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wtheo6.tex

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 \author{Josua Kugler, Christian Merten}
 
 \renewcommand{\P}{\mathbb{P}}
+\usepackage{stmaryrd}
 \begin{document}
 
 \punkte[21]
@@ -136,13 +137,20 @@
 \end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}
-    %Sei $N$ die Anzahl der Zeichen in Goethes Faust und $M$ die Anzahl der verschiedenen Zeichen in Goethes Faust. 
-    %Sei dann $A_i$ das Ereignis, dass es ein $j \leq i$ gibt, sodass $\forall 1\leq  k \leq N$ der $j +  k$-te Buchstabe, den der Affe tippt, genau dem $i$-ten Buchstaben von Goethes Faust entspricht.
-    %Die Weisheit entspricht dann wegen $A_i \subset A_j \forall i \leq j$ genau der Aussage
-    %\[
-    %    \forall m \in \N\colon \exists n\in \N\colon \P(A_n) = 1 \Leftrightarrow \P(\limsup\limits_{n \to \infty} A_n)
-    %\]
-    %Offensichtlich sind alle Ereignisse stochastisch unabhängig. Außerdem ist $\P(A_i) = \frac{1}{M^N} \forall i \in \N$.
+    Sei $N$ die Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Zeichen in Goethes Faust und $M$ die Menge der verschiedenen Zeichen in Goethes Faust. 
+    Sei $\Omega = M^\N$.
+    Sei dann 
+    \[ 
+        A_{n} \coloneqq \{\omega \in \Omega \colon \forall i \in \llbracket n, n+N-1 \rrbracket \colon \omega_i = G_{i-n}\},
+    \]
+    wobei $G_i$ das $i$-te Zeichen von Goethes Faust bezeichne.
+    Die Ereignisse $(A_{kN})_{k\in \N}$ sind dann offensichtlich stochastisch unabhängig (analog zu Beispiel 14.8(b)) und es gilt 
+    $\P(A_i) = \frac{1}{(\# M)^N}$, also insbesondere 
+    \[
+        \sum_{k\in \N} \P(A_{kN}) =  \sum_{k\in \N} \frac{1}{(\# M)^N} = \infty.
+    \]
+    Nach dem Lemma von Borel-Cantelli gilt daher $\P(\limsup\limits_{k \to \infty} A_{kN}) = 1$. $(A_{kN})_{k \in \N}$ ist eine Teilfolge von $(A_n)_{n\in \N}$, also gilt auch $\P(\limsup\limits_{n \to \infty} A_n) = 1$.
+    Die Menge $\limsup\limits_{n \to \infty} A_n$ enthält gerade die $\omega \in \Omega$, die in unendlich vielen $A_n$ enthalten sind, also genau die Zeichenfolgen, in denen der Affe unendlich oft Goethes Faust tippt. Eines dieser Ereignisse tritt mit Wahrscheinlichkeit 1 ein.
 \end{aufgabe}
 
 \end{document}