commit b6103d1976cdc2a2e587d238c18962a9a5b0116e Author: flavis Date: Mon Nov 16 17:03:31 2020 +0100 add first 2 wtheo sheets diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..096943a --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,9 @@ +*.aux +*.log +*.fdb_latexmk +*.toc +*.synctex.* +*.fls +*.out +*.pdf +!analysisII.pdf diff --git a/whteo1.tex b/whteo1.tex new file mode 100644 index 0000000..d789961 --- /dev/null +++ b/whteo1.tex @@ -0,0 +1,275 @@ +\documentclass[uebung]{../../../lecture} + +\title{Wtheo 0: Übungsblatt 1} +\author{Josua Kugler, Christian Merten} + +\newcommand{\IP}{\mathbb{P}} + +\usepackage[]{mathrsfs} +\begin{document} + +\punkte + +\begin{aufgabe} + \begin{enumerate}[(a)] + \item Seien $\mathcal{A}_i, i \in I$ $\sigma$-Algebren über $\Omega$. + Beh.: $\bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra über $\Omega$. + \begin{proof} + \begin{enumerate}[(i)] + \item $\Omega \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$, denn + $\forall i \in I\colon \Omega \in \mathcal{A}_i$, da $\mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra. + \item Sei $A \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$. Dann ist für $i \in I$: + $A \in \mathcal{A}_i$. Da $\mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra, + ist $A^{c} \in \mathcal{A}_i$. Damit folgt + $A^{c} \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$. + \item Sei $A_j \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$ $\forall j \in \N$. Da + für alle $i \in I$, $\mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra, ist + $\bigcap_{j \in \N} A_j \in \mathcal{A}_i$. Also auch + $\bigcap_{j \in \N} A_j \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$. + \end{enumerate} + \end{proof} + \item Beh.: Die Aussage ist falsch. + \begin{proof} + Es sei $\Omega \coloneqq \{ 0, 1, 2\} $, + $\mathcal{A}_1 \coloneqq \sigma(\{0\}) = \{ \Omega, \emptyset, \{0\} , \{1, 2\} \} $ und \\ + $\mathcal{A}_2 \coloneqq \sigma(\{2\} ) = \{\Omega, \emptyset, \{2\}, \{0, 1\} \} $. + Dann sind $\mathcal{A}_1$ und $\mathcal{A}_2$ nach VL $\sigma$-Algebren über $\Omega$, aber + $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 = \{\Omega, \emptyset, \{0\} , \{2\} , \{1,2\} , \{0,1\} \} $ + nicht, da $\{0\} \cup \{2\} = \{0, 2\} \not\in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$. + \end{proof} + \item Sei $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra über $\Omega$ und $f\colon \mathcal{X} \to \Omega$ Abbildung. + Beh.: $f^{-1}(\mathcal{A}) \coloneqq \{ f^{-1}(A) \colon A \in \mathcal{A}\} $ ist $\sigma$-Algebra. + \begin{proof} + \begin{enumerate}[(i)] + \item $\mathcal{X} \in f^{-1}(\mathcal{A})$, denn $f^{-1}(\Omega) = \mathcal{X}$. + \item Sei $B \in f^{-1}(\mathcal{A})$. Dann ex. ein $A \in \mathcal{A}$, s.d. + $f^{-1}(A) = B$. Da $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra ist $A^{c} \in \mathcal{A}$. + Damit folgt + \[ + B^{c} = f^{-1}(A)^{c} = f^{-1}(A^{c}) \in f^{-1}(\mathcal{A}) + .\] + \item Seien $B_i \in f^{-1}(\mathcal{A})$ $\forall i \in \N$. Dann ex. $\forall i \in \N$ + ein $A_i \in \mathcal{A}$, s.d. $f^{-1}(A_i) = B_i$. Da + $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra ist $\bigcup_{i \in \N} A_i \in \mathcal{A}$. + Damit folgt + \[ + \bigcup_{i \in \N} B_i = \bigcup_{i \in \N} f^{-1}(A_i) + = f^{-1} \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) \in f^{-1}(\mathcal{A}) + .