\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Wtheo 0: Übungsblatt 8}
\author{Josua Kugler, Christian Merten}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\usepackage[]{mathrsfs}
\newcommand{\cov}{\mathbb{C}\text{ov}}
\newcommand{\var}{\mathbb{V}\text{ar}}

\begin{document}

\punkte[29]

\begin{aufgabe}[]
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item Es ist $|X_n| \in \mathcal{A}^{+}$, damit folgt
            \[
                \E\left(\sum_{n \in \N} |X_n|\right) = \sum_{n \in \N} \E(|X_n|) < \infty
            .\] Damit folgt mit 20.13. $\mathbb{P}\left( \sum_{n \in \N} |X_n| = \infty \right) = 0$ und
            damit
            \[
                \mathbb{P}\left( \sum_{n \in \N} |X_n| < \infty \right) = 1
            .\] 
        \item Es ist analog zu (i)
            \[
                \E\left( \left| \sum_{n \in \N} X_n \right| \right)
                \le \E\left( \sum_{n \in \N} |X_n| \right)
                = \sum_{n \in \N} \E(|X_n|) < \infty
            .\] Also $\sum_{n \in \N} X_n \mathscr{L}_1$ und $\sum_{n \in \N} |X_n| \in \mathscr{L}_1$.
        \item Setze $S_n \coloneqq \sum_{k=1}^{n} X_k$. Es gilt
            $\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{n \in \N} X_k \in \overline{\mathcal{A}}$ und
            \[
            |S_n| = \left| \sum_{k=1}^{n} X_k \right| \le \sum_{k=1}^{n} |X_k|
            \le \sum_{n \in \N} |X_n| \in \mathscr{L}_1
            .\] Insbesondere folgt $\sup_{n \in \N} |X_n| \le \sum_{n \in \N} |X_n| \in \mathscr{L}_1$.

            Wegen Monotonie der Erwartung
            \[
                \E(|S_n|) \le \E\left( \sum_{k \in \N} |X_k| \right)
                = \sum_{k \in \N} \E(|X_k|) < \infty
            .\]
            Also ist $S_n \in \mathscr{L}_1$ für $n \in \N$. Damit folgt mit dominierter Konvergenz im letzten
            Schritt:
            \begin{salign*}
                \sum_{n \in \N} \E(X_n)
                &= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \E(X_n) \\
                &\stackrel{\text{Linearität}}{=} \lim_{n \to \infty} \E\left( \sum_{k=1}^{n} X_n \right)  \\
                &= \lim_{n \to \infty} \E(S_n) \\
                &= \E\left( \sum_{n \in \N} X_n \right) 
            .\end{salign*}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\stepcounter{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Es ist
            \begin{salign*}
                & \quad\qquad\var(X) = \E\left[ (X - \E(X))^2 \right] = 0 \\
                \stackrel{(X- \E(X))^2 \in \overline{\mathcal{A}}^{+}}{\iff}&
                1 = \mathbb{P}\left( (X - \E(X))^2 = 0 \right) = \mathbb{P}\left( X - \E(X) = 0 \right)
                = \mathbb{P}( X = \E(X))
            .\end{salign*}
        \item
            \begin{itemize}
                \item Es gilt nach Definition
                    \begin{salign*}
                        \cov(X,Y) &= \E \left[ (X - \E(X))(Y - \E(Y)) \right] \\
                                  &= \E \left[ (Y - \E(Y)) (X - \E(X)) \right] \\
                                  &= \cov(Y,X)
                    .\end{salign*}
                \item Mit Linearität der Erwartung folgt direkt
                    \begin{salign*}
                        \cov(aX + bY, Z) &= \E\left[ (aX + bY - \E(aX + bY)(Z - \E(Z)) \right] \\
                                         &= \E\left[ (a(X - \E(X)) + b(Y - \E(Y)))(Z - \E(Z))  \right] \\
                                         &= a\E[ (X - \E(X))(Z - \E(Z)) ] + b \E[(Y - \E(Y))(Z - \E(Z))] \\
                                         &= a \cov(X, Z) + b \cov(Y, Z)
                    .\end{salign*}
                \item Mit Monotonie der Erwartung im letzten Schritt folgt
                    \begin{salign*}
                        \cov(X, X) = \E[(X - \E(X))(X - \E(X))] = \E[\underbrace{(X - \E(X))^2}_{\ge 0}] \ge 0
                    .\end{salign*}
                \item Es gilt $\E(a) = a$, also
                    \begin{salign*}
                        \cov(a, X) = \E\left[ (a - \E(a))(X - \E(X)) \right] = \E(0) = 0
                    .\end{salign*}
            \end{itemize}
        \item
            \begin{itemize}
                \item Mit der Linearität der Kovarianz und der letzten Eigenschaft in (b) folgt sofort
                    \begin{salign*}
                        \var(aX + b) &= \cov(aX + b, aX + b) \\
                                     &\stackrel{\text{linear}}{=} a \cov(X, aX + b) + \underbrace{\cov(b, aX + b)}_{= 0 \text{ (b.4)}} \\
                                     &\stackrel{\text{linear}}{=} a^2 \cov(X, X) + \underbrace{\cov(X, b)}_{= 0\text{ (b.4)}} \\
                                     &= a^2\var(X)
                    .\end{salign*}
                \item Mit Linearität und Symmetrie folgt
                    \begin{salign*}
                        \var(X + Y) &= \cov(X + Y, X + Y) \\
                                    &= \cov(X, X) + \cov(X, Y) + \cov(Y, X) + \cov(Y, Y) \\
                                    &= \var(X) + \var(Y) + 2 \cov(X, Y)
                    .\end{salign*}
            \end{itemize}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
