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wtheo8.tex

@@ -1,8 +1,9 @@
-\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+\documentclass[uebung]{lecture}
 
 \title{Wtheo 0: Übungsblatt 8}
 \author{Josua Kugler, Christian Merten}
 \newcommand{\E}{\mathbb{E}}
+\renewcommand{\P}{\mathbbm{P}}
 \usepackage[]{mathrsfs}
 \newcommand{\cov}{\mathbb{C}\text{ov}}
 \newcommand{\var}{\mathbb{V}\text{ar}}
@@ -51,7 +52,16 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
-\stepcounter{aufgabe}
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item a
+        \item Es gilt
+        \begin{align*}
+            \E(X) &= \int_0^\infty \P(X > y) \d{y}\\
+            &= \int_0^\infty 
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}
     \begin{enumerate}[(a)]
@@ -105,4 +115,52 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Wir definieren den Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega = \{(i_1, \dots, i_n)|i_j \in \{1,\dots, m\}\}$ als die Menge aller $n$-Tupel mit Werten zwischen 1 und $m$, wobei das $j$-te Element eines Tupels angibt, welche Ente der $j$-te Jäger gewählt hat. Dann enthält das Ereignis 
+        \begin{align*}
+            A_i \coloneqq \{(i_1, \dots, i_n)\in \Omega, i\neq i_l \forall l \in \{1,\dots, n\}\}
+        \end{align*}
+        alle Elementarereignisse, in denen die $i$-te Ente nicht getroffen wird.
+        Die Zufallsvariable $X_i \colon \Omega \to \{0,1\}, \omega \mapsto \mathbbm{1}_{A_i}$ gibt an, ob die $i$-te Ente überlebt (1) oder nicht (0). Dann ist durch $X \coloneqq \sum_{i = 1}^{m} X_i$ gerade die Anzahl der überlebenden Enten gegeben.
+        Es gilt aufgrund der Linearität des Erwartungswerts
+        \begin{align*}
+            \E(X) &= \E\left(\sum_{i = 1}^{m} X_i\right)\\
+            &= \sum_{i = 1}^{m} \E(X_i)\\
+            &= \sum_{i = 1}^{m} \E(\mathbb{1}_{A_i})\\
+            &= \sum_{i = 1}^{m} \P(A_i)\\
+            &= \sum_{i = 1}^{m} \frac{\# A_i}{\# \Omega}\\
+            &= \sum_{i = 1}^{m} \frac{(m-1)^n}{m^n}\\
+            &= m \cdot \left(\frac{m-1}{m}\right)^n
+        \end{align*}
+        \item Wir bestimmen zunächst
+        \begin{align*}
+            \E(X_iX_j) &= \E(\mathbbm{1}_{A_i} \cdot \mathbbm{1}_{A_j})\\
+            &= \E(\mathbbm{1}_{A_i \cap A_j})\\
+            &= \P(A_i \cap A_j)\\
+            \intertext{Für $i = j$ gilt $\P(A_i \cap A_j) = \P(A_i) = m\left(\frac{m-1}{m}\right)^n$. Sei also $i\neq j$}
+            &= \frac{\# A_i \cap A_j}{\# \Omega}\\
+            &= \left(\frac{m-2}{m}\right)^2
+        \end{align*}
+        Es gilt daher
+        \begin{align*}
+            \var(X) &= \E(X^2) - \E(X)^2\\
+            &= \E\left(\sum_{i = 1}^{m} X_i \sum_{j = 1}^{m} X_j\right)- \E(X)^2\\
+            &= \E\left(\sum_{i, j = 1}^m X_iX_j\right)- \E(X)^2\\
+            &= \sum_{i,j = 1}^{m} \E(X_iX_j)- \E(X)^2\\
+            &= \sum_{i = 1}^{m} \E(X_iX_i) + \sum_{i \neq j, 1\leq i, j \leq m} \E(X_iX_j)- \E(X)^2\\
+            &= m \cdot \left(\frac{m-1}{m}\right)^n + (m^2 - m) \left(\frac{m-2}{m}\right)^2 - m^2 \cdot \left(\frac{m-1}{m}\right)^{2n}
+        \end{align*}
+        \item Für $n = m = 50$ gilt $7^{-2}\var(X) \approx 0.0996$ und $\E(X) \approx 18.2$. Für $m_1 = 11, m_2 = 26$ erhalten wir
+        \begin{align*}
+            \P(X \in [m_1, m_2]) &\geq \P(|X - \E(X)| \leq 7)\\
+            &= 1 - \P(|X - \E(X)| > 7)\\
+            \intertext{Ungleichung von Tschebycheff}
+            &\geq 1 - 7^{-2}\var(X)\\
+            &\geq 1 - 0.0996\\
+            &\geq 0.9
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}