\] + \end{enumerate} + \end{proof} + \item Sei $T \subseteq \Omega$ mit $T \neq \emptyset$ und sei $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra über + $\Omega$. Beh.: $A|_T \coloneqq \{ A \cap T \colon A \in \mathcal{A}\} $ $\sigma$-Algebra. + \begin{proof} + Betrachte die kanonische Inklusion $\iota \colon T \xhookrightarrow{} \Omega$. Dann + gilt + \begin{align*} + \iota^{-1}(\mathcal{A}) &= \{ \iota^{-1}(A) \colon A \in \mathcal{A}\} \\ + &= \{ \{ x \in T \colon \iota(x) \in A \} \colon A \in \mathcal{A}\} \\ + &= \{ \{ x \in T \colon x \in A \} \colon A \in \mathcal{A}\} \\ + &= \{ A \cap T \colon A \in \mathcal{A}\} + .\end{align*} + Damit folgt die Behauptung mit (c). + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe} + Sei $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ Wahrscheinlichkeitsraum und $A, B, A_n \in \mathcal{A}$ für + $n \in \N$. + \begin{enumerate}[(a)] + \item Beh.: $A \subseteq B \implies \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)$. + \begin{proof} + Sei $A \subseteq B$. Dann ist + \begin{salign*} + \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A \cupdot B \setminus A) + &\stackrel{\sigma \text{-Additivität}}{=} \mathbb{P}(A) + + \underbrace{\mathbb{P}(B \setminus A)}_{\ge 0} \ge \mathbb{P}(A) + .\end{salign*} + \end{proof} + \item Beh.: $| \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B)| \le \mathbb{P}(A \triangle B)$. + \begin{proof} + Es ist zunächst + \begin{salign*} + \mathbb{P}(A \triangle B) &= \mathbb{P}(A \setminus B \cupdot B \setminus A) \\ + &\stackrel{\sigma \text{-Additivität}}{=} \mathbb{P}(A \setminus B) + \mathbb{P}(B \setminus A) \\ + &= \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \\ + \intertext{ + Sei o.E. $\mathbb{P}(A) \ge \mathbb{P}(B)$ (sonst analog durch Hinzufügen von + $\mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A)$). Dann folgt} + \mathbb{P}(A \triangle B) &= \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \\ + &= |\mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B)| + \underbrace{2 \mathbb{P}(B \setminus A)}_{\ge 0} \\ + &\ge | \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B)| + .\end{salign*} + \end{proof} + \item Beh.: $\mathbb{P}(\bigcup_{k \in \N} A_k) \le \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_k)$. + \begin{proof} + Betrachte $B_n \coloneqq A_n \setminus \left(\bigcup_{k=1}^{n-1}A_k\right)$. Dann + ist $\forall n \in \N: B_n \subseteq A_n$ also mit (a) $\mathbb{P}(B_n) \le \mathbb{P}(A_n)$. + Damit folgt + \begin{salign*} + \mathbb{P}\left( \bigcup_{n \in \N} A_n \right) + = \mathbb{P}\left( \bigcupdot_{n \in \N} B_n \right) + &\stackrel{\sigma \text{Additivität}}{=} + \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_n) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_n) + .