finish ex 28

wtheo7.tex

@@ -62,22 +62,35 @@
         Daher gilt $AX + b \sim N_{A\mu + b, A\Sigma A^t}$. 
         \item Wir definieren $E_{ij}$ mit $(E_{ij})_{kl} = \delta_{ik}\delta_{jl}$.
         Dann erhalten wir durch $P_{ij} = \sum_{i = 1}^{n} E_{ii} - E_{ii} - E_{jj} + E_{ij} + E_{ji}$ eine Permutationsmatrix. 
-        Für $Y = P_{1i}X$ gilt $Y \sim N_{(P_{1i}\mu, P_{1i}\Sigma P_{i1})} = N_{(P_{1i}\mu, \Sigma)}$.
-        Da $\Sigma = LDL^t$ für eine normiert untere Dreiecksmatrix $L$ und eine Diagonalmatrix $D$, erhalten wir
+        Für $Y = P_{1i}X$ gilt $Y \sim N_{(P_{1i}\mu, P_{1i}\Sigma P_{i1})}$.
+        Wegen $P_{1i}\Sigma P_{i1} = LDL^t$ für eine normierte untere Dreiecksmatrix $L$ und eine Diagonalmatrix $D$, erhalten wir
         \[
-            L^{-1}Y - L^{-1}P_i\mu \sim N_{(L^{-1} \mu - L^{-1}\mu, L^{-1}L D L^t L^{-t})} = N_{(0, D)}
+            L^{-1}P_{1i}X - L^{-1}P_{1i}\mu \sim N_{(L^{-1} P_{1i}\mu - L^{-1}P_{1i}\mu, L^{-1}L D L^t L^{-t})} = N_{(0, D)}
         \]
-        Es gilt 
+        Da $L$ und somit auch $L^{-1}$ normierte untere Dreiecksmatrizen sind, gilt $(L^{-1}\cdot A)_{11} = A_{11}$ für beliebiges $A$. Daher erhalten wir für die Randverteilung
         \begin{align*}
-            \mathbbm{f}^{(L^{-1}Y - L^{-1}P_i\mu)_1}(x_1) &= \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty \mathbbm{f}^{L^{-1}Y - L^{-1}P_i\mu}(x_1, \dots, x_n) \d{x_n} \d{x_2}\\
-            &= \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}} \cdot (\det D)^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2}\langle D^{-1}x, x\rangle} \d{x_n} \cdots \d{x_2}\\
-            &= (\det D)^{-\frac{1}{2}}\prod_{i = 2}^{n} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\sum_{i = 2}^{n} D_{ii}^{-1}x_i^2}\\
+            \mathbbm{f}^{(L^{-1}P_{1i}X - L^{-1}P_{1i}\mu)_1}(x_1) &= \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty \mathbbm{f}^{L^{-1}P_{1i}X - L^{-1}P_{1i}\mu}(x_1, \dots, x_n) \d{x_n} \d{x_2}\\
+            \mathbbm{f}^{(P_{1i}X)_1 - (P_{1i}\mu)_1}(x_1)&= \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}} \cdot (\det D)^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2}\langle D^{-1}x, x\rangle} \d{x_n} \cdots \d{x_2}\\
+            \mathbbm{f}^{X_i - \mu_i}(x_1)&= (\det D)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}D_{11}^{-1}x_1^2}\prod_{i = 2}^{n} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}D_{ii}^{-1}x_i^2}\\
             &= \frac{\sqrt{D_{22}\cdot \dots \cdot D_{nn}}}{\sqrt{\det D}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}D_{11}^{-1} x_1^2}\\
             &= \frac{1}{\sqrt{2\pi D_{11}}}e^{-\frac{1}{2D_{11}} x_1^2}\\
-            \mathbbm{f}^{X_i - \mu_i}(x_i)&\sim N_{(0, D_{11})}  = N_{(0, Y_{11})} = N_{(0, X_{ii})}\\
-            \mathbbm{f}^{X_i} &\sim N_{(\mu_i, X_{ii})}
+            \implies \mathbbm{f}^{X_i - \mu_i}(x_i)&\sim N_{(0, D_{11})}  = N_{(0, (P_{1i}\Sigma P_{i1})_{11})} = N_{(0, \Sigma_{ii})}\\
+            \mathbbm{f}^{X_i}(x_i) &\sim N_{(\mu_i, \Sigma_{ii})}
         \end{align*}
-        \item c
+        \item Durch die Permutation $P_{1i}P_{2j}$ können wir (analog zur Aufgabe (b)) o.B.d.A. $i= 1$, $j = 2$ annehmen. Wir wenden erneut die Cholesky-Zerlegung an und erhalten $\Sigma = LDL^t$, wobei wegen $\Sigma_{12} = \Sigma_{21}$ auch $L_{21} = 0$ gelten muss.
+        Daher ist auch $D_{11} = \Sigma_{11}$ und $D_{22} = \Sigma_{22}$.
+        Wir berechnen nun die Randverteilung für $(X_1, X_2)$.
+        \begin{align*}
+            \mathbbm{f}^{(L^{-1}X - L^{-1}\mu)_{(1,2)}}(x_1, x_2) &= \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty \mathbbm{f}^{L^{-1}X - L^{-1}\mu}(x_1, \dots, x_n) \d{x_n} \d{x_3}
+            \intertext{Nun nutzen wir $L_{21} = 0$}
+            \mathbbm{f}^{(X_1, X_2) - (\mu_1, \mu_2)}(x_1, x_2)&= \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}} \cdot (\det D)^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2}\langle D^{-1}x, x\rangle} \d{x_n} \cdots \d{x_3}\\
+            \mathbbm{f}^{(X_1 - \mu_1, X_2 - \mu_2)}(x_1, x_2)&= (\det D)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}D_{11}^{-1}x_1^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}D_{22}^{-1}x_2^2}\cdot \prod_{i = 3}^{n} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}D_{ii}^{-1}x_i^2}\\
+            &= \frac{\sqrt{D_{33}\cdot \dots \cdot D_{nn}}}{\sqrt{\det D}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}D_{11}^{-1} x_1^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}D_{22}^{-1} x_2^2}\\
+            &= \frac{1}{\sqrt{2\pi D_{11}}}e^{-\frac{1}{2D_{11}} x_1^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi D_{22}}}e^{-\frac{1}{2D_{22}} x_2^2}\\
+            \mathbbm{f}^{(X_1, X_2)}(x_1, x_2)&= \frac{1}{\sqrt{2\pi \Sigma_{11}}}e^{-\frac{1}{2\Sigma_{11}} (x_1 - \mu_1)^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi \Sigma_{22}}}e^{-\frac{1}{2\Sigma_{22}} (x_2 - \mu_2)^2}\\
+            &= \mathbbm{f}^{X_1}(x_1) \cdot \mathbbm{f}^{X_2}(x_2)
+        \end{align*}
+        Also sind $X_1$ und $X_2$ unabhängig.
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 \end{document}