diff --git a/wtheo7.pdf b/wtheo7.pdf index 843ba94..eb6747b 100644 Binary files a/wtheo7.pdf and b/wtheo7.pdf differ diff --git a/wtheo7.tex b/wtheo7.tex index 321ec07..b66d580 100644 --- a/wtheo7.tex +++ b/wtheo7.tex @@ -4,12 +4,61 @@ \author{Josua Kugler, Christian Merten} \renewcommand{\P}{\mathbb{P}} +\newcommand{\E}{\mathbb{E}} \usepackage{stmaryrd} \begin{document} +\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} + \punkte[25] -\stepcounter{aufgabe} +\begin{aufgabe}[] + \begin{enumerate}[(a)] + \item Beh.: $\mathbbm{p}(k) = e^{-\lambda p } \frac{(\lambda p)^{k}}{k!}$. + \begin{proof} + Sei $(\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})$ W-Raum mit Ereignissen + \begin{align*} + A_n &\colon \text{,,Anzahl 7-Meter pro Spiel''} \\ + B_n &\colon \text{,,Anzahl Treffer per 7-Meter pro Spiel''} + \end{align*} + mit $\mathbb{P}(A_n) = \frac{\lambda ^{n}}{n!} e^{-\lambda}$ und + $\mathbb{P}(B_k \mid A_n) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$, wobei + $\binom{n}{k} = 0$ für $k > n$. + + Dann ist $(A_n)_{n \in \N}$ eine Partition von $\Omega$. Damit folgt + mit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: + \begin{salign*} + \mathbbm{p}(k) &= \mathbb{P}(A_n) \\ + &= \mathbb{P}(A_n \cap \Omega) \\ + &= \sum_{n \in \N_0} \mathbb{P}(A_n) \mathbb{P}(B_k \mid A_n) \\ + &= \sum_{n \in \N_0} \frac{\lambda^{n}}{n!} e^{-\lambda} \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \\ + &= e^{-\lambda} p^{k} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^{k}\lambda^{n-k}}{n!} \frac{n!}{k!(n-k)!} (1-p)^{n-k} \\ + &= e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^{n-k}}{(n-k)!} + (1-p)^{n-k} \\ + &= e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!} + (1-p)^{n} \\ + &= e^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!} e^{\lambda(1-p)} \\ + &= e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^{k}}{k!} + .\end{salign*} + \end{proof} + \item Seien $X$ bzw. $Y$ die Lebensdauer in Tagen von Lampe 1 bzw. Lampe 2 mit + $X \sim \text{Poi}_{\lambda_1}$ und $Y \sim \text{Poi}_{\lambda_2}$. Nach Vorraussetzung + ist $X \indep Y$, also + $X + Y \sim \text{Poi}_{\lambda_1} * \text{Poi}_{\lambda_2}$. + Nach VL hat $\text{Poi}_{\lambda_1} * \text{Poi}_{\lambda_2}$ die Zähldichte + \begin{salign*} + (\mathbbm{p}_1 * \mathbbm{p}_2)(n) + &= \sum_{k=0}^{n} \mathbbm{p}_1(n-k) \mathbbm{p}_2(k) \\ + &= \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda_1^{n-k}}{(n-k)!} e^{- \lambda_1} + \frac{\lambda_2^{k}}{k!} e^{- \lambda_2} \\ + &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} + \underbrace{\frac{n!}{(n-k)!k!}}_{= \binom{n}{k}} \lambda_1^{n-k} + \lambda_2^{k} \\ + &= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^{n}}{n!} + .\end{salign*} + Also folgt $X + Y \sim \text{Poi}_{\lambda_1 + \lambda_2}$. + \end{enumerate} +\end{aufgabe} \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[(a)] @@ -47,7 +96,79 @@ \end{enumerate} \end{aufgabe} -\stepcounter{aufgabe} +\begin{aufgabe} + (i)-(iii) bezeichne im Folgenden die Eigenschaften von $\E$ aus Satz 20.01. + \begin{enumerate}[(a)] + \item Sei $(X_n)_{n \in \N}$ mit $X_n \in \overline{\mathscr{A}}^{+}$. Dann setze + $S_n \coloneqq \sum_{k=1}^{n} X_k$. Dann ist $S_n \in \overline{\mathscr{A}}^{+}$ und + $S_n \uparrow \sum_{n \in \N} X_n$. Damit folgt + \begin{salign*} + \E\left( \sum_{n \in \N} X_n\right) &\stackrel{\text{(ii)}}{=} + \lim_{n \to \infty} \E(S_n) \\ + &= \lim_{n \to \infty} \E\left( \sum_{k=1}^{n} X_n \right) \\ + &\stackrel{\text{(i)}}{=} + \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \E(X_n) \\ + &= \sum_{n \in \N} \E(X_n) + .