\end{salign*} + \end{proof} + \item Beh.: $A_n \subseteq A_{n+1} \forall n \in \N \implies \mathbb{P}(\bigcup_{n \in \N} A_n) + = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n)$. + \begin{proof} + Sei $A_n \subseteq A_{n+1}$ $\forall n \in \N$. Betrachte + $B_n \coloneqq A_n \setminus \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right) $. Da $A_n$ monoton + wachsend, ist für $n \ge 2\colon B_n = A_n \setminus A_{n-1}$. Damit folgt + \begin{salign*} + \mathbb{P}(\bigcup_{n \in \N} A_n) &= \mathbb{P}\left( \bigcupdot_{n \in \N} B_n \right)\\ + &\stackrel{\sigma \text{Additivität}}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_n) \\ + &= \mathbb{P}(B_1) + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_n \cap A_{n-1}) \right) \\ + &\stackrel{A_n \subseteq A_{n+1}}{=} + \mathbb{P}(B_1) + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_{n-1}) \right) \\ + &\stackrel{\text{Teleskopsumme}}{=} \mathbb{P}(B_1) - \mathbb{P}(A_1) + \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) \\ + &\stackrel{B_1 = A_1}{=} \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) + .\end{salign*} + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe} + Sei $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. + \begin{enumerate}[(a)] + \item Der Induktionsanfang ist offensichtlich wahr, $\IP(A_1) = (-1)^0 \cdot \IP(A_1)$. Gelte die Behauptung also für ein $n\in \N$. Dann folgern wir + \begin{align*} + \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n+1} A_j\right) =& \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_j\right) + \IP(A_{n+1}) - \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_j \cap A_{n+1}\right)\\ + =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ + &- \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n} (A_j \cap A_{n+1})\right)\\ + =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ + &- \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1,\dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP((A_{k_1} \cap A_{n+1}) \cap \dots \cap (A_{k_j} \cap A_{n+1}))\right)\\ + =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ + &- \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j} \cap A_{n+1})\right)\\ + =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\forall i\colon k_i \neq n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ + &+ \sum_{j = 2}^{n+1} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\exists i\colon k_i = n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right)\\ + =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\forall i\colon k_i \neq n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right)\\ + &+ \sum_{j = 1}^{n+1} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\exists i\colon k_i = n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right)\\ + \end{align*} + Für $j = n+1$ gilt $\{k_1,\dots, k_j\} = \{1,\dots, n+1\}$. Daher können wir die beiden Summen im letzten Schritt einfach zusammenfassen und erhalten + \[ + \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n+1} A_j\right) = \sum_{j = 1}^{n+1} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right), + \] + was zu zeigen war. +% \item Sei $n \in \N$ und $A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{A}$. +% Beh.: +% \[ +% \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_n \right) +% = \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} } +% \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j}) \right) +% .