implies \exp(n) = e^{n}$
    \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Potenzreihen}

\begin{definition}
    Eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $z_0 \in \mathbb{C}$ ist
    definiert durch
    \[
        \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^{n}, z \in \mathbb{C}
    .\] $a_n \in \mathbb{C}, \forall n \in N_0$
\end{definition}

\begin{bsp}[Exponentialreihe]
    $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} z^{n} $ mit Entwicklungspunkt
    $0 \in \mathbb{C}$ konvergiert für $\forall z \in \mathbb{C}$.
\end{bsp}

\begin{definition}[Konvergenzradius]
    Zur Potenzreihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k(z-z_0)^{k}$ definiere
    den Konvergenzradius $\rho$ durch
    \[
        \rho := \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \text{sup } \sqrt[n]{|a_n|} }
    .\] 
\end{definition}

\begin{satz}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (z - z_0)^{n}$ konvergiert absolut
            $\forall z \in \mathbb{C}$ mit $|z-z_0| < \rho$
        \item $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (z-z_0)^{n} $ divergiert für $\forall z \in \mathbb{C}$ mit $|z-z_0| > \rho$
        \item für $|z-z_0| = \rho$ ist keine allgemeine Aussage möglich.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bsp} für Aussage (iii)
    \[
        \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} x^{k}}_{\text{divergent für }|x|=1} \qquad
        \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k}}_{\text{div für } x = 1 \text{, konv für} x = -1}
        \qquad \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^2}}_{\text{konvergent für } |x| = 1}
    .\] $\rho = 1$ für alle Reihen.
\end{bsp}

\end{document}