Compare commits
1
Commits
d4b5b7a47b
...
master
| Author | SHA1 | Date | |
|---|---|---|---|
 JosuaKugler
|
68d1439ccc |
BIN
Binary file not shown.
+98
-2
@@ -4,18 +4,114 @@
|
||||
\author{Josua Kugler, Christian Merten}
|
||||
\usepackage[]{mathrsfs}
|
||||
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
|
||||
\newcommand{\F}{\mathbbm{F}}
|
||||
\newcommand{\var}{\mathbb{V}\text{ar}}
|
||||
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\punkte[40]
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[]
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item In der $i$-ten Runde wird das Kapital mit $1 + (-0.5)^k_i$ multipliziert, wobei $k_i = 0$ für Kopf stehe
|
||||
und $k_i = 1$ bedeute, dass in der $i$-ten Runde Zahl geworfen wird. Offenbar ist $k_i$ Bernoulli-verteilt mit
|
||||
$n = 1$, $p = 0.5$. Daher gilt $R_i \overset{i.i.d}{\sim} 1 + (-0.5)^{B_{0.5}}$.
|
||||
\item Es gilt
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
\E(K_n) &= \E\left(\prod_{i = 1}^n R_i\right)\\
|
||||
&\stackrel{\indep R_i}{=} \prod_{i=1}^n \E(R_i)\\
|
||||
&\stackrel{R_i \sim 1 + (-0.5)^{B_{0.5}}}{=} \E(1 + (-0.5)^{B_{0.5}})^n\\
|
||||
&= (0.5(1.5 + 0.5))^n\\
|
||||
&= 1
|
||||
\end{salign*}
|
||||
\item Es gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\E(\ln R_1) = 0.5 \cdot \ln(0.5) + 0.5 \cdot \ln(1.5) = \frac{\ln(3)}{2} - \ln(2) < 0.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Insbesondere ist $\ln(R_1) \in \mathscr L_1$. Außerdem ist $(\ln R_i)_{i\in \N}$ eine unabhängig und identisch verteilte
|
||||
Folge reeller Zufallsvariablen. Daher sind die Voraussetzungen fürs SGGZ erfüllt und wir erhalten
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln K_n &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{\infty} \ln R_i\\
|
||||
&= \lim\limits_{n \to \infty} \overline{\ln R_i}\\
|
||||
&\stackrel{\text{SGGZ}}{=} \E(R_1)\\
|
||||
&= \frac{\ln(3)}{2} - \ln(2) < 0.
|
||||
\intertext{Wir schließen daraus}
|
||||
\lim\limits_{n \to \infty} \ln K_n &= -\infty.
|
||||
\intertext{Schlussendlich folgt}
|
||||
\lim\limits_{n \to \infty} K_n &= \lim\limits_{n \to \infty} e^{\ln K_n}\\
|
||||
&\stackrel{\operatorname{exp} \text{ stetig}}{=} e^{\lim\limits_{n \to \infty} \ln K_n}\\
|
||||
&= 0.
|
||||
\end{salign*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[]
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item Aus dem ZGWS folgt mit Korollar 31.04: $\sqrt{n}[\overline{X_n}-\mu] \xrightarrow{D} N_{(0,\sigma^2)}$.
|
||||
Daraus erhalten wir für $a_n = \sqrt{n}, X_n = \overline{X_n}$ und $x = \mu$ mit Satz 29.19
|
||||
$\overline{X}_n \xrightarrow{\mathbbm{P}} \mu = \E(X_1)$. Das ist genau die Aussage des schwachen Gesetzes
|
||||
der großen Zahlen.
|
||||
\item Wir zeigen $X_n \xrightarrow{\mathbbm{P}} 0$. Daraus folgt dann die Behauptung.
|
||||
|
||||
Sei $\epsilon > 0$.
|
||||
Es gilt wegen $\sqrt[n]{n} \xrightarrow{n \to \infty} 1$
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2\epsilon}{n+1}} = 1.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Für beliebiges $x \in (-1, 1)$ existiert daher ein $n\in \N$ mit $|x| < \sqrt[n]{\frac{2\epsilon}{n+1}}$.
