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  1. \documentclass[uebung]{lecture}

  2. 

  3. \title{Wtheo 0: Übungsblatt 11}

  4. \author{Josua Kugler, Christian Merten}

  5. \usepackage[]{mathrsfs}

  6. \newcommand{\E}{\mathbb{E}}

  7. \newcommand{\F}{\mathbbm{F}}

  8. \newcommand{\var}{\mathbb{V}\text{ar}}

  9. \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp}

  10. 

  11. \begin{document}

  12. 

  13. \punkte[40]

  14. 

  15. \begin{aufgabe}[]

  16.     \begin{enumerate}[(a)]

  17.         \item In der $i$-ten Runde wird das Kapital mit $1 + (-0.5)^k_i$ multipliziert, wobei $k_i = 0$ für Kopf stehe

  18.         und $k_i = 1$ bedeute, dass in der $i$-ten Runde Zahl geworfen wird. Offenbar ist $k_i$ Bernoulli-verteilt mit

  19.         $n = 1$, $p = 0.5$. Daher gilt $R_i \overset{i.i.d}{\sim} 1 + (-0.5)^{B_{0.5}}$.

  20.         \item Es gilt

  21.         \begin{salign*}

  22.             \E(K_n) &= \E\left(\prod_{i = 1}^n R_i\right)\\

  23.             &\stackrel{\indep R_i}{=} \prod_{i=1}^n \E(R_i)\\

  24.             &\stackrel{R_i \sim 1 + (-0.5)^{B_{0.5}}}{=} \E(1 + (-0.5)^{B_{0.5}})^n\\

  25.             &= (0.5(1.5 + 0.5))^n\\

  26.             &= 1

  27.         \end{salign*}

  28.         \item Es gilt

  29.         \begin{align*}

  30.             \E(\ln R_1) = 0.5 \cdot \ln(0.5) + 0.5 \cdot \ln(1.5) = \frac{\ln(3)}{2} - \ln(2) < 0. 

  31.         \end{align*}

  32.         Insbesondere ist $\ln(R_1) \in \mathscr L_1$. Außerdem ist $(\ln R_i)_{i\in \N}$ eine unabhängig und identisch verteilte

  33.         Folge reeller Zufallsvariablen. Daher sind die Voraussetzungen fürs SGGZ erfüllt und wir erhalten 

  34.         \begin{salign*}

  35.             \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln K_n &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{\infty} \ln R_i\\

  36.             &= \lim\limits_{n \to \infty} \overline{\ln R_i}\\

  37.             &\stackrel{\text{SGGZ}}{=} \E(R_1)\\

  38.             &= \frac{\ln(3)}{2} - \ln(2) < 0.

  39.             \intertext{Wir schließen daraus}

  40.             \lim\limits_{n \to \infty} \ln K_n &= -\infty.

  41.             \intertext{Schlussendlich folgt}

  42.             \lim\limits_{n \to \infty} K_n &= \lim\limits_{n \to \infty} e^{\ln K_n}\\

  43.             &\stackrel{\operatorname{exp} \text{ stetig}}{=} e^{\lim\limits_{n \to \infty} \ln K_n}\\

  44.             &= 0.

  45.         \end{salign*}

  46.     \end{enumerate}

  47. \end{aufgabe}

  48. 

  49. \begin{aufgabe}[]

  50.     \begin{enumerate}[(a)]

  51.         \item Aus dem ZGWS folgt mit Korollar 31.04: $\sqrt{n}[\overline{X_n}-\mu] \xrightarrow{D} N_{(0,\sigma^2)}$.

  52.         Daraus erhalten wir für $a_n = \sqrt{n}, X_n = \overline{X_n}$ und $x = \mu$ mit Satz 29.19 

  53.         $\overline{X}_n \xrightarrow{\mathbbm{P}} \mu = \E(X_1)$. Das ist genau die Aussage des schwachen Gesetzes

  54.         der großen Zahlen.

  55.         \item Wir zeigen $X_n \xrightarrow{\mathbbm{P}} 0$. Daraus folgt dann die Behauptung.

  56.         

  57.         Sei $\epsilon > 0$. 

  58.         Es gilt wegen $\sqrt[n]{n} \xrightarrow{n \to \infty} 1$

  59.         \begin{align*}

  60.             \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2\epsilon}{n+1}} = 1.

