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wtheo3.tex

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-\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+\documentclass[uebung]{lecture}
 
 \title{Wtheo 0: Übungsblatt 3}
 \author{Josua Kugler, Christian Merten}
@@ -54,7 +54,28 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
-\stepcounter{aufgabe}
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Ein Neyman-Pearson-Test für dieses Testproblem ist gegeben durch die Funktion $\mathbbm{1}_{A_k}$ mit 
+        \begin{align*}
+            A_k &= \{x \colon \mathbbm{p}_{\mathrm{Poi}_{\lambda_1}} (x) \geq \mathbbm{p}_{\mathrm{Poi}_{\lambda_0}} (x)\}\\
+            &= \{x \colon e^{-\lambda_1} \frac{\lambda_1^x}{x!} \geq k e^{-\lambda_0} \frac{\lambda_0^x}{x!}\}\\
+            &= \{x \colon e^{\lambda_0 -\lambda_1} \frac{\lambda_1^x}{\lambda_0^x} \geq k\}
+        \end{align*}
+        Damit einer dieser Tests ein bester Test zum Niveau $\alpha \in (0,1)$ ist, muss $\mathbbm{P}_{\lambda_0}(A_k) = \alpha$ gelten.
+        \item Da $e^{\lambda_0 -\lambda_1} \frac{\lambda_1^x}{\lambda_0^x}$ für $\lambda_1 > \lambda_0$ und $x > 0$ 
+        stets streng monoton wachsend ist und $\mathbbm{P}_{\lambda_0}(A_k) = \alpha$ völlig unabhängig von $\lambda_1$ ist, 
+        muss jeder beste Test zum Niveau $\alpha$ auch ein gleichmäßig bester Test für $H_0$ gegen $H_1'$ sein.
+        \item Wählen wir $A = [9157, \infty)$ als Ablehnungsbereich, so erhalten wir 
+        \[
+            \mathbbm P_0 (A) = \sum_{k = 9157}^{\infty} \frac{\lambda_0^k}{k!} e^{-\lambda_0} \leq 0.05.
+        \]
+        Für ein beliebiges $\lambda_1$ existiert jetzt ein $k$ derart, dass wir diesen Ablehnungsbereich als Neyman-Pearson-Test schreiben können.
+        \[
+            \{x \colon e^{\lambda_0 -\lambda_1} \frac{\lambda_1^x}{\lambda_0^x} \geq k\} = \{9157,\dots\}.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}
     Zunächst ist zu bemerken, dass mit $\mathscr{E} := \{ (a, \infty]  \mid a \in \R\} $ nach VL
@@ -157,4 +178,38 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Sei $[a,b]$ ein Intervall in $\mathscr B(\R)$. 
+        Sei dann $A \coloneqq f^{-1}([a,n])$ und $\alpha \in U_\epsilon(\inf A) \cap A$ sowie $\beta \in U_\epsilon(\sup A) \cap A$.
+        Für beliebiges $\alpha \le x \le \beta$ folgt aufgrund der Monotonie $a \leq f(\alpha) \le f(x) \le f(\beta) \le b$, 
+        also $f(x) \in [a,b]$ und damit $x\in A$.
+        Also muss $A$ ein Intervall sein und damit wieder in $\mathscr B(\R)$ liegen.
+        Da die Menge aller Intervalle $[a,b]$ bereits ein Erzeuger von $\mathscr B(\R)$ ist, folgt daraus bereits die Messbarkeit.
+        \item Da $g(s,x)$ Riemann-integrierbar in $x$ ist, konvergiert die Folge 
+        \[
+            S_{Z_n}(s) = \sum_{k = 1}^{n} g(s, x^n_k)(x^n_k - x^n_{k-1}) \xrightarrow{n \to \infty} \int_0^1g(s,x) \d x,
+        \]
+        wobei $Z_n = (x^n_1, \dots, x^n_n), x^j_i \in \R \forall i, j$ eine Partition sei, sodass 
+        $\max_{i\in [2,n]\cap \N} |x^n_i - x^n_{i-1}| \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt.
+        Wegen $g(s,x^n_k)$ stetig $\forall n, k\in\N$ muss auch $S_{Z_n}$ stetig und damit $(\mathscr B, \mathscr B)$-messbar sein.
+        Nach Aufgabe 11 ist damit $\lim\limits_{n \to \infty} S_{Z_n}$ $(\mathscr B, \mathscr B)$-messbar.
+        \item Wähle ein $A \in 2^\R$ sodass $A \notin \mathscr B(\R)$ und 
+        \[
+            \kappa\colon x \mapsto \begin{cases}
+            x - \lfloor x\rfloor &x \in A\\
+            x + 1 &x \in [0,1)\\
+            x &\text{sonst}
+        \end{cases}
+        \]
+        Dann gilt $\forall c \in [0,1)\colon\kappa ^{-1}(c) = \{c, c+1, c-1,\dots\} \cap A$, 
+        insbesondere ist $\kappa^{-1}(c)$ abzählbar.
+        Für $x \in [1,2)$ ist $\kappa^{-1}(c) \subset \{c, c-1\}$.
+        Für $x \in A \cap [0,2)^c$ ist $\kappa^{-1}(c)$ einfach die leere Menge.
+        Für $x\in A^c \cap [0,2)^c$ ist $\kappa^{-1}(c) = \{c\}$. 
+        Damit liegt $\kappa^{-1}(c)$ stets in $\mathscr B(\R)$ und die Bedingung an $\kappa$ ist erfüllt. 
+        Dennoch ist $\kappa^{-1}([0,1)) = A$ und $A \notin \mathscr B(\R)$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}