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         also $f(x) \in [a,b]$ und damit $x\in A$.
         Also muss $A$ ein Intervall sein und damit wieder in $\mathscr B(\R)$ liegen.
         Da die Menge aller Intervalle $[a,b]$ bereits ein Erzeuger von $\mathscr B(\R)$ ist, folgt daraus bereits die Messbarkeit.
-        \item Sei $(s_n)_{n\in \N}$ eine reelle Folge mit $\lim\limits_{n \to \infty} s_n = s$. 
-        Dann ist $(g_n)_{n\in\N},\; g_n(x) \coloneqq g(s_n, x)$ eine Funktionenfolge, die wegen
+        \item Da $g(s,x)$ Riemann-integrierbar in $x$ ist, konvergiert die Folge 
         \[
-            \lim\limits_{n \to \infty} \lVert g(s_n,x) - g(s,x)\rVert = \lVert \lim\limits_{n \to \infty} g(s_n,x) - g(s,x)\rVert = 0  
+            S_{Z_n}(s) = \sum_{k = 1}^{n} g(s, x^n_k)(x^n_k - x^n_{k-1}) \xrightarrow{n \to \infty} \int_0^1g(s,x) \d x,
         \]
-        gleichmäßig konvergiert. Insbesondere gilt also
-        \[
-            \lim\limits_{n \to \infty} h(s_n) = \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 g(s_n,x) \d{x} 
-            = \int_0^1 \lim\limits_{n \to \infty} g(s_n,x) \d{x} = \int_0^1 g(s,x) = h(s).
-        \]
-        \item Wähle ein $A$, sodass $[0,1] \subset A \in 2^\R$, aber $A \notin \mathscr B(\R)$ und 
+        wobei $Z_n = (x^n_1, \dots, x^n_n), x^j_i \in \R \forall i, j$ eine Partition sei, sodass 
+        $\max_{i\in [2,n]\cap \N} |x^n_i - x^n_{i-1}| \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt.
+        Wegen $g(s,x^n_k)$ stetig $\forall n, k\in\N$ muss auch $S_{Z_n}$ stetig und damit $(\mathscr B, \mathscr B)$-messbar sein.
+        Nach Aufgabe 11 ist damit $\lim\limits_{n \to \infty} S_{Z_n}$ $(\mathscr B, \mathscr B)$-messbar.
+        \item Wähle ein $A \in 2^\R$ sodass $A \notin \mathscr B(\R)$ und 
         \[
             \kappa\colon x \mapsto \begin{cases}
             x - \lfloor x\rfloor &x \in A\\
+            x + 1 &x \in [0,1)\\
             x &\text{sonst}
         \end{cases}
         \]
-        Dann gilt $\forall c \in [0,1]\colon\kappa ^{-1}(c) = \{c, c+1, c-1,\dots\}$, 
-        insbesondere ist $\kappa^{-1}(c)$ abzählbar und damit Element von $\mathscr B(\R)$.
-        Für $x \in A \cap [0,1]^c$ ist $\kappa(c)$ einfach die leere Menge.
-        Für $x\in A^c \cap [0,1]^c$ ist $\kappa(c) = \{c\}$. Damit ist die Bedingung an $\kappa$ erfüllt. 
-        Dennoch ist $\kappa^{-1}([0,1]) = A$ und $A \notin \mathscr B(\R)$.
+        Dann gilt $\forall c \in [0,1)\colon\kappa ^{-1}(c) = \{c, c+1, c-1,\dots\} \cap A$, 
+        insbesondere ist $\kappa^{-1}(c)$ abzählbar.
+        Für $x \in [1,2)$ ist $\kappa^{-1}(c) \subset \{c, c-1\}$.
+        Für $x \in A \cap [0,2)^c$ ist $\kappa^{-1}(c)$ einfach die leere Menge.
+        Für $x\in A^c \cap [0,2)^c$ ist $\kappa^{-1}(c) = \{c\}$. 
+        Damit liegt $\kappa^{-1}(c)$ stets in $\mathscr B(\R)$ und die Bedingung an $\kappa$ ist erfüllt. 
+        Dennoch ist $\kappa^{-1}([0,1)) = A$ und $A \notin \mathscr B(\R)$.
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}