  61.         \end{align*}

  62.         Für beliebiges $x \in (-1, 1)$ existiert daher ein $n\in \N$ mit $|x| < \sqrt[n]{\frac{2\epsilon}{n+1}}$.

  63.         Insbesondere ist 

  64.         \begin{align*}

  65.             \limsup\limits_{n \to \infty} \left\{|\frac{n+1}{2} |x|^n \mathbbm{1}_{(-1,1)}| > \epsilon\right\}

  66.             &= \limsup\limits_{n \to \infty} \left\{x \in (-1, 1), |x| > \sqrt[n]{\frac{2\epsilon}{n+1}}\right\}= \emptyset

  67.         \end{align*}

  68.         und damit auch $\limsup\limits_{n \to \infty} \mathbbm{P}(\{|X_n| > \epsilon\}) = 0$.

  69.         Das ist gerade die Definition von $X_n \xrightarrow{\mathbbm{P}} 0$, die Behauptung ist also bewiesen.

  70.         \item \begin{enumerate}

  71.             \item Es gilt $\forall x < 0\colon \F_n(x) = 0 \implies \F(x) = 0$,

  72.             $\forall x \in [0,1]\colon \F_n(x) = \frac{x}{1 + 1/n} \implies \F(x) = x$ und

  73.             $\forall x \geq 1\colon \F_n(x) = \frac{x}{1+1/n}$ für $x < 1+ 1/n \Leftrightarrow n < \frac{1}{x-1}$. 

  74.             Für $n > \frac{1}{x-1}$ gilt $\F_n(x) = 0$. Daraus folgt $\F(x) = 0$.

  75.             Wir erhalten als Grenzwert der Verteilungsfunktionen 

  76.             \begin{align*}

  77.                 \lim\limits_{n \to \infty} \F_n(x) = \F(x) \coloneqq \begin{cases}

  78.                     0 &| x < 0\\

  79.                     x &| 0 \leq x \leq 1\\

  80.                     1 &| 1 < x

  81.                 \end{cases}

  82.             \end{align*}

  83.             Dies ist genau die Verteilungsfunktion von $U_{[0,1]}$, also wähle gilt $X_n \xrightarrow{D} U_{[0,1]}$.

  84.             \item Es gilt

  85.             \begin{align*}

  86.                 \lim\limits_{n \to \infty} \F_n(x) &= \lim\limits_{n \to \infty} \begin{cases}

  87.                     \int_0^x ne^{-n\tilde{x}}\d{\tilde{x}} = 1 - e^{-nx} &| x > 0\\

  88.                     0 &| x \leq 0

  89.                 \end{cases}\\

  90.                 &= \begin{cases}

  91.                     1 - \lim\limits_{n \to \infty} e^{-nx} &| x > 0\\

  92.                     0&|x \leq 0

  93.                 \end{cases}\\

  94.                 &= \mathbbm{1}_{\R_{\setminus 0}^+}

  95.             \end{align*}

  96.             Es gilt aber $\lim\limits_{x \searrow 0} \mathbbm{1}_{\R_{\setminus 0}^+}(x) = 1 \neq 0 = \mathbbm{1}_{\R_{\setminus 0}^+}(0)$.

  97.             Daher ist der Grenzwert der Verteilungsfunktion nicht rechtsstetig. Es kann daher keine Zufallsvariable mit dieser Verteilung

  98.             existieren.

  99.             \item Es gilt

  100.             \begin{align*}

  101.                 \lim\limits_{n \to \infty} \F_n(x) &= \lim\limits_{n \to \infty} \begin{cases}

  102.                     \int_0^x \frac{1}{n}e^{-\frac{1}{n}\tilde{x}}\d{\tilde{x}} = 1 - e^{-\frac{1}{n}x} &| x > 0\\

  103.                     0 &| x \leq 0

  104.                 \end{cases}\\

  105.                 &= \begin{cases}

  106.                     1 - \lim\limits_{n \to \infty} e^{-\frac{1}{n}x} = 0 &| x > 0\\

  107.                     0&|x \leq 0

  108.                 \end{cases}\\

  109.                 &\equiv 0

  110.             \end{align*}

  111.             Es gilt aber $\lim\limits_{x \to \infty} 0 = 0\neq 1$. Es kann daher keine Zufallsvariable mit dieser Verteilung

  112.             existieren.

  113.         \end{enumerate}

  114.     \end{enumerate}

  115. \end{aufgabe}

  116. 