\end{salign*} + \item + \begin{itemize} + \item ,,$\implies$'': Sei $\indep_{i \in I} \mathcal{A}_i$ und + $(X_i)_{i \in I}$ mit $X_i \in \overline{\mathcal{A}}_i^{+}$ für $i \in I$. Sei weiter + $\emptyset \neq J \subseteq I$ endlich. + + \begin{enumerate}[(1)] + \item Seien $X_i$ Bernoulli ZV mit $X_i = \mathbbm{1}_{A_i}$ und + $A_i \in \mathcal{A}_i$ für $i \in I$. Da + $\indep_{i \in I} \mathcal{A}_i \implies \indep_{i \in I} A_i$. + Dann gilt + \begin{salign*} + \E\left( \prod_{j \in J}^{} X_j \right) + &= \E\left( \prod_{j \in J}^{} A_j \right) \\ + &= \E( \mathbbm{1}_{\bigcap_{j \in J} A_j} ) \\ + &\stackrel{\text{(iii)}}{=} \mathbb{P}(\bigcap_{j \in J} A_j) \\ + &\stackrel{\indep_{i \in I} A_i}{=} + \prod_{j \in J}^{} \mathbb{P}(A_j) \\ + &\stackrel{\text{(iii)}}{=} \prod_{j \in J}^{} \E(\mathbbm{1}_{A_j}) \\ + &= \prod_{j \in J}^{} \E(X_j) + .\end{salign*} + \item Seien nun $X_i$ einfache positive numerische ZV. Dann ist + $\prod_{j \in J}^{} X_j $ eine Summe von Produkten aus skalierten + Bernoulli-ZV. Mit (a), (ii) und Schritt (1) folgt die Behauptung für + $(X_i)_{i \in I}$. + \item Seien nun $X_i \in \overline{\mathcal{A}}_i^{+}$ für $i \in I$. Für + $i \in I$ ex. dann eine Folge $(X_{in})_{n \in \N}$ mit $X_{in} \uparrow X_i$ + und $X_{in}$ einfach positiv numerische ZV. + Da $J$ endlich folgt dann + \begin{salign*} + \prod_{i \in J} X_i = \prod_{i\in J}^{} \lim_{n \to \infty} + X_{in} = \lim_{n \to \infty} \prod_{i \in J}^{} X_{in} + .\end{salign*} + Also folgt $\prod_{j \in J} X_{in} \uparrow \prod_{j \in J}^{} X_i $. Damit folgt + \begin{salign*} + \E \left( \prod_{j \in J}^{} X_j \right) &= + \E\left( \prod_{j \in J}^{} \lim_{n \to \infty} X_{jn} \right) \\ + &= \E \left( \lim_{n \to \infty} \prod_{j \in J}^{} X_{jn} \right) \\ + &\stackrel{\text{(ii)}}{=} \lim_{n \to \infty} + \E\left( \prod_{j \in J}^{} X_{jn} \right) \\ + &\stackrel{\text{(2)}}{=} \lim_{n \to \infty} \prod_{j \in J}^{} \E(X_{jn}) \\ + &= \prod_{j \in J}^{} \lim_{n \to \infty} \E(X_{jn}) \\ + &\stackrel{\text{(ii)}}{=} \prod_{j \in J}^{} \E(X_j) + .\end{salign*} + \end{enumerate} + \item ,,$\impliedby$'': Sei $(A_i)_{i \in I}$ mit $A_i \in \mathcal{A}_i$ für $i \in I$. + Z.z.: $\indep_{ i \in I} A_i$. Dazu sei $\emptyset \neq J \subseteq I$ endlich. + Betrachte $X_i \coloneqq \mathbbm{1}_{A_i}$. Dann ist nach Vorraussetzung + \begin{salign*} + \mathbb{P}\left( \bigcap_{i \in J} A_i \right) + &\stackrel{\text{(iii)}}{=} + \E \left( \mathbbm{1}_{\bigcap_{i \in J} A_i} \right) \\ + &= \E\left( \prod_{i \in J}^{} \mathbbm{1}_{A_i} \right) \\ + &\stackrel{\text{Vorr.}}{=} \prod_{i \in J}^{} \E(\mathbbm{1}_{A_i}) \\ + &\stackrel{\text{(iii)}}{=} \prod_{i \in J}^{} \mathbb{P}(A_i) + .\end{salign*} + \end{itemize} + \end{enumerate} +\end{aufgabe} \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[(a)]