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wtheo10.tex

@@ -4,6 +4,8 @@
 \author{Josua Kugler, Christian Merten}
 \usepackage[]{mathrsfs}
 \newcommand{\E}{\mathbb{E}}
+\renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
+
 
 \begin{document}
 
@@ -25,7 +27,29 @@
     .\] Also kann $\mathscr{H}_0$ nicht zum Signifikanzniveau $0.05$ abgelehnt werden.
 \end{aufgabe}
 
-\stepcounter{aufgabe}
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Für alle $\delta > 0$ gilt per Definition
+        \begin{align*}
+            \lim\limits_{n \to \infty} \lim\limits_{m \to \infty} \P(|Y_n - y| > \delta) &= 0\\
+            \lim\limits_{n \to \infty} \lim\limits_{m \to \infty} \P(|Z_n - z| > \delta) &= 0
+        \end{align*}
+        Da $h$ eine stetige Funktion ist und $y$ und $z$ bereits feststehen gilt
+        \begin{align*}
+            \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0: \lVert(Y_n, Z_n) - (y,z)\rVert_1 \leq \delta &\implies |h(Y_n, Z_n) - h(y, z)| \leq \epsilon\\
+            |Y_n - y| + |Z_n -z| \leq \delta &\implies |h(Y_n, Z_n) - h(y, z)| \leq \epsilon\\
+            \{|h(Y_n, Z_n) - h(y, z)| \leq \epsilon\}&\supset \{|Y_n - y| + |Z_n -z| \leq \delta\}\\
+            \{|h(Y_n, Z_n) - h(y, z)| > \epsilon\}&\subset \{|Y_n - y| + |Z_n -z| > \delta\}\\
+            \P(|h(Y_n, Z_n) - h(y, z)| > \epsilon) &\leq P(|Y_n - y| + |Z_n -z| > \delta)\\
+            \P(|h(Y_n, Z_n) - h(y, z)| > \epsilon) &\leq P(|Y_n - y| > \delta) + \P(|Z_n -z| > \delta)
+            \intertext{$Y_n \xrightarrow{\P} y$,$Z_n \xrightarrow{\P} z$}
+            \lim\limits_{n \to \infty} \P(|h(Y_n, Z_n) - h(y, z)| > \epsilon) &= 0.
+        \end{align*}
+        \item Auch $(a_n)_{n\in \N}$ kann als eine Folge von (konstanten) Zufallsvariablen aufgefasst werden. 
+        Weil $h(a,X) = aX$ eine stetige Funktion ist, gilt $a_nX_n \xrightarrow{\P} aX$.
+        Weil $h(X, Y) = X + Y$ eine stetige Funktion ist, gilt $a_nX_n + Y_n \xrightarrow{\P} aX +Y$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}
     Sei $X, X_n\colon \Omega \to \R$ für $n \in \N$.
@@ -105,4 +129,46 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Es gilt für $ 0 <\epsilon < 1$
+        \begin{align*}
+            \lim\limits_{n \to \infty} \P(X_n > \epsilon) &= \lim\limits_{n \to \infty} \P(\sqrt{n}\mathbbm{1}_{[0,\frac{1}{n}]}(U) > \epsilon)\\
+            &= \lim\limits_{n \to \infty} \P(\mathbbm{1}_{[0,\frac{1}{n}]}(U))\\
+            &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n}\\
+            &= 0.
+        \end{align*}
+        Also gilt $X_n \xrightarrow{\P} 0$
+        Gleichzeitig erhalten wir
+        \begin{align*}
+            \E(|X_n|^2) &= \lim\limits_{n \to \infty} \int_\R (X_n)^2 \P(\d{x}) \\
+            &=  \lim\limits_{n \to \infty} \int_\R n \mathbbm{1}_{[0,\frac{1}{n}]}(U)\P(\d{x})\\
+            &= \lim\limits_{n \to \infty} n \frac{1}{n}\\
+            &= 1\\
+            &\neq 0.
+        \end{align*}
+        Daraus folgt $X_n \not \xrightarrow{L^2} 0$.
+        \item Es gilt
+        \begin{align*}
+            \E(|X - X_n|^2) &= \E(|X- X_n|^2 \mathbbm{1}_{|X_n-X| > \epsilon}) + \E(|X- X_n|^2 \mathbbm{1}_{|X_n-X| \leq \epsilon})\\
+            \intertext{Wir nutzen die Hölder-Ungleichung $\E(|X_nX|) \leq \sqrt{\E(|X|^2)\E(|X_n|^2)}$ und erhalten}
+            &= \E(|X|^2\mathbbm{1}_{|X_n-X| > \epsilon}) + \E(|X_n|^2\mathbbm{1}_{|X_n-X| > \epsilon}) - 2\E(|XX_n|\mathbbm{1}_{|X_n-X| > \epsilon}) +  \E(|X- X_n|^2 \mathbbm{1}_{|X_n-X| \leq \epsilon})
+            \intertext{Wegen $X_n \xrightarrow{\P} X$ ist $\{|X_n - X| > \epsilon\}$ eine Nullmenge und es gilt}
+            &= 0 +  \E(|X- X_n|^2 \mathbbm{1}_{|X_n-X| \leq \epsilon})\\
+            &= \epsilon^2 \E(\mathbbm{1}_{|X_n-X| \leq \epsilon})\\
+            &= \epsilon^2 (1 - \P(|X_n - X| > \epsilon))\\
+            &= \epsilon^2
+        \end{align*}
+        Für $\epsilon \to 0$ erhalten wir daraus die Behauptung.
+        \item Betrachte 
+        \begin{align*}
+            \limsup\limits_{n \to \infty} \E(|X_n|^{2 + \alpha}) &= \limsup\limits_{n \to \infty} \int_\R \sqrt{n}^{2 + \alpha} \cdot \mathbbm{1}_{[0,1]}(U) \P^U(\d x)\\
+            &= \limsup\limits_{n \to \infty}  n \cdot n^{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{1}{n}\\
+            &= \limsup\limits_{n \to \infty}  n^{\frac{\alpha}{2}}\\
+            &= \infty
+        \end{align*}
+
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}