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@@ -249,4 +249,51 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Wir wählen die Hypothesen $H_0 \colon \mu \leq \mu_0$ und $H_1 \colon \mu > \mu_0$. 
+        Der Student-$t$-Test ist dann gegeben durch
+        \[
+            \phi_c^r = \mathbbm{1}_{\sqrt{n}(\overline{X_n} - \mu_0) \geq c \hat{S}_n}  
+        \]
+        mit $ c= t_{(n-1), (1-\alpha)}$.
+        Wir berechnen also zunächst
+        \[
+            \overline{X_n} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} X_i = 103.64,
+        \]
+        \[
+            \hat{S}_n = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i = 1}^{n} (X_i - \overline{X}_n)^2} \approx 5.22
+        \]
+        und
+        \[
+            c = t_{(n-1, 1-\alpha)} = t_{9, 0.95} = 1.833.  
+        \]
+        Daraus folgt
+        \[
+            \phi_c^r = \mathbbm{1}_{\sqrt{10}(103.64-100) \geq 1.833 \cdot 5.22} = \mathbbm{1}_{11.51 \geq 9.57} = 1,
+        \]
+        wir lehnen also ab.
+        \item Wir wollen als Partition in richtige und falsche Parameter $\mathcal{R}_\mu = \{\mu\}$ und $\mathcal{F}_\mu = \R\setminus\{\mu\}$.
+        Dann erhalten wir als assoziierte Familie von Partitionen und Null- und Alternativhypothesen
+        $\mathscr H_\mu^0 = \{\mu\}$ und $\mathscr H_\mu^1 = \R \setminus \{\mu\}$.
+        Da der beidseitige Student-$t$-Test ein $\alpha$-Test der Nullhypothese $H_0\colon \mathscr H_\mu^0$ gegen die 
+        Alternative $H_1 \colon \mathscr H_\mu^1$ für jedes $\mu \in \R$ ist, muss die assoziierte Bereichsschätzfunktion
+        für $(\{\mathcal R_\mu, \mathcal F_\mu\})_{\mu \in \R}$ ein $(1-\alpha)$-Konfidenzbereich sein.
+        Die assoziierte Bereichsschätzfunktion zum beidseitigen Student-$t$-Test 
+        $\phi^b_{t_{(n-1), (1 - \alpha/2)}, \mu}(X_1, \dots X_n)$ ist gegeben durch
+        \begin{align*}
+            B(X_1, \dots, X_n) &= \{\mu \in \R: \phi^b_{t_{(n-1), (1 - \alpha/2)}, \mu}(X_1, \dots X_n) = 0\}\\
+            &= \{\mu \in \R: \sqrt{n}|\overline{X_n} - \mu| \leq t_{(n-1), (1-\alpha/2)} S\}\\
+            &= \{\mu \in \R: |\overline{X_n} - \mu| \leq \frac{S}{\sqrt{n}} t_{(n-1), (1-\alpha/2)}\}\\
+            &= \left[\overline{X_n} - \frac{S}{\sqrt{n}} t_{(n-1), (1-\alpha/2)}, \overline{X_n} + \frac{S}{\sqrt{n}} t_{(n-1), (1-\alpha/2)}\right]
+        \end{align*}
+        Das war zu zeigen.
+        \item Mithilfe unserer numerischen Resultate aus der (a) sowie der Aussage von Teilaufgabe (b) folgern wir, dass
+        \begin{align*}
+            [103.64 - \frac{5.22}{\sqrt{10}}t_{9, 0.975}, 103.64 + \frac{5.22}{\sqrt{10}}t_{9, 0.975}] &\subset [99.90, 107.38]
+        \end{align*}
+        ein 95\%-Konfidenzintervall ist.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}