\] +% \begin{proof} +% Per Induktion über $n$. Sei $n=1$: Dann ist $\mathbb{P}(\bigcup_{j=1}^{1} A_j) = \mathbb{P}(A_1)$. +% Sei nun $n \in \N$ und Behauptung gezeigt für $k \le n$. Dann gilt +% \begin{salign*} +% \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n+1} A_j \right) +% =& \mathbb{P}\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_j \cup A_{n+1}\right) \\ +% \stackrel{(*)}{=}& \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_j \right) +% + \mathbb{P}(A_{n+1}) - \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_j \cap A_{n+1} \right) \\ +% \stackrel{\text{I.V.}}{=}& +% \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\}} +% \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j})\right) +% + \mathbb{P}(A_{n+1}) \\ +% &- \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} } +% \mathbb{P}(A_{k_1} \cap A_{n+1} \cap \ldots \cap A_{k_j} \cap A_{n+1}) \right) \\ +% =& \sum_{j=1}^{n+1} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\}\subseteq \{1, \ldots, n\} } +% \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j})\right) +% .\end{salign*} +% \end{proof} + \item Beh.: Die Wahrscheinlichkeit für $n \to \infty$ ist $1 - \frac{1}{e}$. + \begin{proof} + Setze $\Omega \coloneqq \{ (g_1, \ldots, g_n) \mid g_1, \ldots, g_n \in \{1, \ldots, n\}, + g_i \neq g_j \text{ für } i \neq j\} $. Dabei bezeichnet ein Ergebnis + $(g_1, \ldots, g_n) \in \Omega$: ,,Roter Marsmensch $i$ tanzt mit grünem Marsmensch $g_i$ + für $i \in \{1, \ldots, n\} $''. Die ursprüngliche Paarung + sei dabei $(1, 2, \ldots, n) \in \Omega$. + Es folgt direkt $\# \Omega = n!$. + Definiere weiter + \begin{align*} + \mathbb{P}\colon 2^{\Omega} &\to [0,1] \\ + A &\mapsto \frac{\#A}{n!} + .\end{align*} + Wegen $\mathbb{P}(\Omega) = \frac{n!}{n!} = 1$ und $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$ + ist $(\Omega, 2^{\Omega}, \mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. + + Damit ist für $i \in \{1, \ldots, n\} $: + \begin{align*} + A_i &= \text{,,Roter Marmensch }i\text{ tanzt mit der ursprünglichen Begleitung zusammen''} \\ + &= \{ (g_1, \ldots, g_n) \in \Omega \mid g_i = i\} + .\end{align*} + Sei $A_n =$ ,,Mindestens ein ursprüngliches von insgesamt $n$ Paaren tanzt gemeinsam ''. + Damit folgt + \begin{salign*} + \mathbb{P}(A_n) &= \mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \\ + &\stackrel{\text{(a)}}{=} \sum_{j=1}^{n} \left((-1)^{j-1} + \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} } \mathbb{P}(A_k \cap \ldots \cap A_{k_j}) \right) \\ + &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{j-1} \binom{n}{j} \frac{(n-j)!}{n!} \\ + &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{j-1} \frac{n!}{(n-j)! j!} \frac{(n-j)!}{n!} \\ + &= \sum_{j=1}^{n} \frac{(-1)^{j-1}}{j!} \\ + \intertext{Für $n \to \infty$ folgt} + \mathbb{P}(A_{\infty}) &= \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{j-1}}{j!} \\ + &= - \left( \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} \right) \\ + &= - \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} - 1 \right) \\ + &= - \left( \frac{1}{e} - 1 \right) \\ + &= 1 - \frac{1}{e} + .