add 10 and 12, 10 might be to short

wtheo3.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+\documentclass[uebung]{lecture}
 
 \title{Wtheo 0: Übungsblatt 3}
 \author{Josua Kugler, Christian Merten}
@@ -54,7 +54,28 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
-\stepcounter{aufgabe}
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Ein Neyman-Pearson-Test für dieses Testproblem ist gegeben durch die Funktion $\mathbbm{1}_{A_k}$ mit 
+        \begin{align*}
+            A_k &= \{x \colon \mathbbm{p}_{\mathrm{Poi}_{\lambda_1}} (x) \geq \mathbbm{p}_{\mathrm{Poi}_{\lambda_0}} (x)\}\\
+            &= \{x \colon e^{-\lambda_1} \frac{\lambda_1^x}{x!} \geq k e^{-\lambda_0} \frac{\lambda_0^x}{x!}\}\\
+            &= \{x \colon e^{\lambda_0 -\lambda_1} \frac{\lambda_1^x}{\lambda_0^x} \geq k\}
+        \end{align*}
+        Damit einer dieser Tests ein bester Test zum Niveau $\alpha \in (0,1)$ ist, muss $\mathbbm{P}_{\lambda_0}(A_k) = \alpha$ gelten.
+        \item Da $e^{\lambda_0 -\lambda_1} \frac{\lambda_1^x}{\lambda_0^x}$ für $\lambda_1 > \lambda_0$ und $x > 0$ 
+        stets streng monoton wachsend ist und $\mathbbm{P}_{\lambda_0}(A_k) = \alpha$ völlig unabhängig von $\lambda_1$ ist, 
+        muss jeder beste Test zum Niveau $\alpha$ auch ein gleichmäßig bester Test für $H_0$ gegen $H_1'$ sein.
+        \item Wählen wir $A = [9157, \infty)$ als Ablehnungsbereich, so erhalten wir 
+        \[
+            \mathbbm P_0 (A) = \sum_{k = 9157}^{\infty} \frac{\lambda_0^k}{k!} e^{-\lambda_0} \leq 0.05.
+        \]
+        Für ein beliebiges $\lambda_1$ existiert jetzt ein $k$ derart, dass wir diesen Ablehnungsbereich als Neyman-Pearson-Test schreiben können.
+        \[
+            \{x \colon e^{\lambda_0 -\lambda_1} \frac{\lambda_1^x}{\lambda_0^x} \geq k\} = \{9157,\dots\}.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}
     Zunächst ist zu bemerken, dass mit $\mathscr{E} := \{ (a, \infty]  \mid a \in \R\} $ nach VL
@@ -157,4 +178,37 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Sei $[a,b]$ ein Intervall in $\mathscr B(\R)$. 
+        Sei dann $A \coloneqq f^{-1}([a,n])$ und $\alpha \in U_\epsilon(\inf A) \cap A$ sowie $\beta \in U_\epsilon(\sup A) \cap A$.
+        Für beliebiges $\alpha \le x \le \beta$ folgt aufgrund der Monotonie $a \leq f(\alpha) \le f(x) \le f(\beta) \le b$, 
+        also $f(x) \in [a,b]$ und damit $x\in A$.
+        Also muss $A$ ein Intervall sein und damit wieder in $\mathscr B(\R)$ liegen.
+        Da die Menge aller Intervalle $[a,b]$ bereits ein Erzeuger von $\mathscr B(\R)$ ist, folgt daraus bereits die Messbarkeit.
+        \item Sei $(s_n)_{n\in \N}$ eine reelle Folge mit $\lim\limits_{n \to \infty} s_n = s$. 
+        Dann ist $(g_n)_{n\in\N},\; g_n(x) \coloneqq g(s_n, x)$ eine Funktionenfolge, die wegen
+        \[
+            \lim\limits_{n \to \infty} \lVert g(s_n,x) - g(s,x)\rVert = \lVert \lim\limits_{n \to \infty} g(s_n,x) - g(s,x)\rVert = 0  
+        \]
+        gleichmäßig konvergiert. Insbesondere gilt also
+        \[
+            \lim\limits_{n \to \infty} h(s_n) = \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 g(s_n,x) \d{x} 
+            = \int_0^1 \lim\limits_{n \to \infty} g(s_n,x) \d{x} = \int_0^1 g(s,x) = h(s).
+        \]
+        \item Wähle ein $A$, sodass $[0,1] \subset A \in 2^\R$, aber $A \notin \mathscr B(\R)$ und 
+        \[
+            \kappa\colon x \mapsto \begin{cases}
+            x - \lfloor x\rfloor &x \in A\\
+            x &\text{sonst}
+        \end{cases}
+        \]
+        Dann gilt $\forall c \in [0,1]\colon\kappa ^{-1}(c) = \{c, c+1, c-1,\dots\}$, 
+        insbesondere ist $\kappa^{-1}(c)$ abzählbar und damit Element von $\mathscr B(\R)$.
+        Für $x \in A \cap [0,1]^c$ ist $\kappa(c)$ einfach die leere Menge.
+        Für $x\in A^c \cap [0,1]^c$ ist $\kappa(c) = \{c\}$. Damit ist die Bedingung an $\kappa$ erfüllt. 
+        Dennoch ist $\kappa^{-1}([0,1]) = A$ und $A \notin \mathscr B(\R)$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}