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wtheo6.tex

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+\documentclass[uebung]{lecture}
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+\title{Wtheo 0: Übungsblatt 6}
+\author{Josua Kugler, Christian Merten}
+
+\begin{document}
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+\punkte[21]
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: $\mathbb{P}(\cdot  \mid B)$ ist Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \mathcal{A})$.
+            \begin{proof}
+                \begin{enumerate}[(i)]
+                    \item Es ist für $A \in \mathcal{A}$:
+                        $\mathbb{P}(A | B) = \frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(B)} \ge 0$,
+                        da $\mathbb{P}$ W'maß.
+                    \item $\mathbb{P}(\Omega | B) = \frac{\mathbb{P}(\Omega \cap  B)}{\mathbb{P}(B)}
+                            = \frac{\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(B)} = 1$.
+                    \item Seien $A_i \in \mathcal{A}$ mit $A_i$ paarweise disjunkt. Dann folgt
+                        \begin{salign*}
+                            \mathbb{P}\left( \bigcupdot_{i \in \N} A_i \right)
+                            &= \frac{\mathbb{P}\left( \left( \bigcupdot_{i \in  \N} A_i \right) \cap B \right) }{\mathbb{P}(B)} \\
+                            &= \frac{\mathbb{P}\left( \bigcupdot_{i \in  \N} (A_i \cap B)  \right) }{\mathbb{P}(B)} \\
+                            &= \sum_{i \in \N} \frac{\mathbb{P}(A_i \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \\
+                            &= \sum_{i \in \N} \mathbb{P}(A_i|B)
+                        ,\end{salign*}
+                        wobei im 3. Schritt die $\sigma$-Additivität von $\mathbb{P}$ ausgenutzt wurde.
+                \end{enumerate}
+            \end{proof}
+        \item Es ist beispielsweise mit
+            $A = \emptyset\colon \mathbb{P}(\emptyset | \Omega) = \frac{\mathbb{P}(\emptyset \cap  \Omega)}{\mathbb{P}(\Omega)} = \frac{0}{1} = 0 \neq 1$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\stepcounter{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Sei $A \in \mathcal{A}$. Dann ist $\mathbb{P}(\Omega \cap A) = \mathbb{P}(A) = 1 \cdot \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(\Omega) \mathbb{P}(A)$. Außerdem
+            gilt $\mathbb{P}(\emptyset \cap A) = \mathbb{P}(\emptyset) = 0 = 0 \cdot \mathbb{P}(A) =
+            \mathbb{P}(\emptyset) \mathbb{P}(A)$.
+        \item Seien $A, B, C$ gemeinsam stochastisch unabhängig. Dann ist
+            $\mathbb{P}((A \cap B) \cap C) = \mathbb{P}(A \cap B \cap C)
+            = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(C) = \mathbb{P}(A \cap B) \mathbb{P}(C)$.
+            Außerdem gilt
+            $\mathbb{P}((A \cup B) \cap C) = \mathbb{P}((A \cap B) \cup (B \cap C))
+            = \mathbb{P}(A \cap C) + \mathbb{P}(B \cap C) - \mathbb{P}(A \cap C) \cap (B \cap C)
+            = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(C) + \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(A \cap B \cap C)
+            = \mathbb{P}(C) (\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B))
+            = \mathbb{P}(C) \mathbb{P}(A \cup B)$.
+        \item Da der Würfel Laplace verteilt angenommen ist, folgt direkt
+            $\mathbb{P}(A) = \frac{1}{2}$ und $\mathbb{P}(B) = \frac{1}{2}$. Da
+            die Summe der Augenzahlen genau dann gerade ist, wenn einer der Würfe eine gerade
+            und einer der Würfe eine ungerade Zahl ergibt, folgt $\mathbb{P}(C) = \frac{1}{2}$.
+            Dabei gilt $\mathbb{P}(A \cap B \cap C) = 0$, da die Summe der Augenzahlen gerade ist, falls
+            beide Würfe gerade Augenzahlen ergeben.
+
+            Die Ereignisse $A, B, C$ sind paarweise unabhängig, denn
+            \begin{salign*}
+                \mathbb{P}(A \cap C) &= \mathbb{P}(\text{,,1. Wurf gerade, 2. ungerade''}) = \frac{1}{4}
+                = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(C) \\
+                \mathbb{P}(A \cap B) &= \mathbb{P}(\text{,,1. und 2. Wurf gerade''})
+                = \frac{1}{4} = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \\
+                \mathbb{P}(B \cap C) &= \mathbb{P}(\text{,,1. Wurf ungerade, 2. gerade''})
+                = \frac{1}{4} = \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(C)
+            .\end{salign*}
+
+            Aber $\mathbb{P}(A \cap B \cap C) = 0 \neq \frac{1}{8} = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(C)$
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}