\end{salign*} + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe} + Sei $(\R, \mathscr{B}, \mathbb{P})$ Wahrscheinlichkeitsraum und + $\mathbb{F}\colon \R \to [0,1]$, $\mathbb{F}(x) \coloneqq \mathbb{P} ((-\infty, x])$ für $x \in \R$. + \begin{enumerate}[(a)] + \item Beh.: $\mathbb{F}$ monoton wachsend. + \begin{proof} + Seien $x_1, x_2 \in \R$ mit $x_1 \le x_2$. Dann ist + $(-\infty, x_1] \subseteq (-\infty, x_2]$. Mit 2(a) folgt damit + $\mathbb{F}(x_1) = \mathbb{P}((-\infty, x_1]) \le \mathbb{P}((-\infty, x_2]) = \mathbb{F}(x_2)$. + \end{proof} + \item Beh.: $\lim_{x \to \infty} \mathbb{F}(x) = \R$. + \begin{proof} + Sei $(x_n)_{n \in \N}$ Folge mit $x_n \xrightarrow{n \to \infty} \infty$. Dann ist + $A_n \coloneqq \bigcup_{j=1}^{n} (-\infty, x_n]$ monoton wachsende Folge + mit $A_n \uparrow \R$. Damit folgt da $\mathbb{P}$ Wahrscheinlichkeitsmaß + \[ + \lim_{n \to \infty} \mathbb{F}(x_n) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) + \; \stackrel{\text{2(d)}}{=} \;\mathbb{P}(\R) = 1 + .\] + \end{proof} + Beh.: $\lim_{x \to -\infty} \mathbb{F}(x) = 0$. + \begin{proof} + Analog, betrachte nun $A_n \coloneqq \bigcap_{j=1}^{n} (-\infty, x_n] \downarrow \emptyset$. + \end{proof} + \item Beh.: $\mathbb{F}$ rechtsseitig stetig. + \begin{proof} + Sei $(x_n)_{n \in \N}$ in $\R$ mit $x_n \downarrow x$. Dann betrachte + $A_n \coloneqq (-\infty, x_n]$. Es gilt sofort $A_n \downarrow + \bigcap_{k \in \N} (-\infty, x_k] = (-\infty, x]$. Damit folgt + \[ + \lim_{n \to \infty} \mathbb{F}(x_n) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) + \stackrel{\text{2(d)}}{=} \mathbb{P}((-\infty, x]) = \mathbb{F}(x) + .\] + \end{proof} + \item Beh.: $\mathbb{F}$ hat höchstens abzählbar viele Sprungstellen. + \begin{proof} + Sei $a \in \R$ beliebig. Dann betrachte + \begin{salign*} + \lim_{x \searrow a} \mathbb{F}(x) - \lim_{x \nearrow a} \mathbb{F}(x) + &\stackrel{\text{(c) und Hinweis}}{=} \mathbb{P}((-\infty, a]) + - \mathbb{P}((-\infty, a)) \\ + &= \mathbb{P}((-\infty, a]) - \mathbb{P}((-\infty, a] \cap (-\infty, a)) \\ + &= \mathbb{P}((-\infty, a] \setminus (-\infty, a)) \\ + &= \mathbb{P}( \{ a\} ) + .\end{salign*} + Die Sprungstellen von $F$ sind also gerade die Atome von $\mathbb{P}$. Da $\mathbb{P}$ + nach VL nur höchstens abzählbar viele Atome auf $\R$ hat, folgt die Behauptung. + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\end{document} diff --git a/wtheo2.tex b/wtheo2.tex new file mode 100644 index 0000000..1ea7f64 --- /dev/null +++ b/wtheo2.tex @@ -0,0 +1,116 @@ +\documentclass[uebung]{../../../lecture} + +\title{Wtheo 0: Übungsblatt 2} +\author{Josua Kugler, Christian Merten} +\usepackage[]{bbm} + +\begin{document} + +\punkte[5] + +\begin{aufgabe} + \begin{enumerate}[(a)] + \item Beh.: $\mathcal{D}$ ist ein Dynkinsystem. + \begin{proof} + \begin{enumerate}[(i)] + \item $\Omega \in \mathcal{D}$, denn $|\Omega| = 2n$ gerade. + \item Sei $A \in \mathcal{D}$. Dann ist $|A| = 2k$ für ein $k \in \N_0$ mit + $k \le 2n$. Da $\Omega$ endlich folgt + \[ + |A^{c}| = |\Omega| - |A| = 2n - 2k = 2(n-k) + .\] Also $A^{c} \in \mathcal{D}$. + \item Sei $A_i \in \mathcal{D}$ $\forall i \in \N$ mit $A_i \cap A_j = \emptyset$ + für $i\neq j$. Dann ex. für $i \in \N$ ein $k_i \in \N_0$ mit + $|A_i| = 2 k_i$. Damit folgt, da die $A_i$ disjunkt sind + \[ + \left| \bigcupdot_{i \in \N} A_i \right| + = \sum_{i \in \N} |A_i| = \sum_{i \in \N} 2 k_i + = 2 \underbrace{\sum_{i \in \N} k_i}_{\in \N_0} + .