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wtheo8.tex

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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Wtheo 0: Übungsblatt 8}
+\author{Josua Kugler, Christian Merten}
+\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
+\usepackage[]{mathrsfs}
+\newcommand{\cov}{\mathbb{C}\text{ov}}
+\newcommand{\var}{\mathbb{V}\text{ar}}
+
+\begin{document}
+
+\punkte[29]
+
+\begin{aufgabe}[]
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Es ist $|X_n| \in \mathcal{A}^{+}$, damit folgt
+            \[
+                \E\left(\sum_{n \in \N} |X_n|\right) = \sum_{n \in \N} \E(|X_n|) < \infty
+            .\] Damit folgt mit 20.13. $\mathbb{P}\left( \sum_{n \in \N} |X_n| = \infty \right) = 0$ und
+            damit
+            \[
+                \mathbb{P}\left( \sum_{n \in \N} |X_n| < \infty \right) = 1
+            .\] 
+        \item Es ist analog zu (i)
+            \[
+                \E\left( \left| \sum_{n \in \N} X_n \right| \right)
+                \le \E\left( \sum_{n \in \N} |X_n| \right)
+                = \sum_{n \in \N} \E(|X_n|) < \infty
+            .\] Also $\sum_{n \in \N} X_n \mathscr{L}_1$ und $\sum_{n \in \N} |X_n| \in \mathscr{L}_1$.
+        \item Setze $S_n \coloneqq \sum_{k=1}^{n} X_k$. Es gilt
+            $\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{n \in \N} X_k \in \overline{\mathcal{A}}$ und
+            \[
+            |S_n| = \left| \sum_{k=1}^{n} X_k \right| \le \sum_{k=1}^{n} |X_k|
+            \le \sum_{n \in \N} |X_n| \in \mathscr{L}_1
+            .\] Insbesondere folgt $\sup_{n \in \N} |X_n| \le \sum_{n \in \N} |X_n| \in \mathscr{L}_1$.
+
+            Wegen Monotonie der Erwartung
+            \[
+                \E(|S_n|) \le \E\left( \sum_{k \in \N} |X_k| \right)
+                = \sum_{k \in \N} \E(|X_k|) < \infty
+            .\]
+            Also ist $S_n \in \mathscr{L}_1$ für $n \in \N$. Damit folgt mit dominierter Konvergenz im letzten
+            Schritt:
+            \begin{salign*}
+                \sum_{n \in \N} \E(X_n)
+                &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \E(X_n) \\
+                &\stackrel{\text{Linearität}}{=} \lim_{n \to \infty} \E\left( \sum_{k=1}^{n} X_n \right)  \\
+                &= \lim_{n \to \infty} \E(S_n) \\
+                &= \E\left( \sum_{n \in \N} X_n \right) 
+            .\end{salign*}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\stepcounter{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Es ist
+            \begin{salign*}
+                & \quad\qquad\var(X) = \E\left[ (X - \E(X))^2 \right] = 0 \\
+                \stackrel{(X- \E(X))^2 \in \overline{\mathcal{A}}^{+}}{\iff}&
+                1 = \mathbb{P}\left( (X - \E(X))^2 = 0 \right) = \mathbb{P}\left( X - \E(X) = 0 \right)
+                = \mathbb{P}( X = \E(X))
+            .\end{salign*}
+        \item
+            \begin{itemize}
+                \item Es gilt nach Definition
+                    \begin{salign*}
+                        \cov(X,Y) &= \E \left[ (X - \E(X))(Y - \E(Y)) \right] \\
+                                  &= \E \left[ (Y - \E(Y)) (X - \E(X)) \right] \\
+                                  &= \cov(Y,X)
+                    .\end{salign*}
+                \item Mit Linearität der Erwartung folgt direkt
+                    \begin{salign*}
+                        \cov(aX + bY, Z) &= \E\left[ (aX + bY - \E(aX + bY)(Z - \E(Z)) \right] \\
+                                         &= \E\left[ (a(X - \E(X)) + b(Y - \E(Y)))(Z - \E(Z))  \right] \\
+                                         &= a\E[ (X - \E(X))(Z - \E(Z)) ] + b \E[(Y - \E(Y))(Z - \E(Z))] \\
+                                         &= a \cov(X, Z) + b \cov(Y, Z)
+                    .\end{salign*}
+                \item Mit Monotonie der Erwartung im letzten Schritt folgt
+                    \begin{salign*}
+                        \cov(X, X) = \E[(X - \E(X))(X - \E(X))] = \E[\underbrace{(X - \E(X))^2}_{\ge 0}] \ge 0
+                    .\end{salign*}
+                \item Es gilt $\E(a) = a$, also
+                    \begin{salign*}
+                        \cov(a, X) = \E\left[ (a - \E(a))(X - \E(X)) \right] = \E(0) = 0
+                    .\end{salign*}
+            \end{itemize}
+        \item
+            \begin{itemize}
+                \item Mit der Linearität der Kovarianz und der letzten Eigenschaft in (b) folgt sofort
+                    \begin{salign*}
+                        \var(aX + b) &= \cov(aX + b, aX + b) \\
+                                     &\stackrel{\text{linear}}{=} a \cov(X, aX + b) + \underbrace{\cov(b, aX + b)}_{= 0 \text{ (b.4)}} \\
+                                     &\stackrel{\text{linear}}{=} a^2 \cov(X, X) + \underbrace{\cov(X, b)}_{= 0\text{ (b.4)}} \\
+                                     &= a^2\var(X)
+                    .\end{salign*}
+                \item Mit Linearität und Symmetrie folgt
+                    \begin{salign*}
+                        \var(X + Y) &= \cov(X + Y, X + Y) \\
+                                    &= \cov(X, X) + \cov(X, Y) + \cov(Y, X) + \cov(Y, Y) \\
+                                    &= \var(X) + \var(Y) + 2 \cov(X, Y)
+                    .\end{salign*}
+            \end{itemize}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}