  117. \begin{aufgabe}

  118.     \begin{enumerate}[(a)]

  119.         \item Sei $t \in \R$ beliebig. Dann rechne

  120.             \begin{salign*}

  121.                 \E(\cos(tX)) &= \int_{a}^{b} \cos(tx) \frac{1}{b-a}\d{x}

  122.                 = \frac{1}{b-a} \frac{1}{t} \sin(tx) \Big|_{a}^{b} = \frac{1}{t(b-a)}(\sin(tb) - \sin(ta)) \\

  123.                 \E(\sin(tX)) &= \int_{a}^{b} \sin(tx) \frac{1}{b-a} \d{x}

  124.                 = \frac{1}{t(b-a)} (\cos(ta) - \cos(tb))

  125.                 \intertext{Insgesamt ergibt sich}

  126.                 \varphi_X(t) &= \frac{1}{t(b-a)} \left[ \sin(tb) - \sin(ta) + i \cos(ta) - i\cos(tb) \right]

  127.                 = \frac{1}{it(b-a)} \left[ \exp(tai) - \exp(tbi) \right] 

  128.             .\end{salign*}

  129.         \item Da $Y$ und $Z$ unabhängig, sind auch $\exp(itY)$ und $\exp(itZ)$ unabhängig. Damit folgt

  130.             für $t \in \R$:

  131.             \begin{salign*}

  132.                 \varphi_{Y+Z}(t) &= \E(\exp(i t(Y + Z))) = \E(\exp(itY) \exp(itZ))

  133.                 = \E(\exp(itY)) \E(\exp(itZ)) = \varphi_Y(t) \varphi_Z(t)

  134.             .\end{salign*}

  135.             Es gilt nach VL $\E(\overline{Z}) = \overline{\E(Z)}$, also folgt

  136.             \begin{salign*}

  137.                 \varphi_{-Y}(t) = \E(\exp(-itY)) = \E(\overline{e^{itY}}) = \overline{\E(e^{itY})}

  138.                 = \overline{\varphi_{Y}(t)}

  139.             .\end{salign*}

  140.             Seien nun $Y, Z$ identisch verteilt. Dann ist $\varphi_Y = \varphi_{Z}$ und

  141.             es folgt für $t \in \R$

  142.             \[

  143.                 \varphi_{Y-Z}(t) = \varphi_{Y} \varphi_{-Y}(t) = \varphi_Y(t) \overline{\varphi_Y(t)}

  144.                 = |\varphi_Y(t)|^2 \ge 0

  145.             .\] Aber $\varphi_{X}(t) = \frac{\sin(t)}{t}$ für $X \sim U_{[-1, 1]}$ und

  146.             für $t = \frac{3}{2} \pi$ folgt $\varphi_X(\frac{3}{2}\pi) = - \frac{2}{3 \pi} < 0$.

  147.             Also ist $\varphi_X(t) \neq \varphi_{Y-Z}(t)$, also

  148.             ist $Y - Z$ nicht $U_{[-1,1]}$ verteilt.

  149.         \item Es gilt für $t \in \R$

  150.             \[

  151.                 \varphi_{X_2}(t) = \varphi_{X_1}(t) = \varphi_{X_1 + X_2}(t) = \varphi_{X_1}(t) \varphi_{X_2}(t)

  152.             .\] Da $\varphi_{X_1}(t) = \varphi_{X_2}(t) \neq 0$, folgt

  153.             \[

  154.                 \varphi_{X_1}(t) = \varphi_{X_2}(t) = 1

  155.             .\] Setze $Z \coloneqq 0$. Dann ist $\varphi_{Z}(t) = 1$ $\forall t \in \R$, also

  156.             folgt

  157.             \[

  158.                 \varphi_{X_1}(t) = \varphi_{X_2}(t) = \varphi_{Z}(t)

  159.             .\] Betrachte nun $Y_n \coloneqq X_1$ $\forall n \in \N$. Dann

  160.             ist $Y_n \xrightarrow{D} Z$. Da $Z$ konstant, folgt damit auch

  161.             $Y_n \xrightarrow{\mathbb{P}} Z$. Also $\forall \epsilon > 0$

  162.             \[

  163.                 \mathbb{P}(|X_2| > \epsilon) = \mathbb{P}(|X_1| > \epsilon) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(|Y_n - Z| > \epsilon) = 0

  164.             .\] Da $\epsilon$ beliebig, folgt $\mathbb{P}(X_1 = 0) = \mathbb{P}(X_2 = 0) = 1$. Also

  165.             $X_1 = 0 = X_2$ $\mathbb{P}$ f.s.

  166.     \end{enumerate}

  167. \end{aufgabe}

  168. 

  169. \begin{aufgabe}

  170.     \begin{enumerate}[(a)]

  171.         \item Setze $Y_i(x) \coloneqq \mathbbm{1}_{\{X_i \le x\}}$. Dann

  172.             ist $Y_i(x) \sim \text{Bernoulli}_{p}$ mit:

  173.             \[

  174.             p := \mathbb{P}(X_i \le x) =\mathbb{P}(X_1 \le x) = \mathbb{F}(x)

  175.             .\] 

  176.             Dann

  177.             ist $n \hat{\mathbb{F}}_n(x) = \sum_{i=1}^{n} Y_i(x)$ und damit

  178.             $n \hat{\mathbb{F}}_n(x) \sim \text{Bin}_{n,p}$  mit $p = \mathbb{P}(X_1 \le x) = \mathbb{F}(x)$.