|
||||
Insbesondere ist
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\limsup\limits_{n \to \infty} \left\{|\frac{n+1}{2} |x|^n \mathbbm{1}_{(-1,1)}| > \epsilon\right\}
|
||||
&= \limsup\limits_{n \to \infty} \left\{x \in (-1, 1), |x| > \sqrt[n]{\frac{2\epsilon}{n+1}}\right\}= \emptyset
|
||||
\end{align*}
|
||||
und damit auch $\limsup\limits_{n \to \infty} \mathbbm{P}(\{|X_n| > \epsilon\}) = 0$.
|
||||
Das ist gerade die Definition von $X_n \xrightarrow{\mathbbm{P}} 0$, die Behauptung ist also bewiesen.
|
||||
\item \begin{enumerate}
|
||||
\item Es gilt $\forall x < 0\colon \F_n(x) = 0 \implies \F(x) = 0$,
|
||||
$\forall x \in [0,1]\colon \F_n(x) = \frac{x}{1 + 1/n} \implies \F(x) = x$ und
|
||||
$\forall x \geq 1\colon \F_n(x) = \frac{x}{1+1/n}$ für $x < 1+ 1/n \Leftrightarrow n < \frac{1}{x-1}$.
|
||||
Für $n > \frac{1}{x-1}$ gilt $\F_n(x) = 0$. Daraus folgt $\F(x) = 0$.
|
||||
Wir erhalten als Grenzwert der Verteilungsfunktionen
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lim\limits_{n \to \infty} \F_n(x) = \F(x) \coloneqq \begin{cases}
|
||||
0 &| x < 0\\
|
||||
x &| 0 \leq x \leq 1\\
|
||||
1 &| 1 < x
|
||||
\end{cases}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Dies ist genau die Verteilungsfunktion von $U_{[0,1]}$, also wähle gilt $X_n \xrightarrow{D} U_{[0,1]}$.
|
||||
\item Es gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lim\limits_{n \to \infty} \F_n(x) &= \lim\limits_{n \to \infty} \begin{cases}
|
||||
\int_0^x ne^{-n\tilde{x}}\d{\tilde{x}} = 1 - e^{-nx} &| x > 0\\
|
||||
0 &| x \leq 0
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
&= \begin{cases}
|
||||
1 - \lim\limits_{n \to \infty} e^{-nx} &| x > 0\\
|
||||
0&|x \leq 0
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
&= \mathbbm{1}_{\R_{\setminus 0}^+}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Es gilt aber $\lim\limits_{x \searrow 0} \mathbbm{1}_{\R_{\setminus 0}^+}(x) = 1 \neq 0 = \mathbbm{1}_{\R_{\setminus 0}^+}(0)$.
|
||||
Daher ist der Grenzwert der Verteilungsfunktion nicht rechtsstetig. Es kann daher keine Zufallsvariable mit dieser Verteilung
|
||||
existieren.
|
||||
\item Es gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lim\limits_{n \to \infty} \F_n(x) &= \lim\limits_{n \to \infty} \begin{cases}
|
||||
\int_0^x \frac{1}{n}e^{-\frac{1}{n}\tilde{x}}\d{\tilde{x}} = 1 - e^{-\frac{1}{n}x} &| x > 0\\
|
||||
0 &| x \leq 0
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
&= \begin{cases}
|
||||
1 - \lim\limits_{n \to \infty} e^{-\frac{1}{n}x} = 0 &| x > 0\\
|
||||
0&|x \leq 0
|
||||
\end{cases}\\
|
||||
&\equiv 0
|
||||
\end{align*}
|
||||
Es gilt aber $\lim\limits_{x \to \infty} 0 = 0\neq 1$. Es kann daher keine Zufallsvariable mit dieser Verteilung
|
||||
existieren.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
@@ -45,7 +141,7 @@
|
||||
es folgt für $t \in \R$
|
||||
\[
|
||||
\varphi_{Y-Z}(t) = \varphi_{Y} \varphi_{-Y}(t) = \varphi_Y(t) \overline{\varphi_Y(t)}
|
||||
= |\varphi_Y(t)| \ge 0
|
||||
= |\varphi_Y(t)|^2 \ge 0
|
||||
.\] Aber $\varphi_{X}(t) = \frac{\sin(t)}{t}$ für $X \sim U_{[-1, 1]}$ und
|
||||
für $t = \frac{3}{2} \pi$ folgt $\varphi_X(\frac{3}{2}\pi) = - \frac{2}{3 \pi} < 0$.
|
||||
Also ist $\varphi_X(t) \neq \varphi_{Y-Z}(t)$, also
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user