\] + Also $\bigcup_{i \in \N} A_i \in \mathcal{D}$. + \end{enumerate} + \end{proof} + \item Beh.: Für $n \ge 2$ ist $\mathcal{D}$ keine $\sigma$-Algebra. + \begin{proof} + Sei $n \ge 2$. Dann ist $|\Omega| \ge 4$. Seien dann $\omega_1, \omega_2, \omega_3 \in \Omega$ + paarweise + verschieden. Dann ist + \[ + \underbrace{\{\omega_1, \omega_2 \}}_{\in \mathcal{D}} + \cap + \underbrace{\{\omega_2, \omega_3\}}_{\in \mathcal{D}} + = \{w_2\} \not\in \mathcal{D} + .\] Also $\mathcal{D}$ nicht $\cap $-stabil, also keine $\sigma$-Algebra. + \end{proof} + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[] + \begin{enumerate}[(a)] + \item Beh.: $\sum_{\omega \in \Omega} \mathbbm{p}(\omega) = 1$ + \begin{proof} + \begin{enumerate}[(i)] + \item Z.z.: $\binom{\alpha + k -1}{k} = (-1)^{k} \binom{-\alpha}{k}$ + $\forall \alpha \in \N, k \in \N_0$. + + Seien $\alpha \in \N, k \in \N_0$. Dann folgt + \begin{salign*} + \binom{\alpha + k -1}{k} &= \frac{(\alpha + k -1)!}{k!(\alpha -1)!} \\ + &= \frac{(\alpha + k-1)\cdots (\alpha +1) \alpha }{k!} \\ + &= (-1)^{k}\frac{(-\alpha -(k-1) \cdot \ldots \cdot (-\alpha -1)(-\alpha)}{k!} \\ + &= (-1)^{k}\frac{(-\alpha)(-\alpha-1)\cdot \ldots\cdot (-\alpha-(k-1))}{k!} \\ + &= (-1)^{k} \binom{-\alpha}{k} + .\end{salign*} + \item Z.z.: $(1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k}$ + $\forall \alpha \in \Z, x \in (-1,1)$. + + Seien $\alpha \in \Z$, $x \in (-1,1)$. Dann betrachte + \begin{salign*} + f\colon (-1,1) &\to \R \\ + x&\mapsto (1+x)^{\alpha} + .\end{salign*} + Dann ist $f^{(k)}(0) = \prod_{j=0}^{k-1} (\alpha-j) $. Damit folgt als Taylorpolynom + für $f$ im Entwicklungspunkt $x_0 = 0$: + \begin{salign*} + T_n(x, 0) &= \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} (x-0)^{k} \\ + &= \sum_{k=0}^{n} \frac{\prod_{j=0}^{k-1} (\alpha-j) }{k!} x^{k} \\ + &= \sum_{k=0}^{n} \binom{\alpha}{k} x^{k} + .\end{salign*} + Mit $a_k \coloneqq \binom{\alpha}{k} x^{k}$ folgt + \begin{salign*} + \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| &= \left| \frac{\frac{\prod_{j=0}^{k} (\alpha-j) }{(k+1)!} x^{k+1}}{\frac{\prod_{j=0}^{k-1} (\alpha-j) }{k!}x^{k}} \right| \\ + &= \left| \frac{\alpha-k}{k+1} \right| |x| \\ + &\xrightarrow{k \to \infty} |x| < 1 + .\end{salign*} + $T_n$ ist also konvergent $\forall x \in (-1,1)$: + \[ + T_n(x, 0) \xrightarrow{n \to \infty} f(x) = (1+x)^{\alpha} + .\] + \item Damit folgt nun für $r \in \N$ und $p \in (0,1)$: + \begin{salign*} + \sum_{\omega \in \N_0} \mathbbm{p}(\omega) + &= \sum_{\omega \in \N_0} \binom{\omega + r -1}{\omega} p^{r} (1-p)^{\omega} \\ + &= p^{r} \sum_{\omega \in \N_0} \binom{\omega + r -1}{\omega} (1-p)^{\omega} \\ + &\stackrel{\text{(i)}}{=} p^{r} \sum_{\omega \in \N_0} (-1)^{\omega} + \binom{-r}{\omega}(1-p)^{\omega} \\ + &= p^{r} \sum_{\omega \in \N_0} \binom{-r}{\omega} (p-1)^{\omega} \\ + &\stackrel{\text{(ii)}}{=} + p^{r}(1+p-1)^{-r} \\ + &= p^{r} p^{-r} \\ + &= 1 + .\end{salign*} + \end{enumerate} + \end{proof} + Mit Hilfe dieser Zähldichte kann modelliert werden, dass eine Münze bei $\omega + r$ Würfen + genau im $\omega + r$-ten Wurf $r$ mal Kopf gezeigt hat. + \item Es soll nach dem 30. Zug genau zum 6. Mal gewonnen werden, d.h. $r=6$, damit + \[ + \omega +r = 30 \implies \omega = 24 + .\] Mit $p=0.2$ und der (a) folgt + \[ + \mathbb{P}(\{\omega\}) = \binom{24 + 6 -1}{24} 0.2^{6}(1-0.2)^{24} \approx 0.625 + .\] + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\end{document}