  179.             Damit folgt

  180.             \begin{salign*}

  181.                 \E(\hat{\mathbb{F}}_n(x)) &= \frac{1}{n} \E(n\hat{\mathbb{F}}_n(x))

  182.                 = \frac{1}{n} n p = p = \mathbb{F}(x)\\

  183.                 \var(\hat{\mathbb{F}}_n(x)) &= \frac{1}{n^2} \var(n \hat{\mathbb{F}}_n(x)) = \frac{p(1-p)}{n}

  184.                 = \frac{\mathbb{F}(x)(1 - \mathbb{F}(x)}{n}

  185.             .\end{salign*}

  186.         \item Es ist $\hat{\mathbb{F}}_n(x) = \overline{Y}_n(x)$. Also folgt

  187.             \begin{salign*}

  188.                 \lim_{n \to \infty} \hat{\mathbb{F}}_n(x) =

  189.                 \lim_{n \to \infty} \overline{Y}_n(x)

  190.                 &\stackrel{\text{SGGZ}}{=} \E(Y_1) = \mathbb{F}(x)

  191.             .\end{salign*}

  192.         \item Es gilt da $\var(Y_1) = p(1-p) = \mathbb{F}(x)(1 - \mathbb{F}(x))$:

  193.             \begin{salign*}

  194.                 \sqrt{n} (\hat{\mathbb{F}}_n(x) - \mathbb{F}(x))

  195.                 = \sqrt{n} (\overline{Y}_n(x) - \mathbb{F}(x))

  196.                 \xrightarrow[\text{ZGWS}]{D} N_{(0, \var(Y_1(x))}

  197.                 = N_{(0, \mathbb{F}(x)(1 - \mathbb{F}(x))}

  198.             .\end{salign*}

  199.     \end{enumerate}

  200. \end{aufgabe}

  201. 

  202. \begin{aufgabe}

  203.     \begin{enumerate}[(a)]

  204.         \item Sei $b \in \R^{+}$. Dann ist

  205.             \begin{salign*}

  206.                 \text{Bias}_b(\hat{b}_n) &= \E_b(\hat{b}_n - b) = 2 \E_b(\overline{X}_n) - b =

  207.                 2 \E_b(X_1) - b = 0 \\

  208.                 \var_b(\hat{b}_n) &= 4 \var_b(\overline{X}_n) = \frac{4}{n} \var_b(X_1) = \frac{b^2}{3n}

  209.             .\end{salign*}

  210.             Setze $Y_i \coloneqq 2 X_i$. Dann ist $\overline{Y}_n = 2 \overline{X}_n = \hat{b}_n$. Damit

  211.             folgt mit ZGWS direkt

  212.             \[

  213.                 \sqrt{n} (\hat{b}_n - b) = \sqrt{n} (\overline{Y}_n - \E(Y_1))

  214.                 \xrightarrow{D} N_{(0, \var(Y_1)} = N_{(0, b^2/3)}

  215.             .\] 

  216.         \item Es ist $\hat{b}_n$ nach (a) $\sqrt{n} $-konsistent. Außerdem ist mit (a), dass

  217.             \[

  218.                 \frac{\sqrt{3n} }{b} (\hat{b}_n - b) \xrightarrow{D} N_{(0, 1)}

  219.             .\] Also ist $\frac{b}{\sqrt{3} }$ Störparameter. Da $\hat{b}_n = \overline{Y}_n$

  220.             und $\E(Y_1) = b$, folgt mit dem SGGZ, dass

  221.             \[

  222.                 \hat{b}_n = \overline{Y}_n \xrightarrow{\mathbb{P} \text{ f.s.}} \E(Y_1) = b

  223.             .\] Also insbesondere $\hat{b}_n$ konsistenter Schätzer für $b$ und damit

  224.             auch $\frac{\hat{b}_n}{\sqrt{3} }$ konsistenter Schätzer für den Störparameter

  225.             $\frac{b}{\sqrt{3} }$. Damit folgt nach VL, dass

  226.             $C_n^{(b)} \coloneqq [\hat{b}_n - \frac{\hat{b}_n}{\sqrt{3n} }q_{1-\alpha}, \infty)$

  227.             ein $1-\alpha$ KB für die richtigen Parameter $\mathcal{R}_{b} = [b, \infty)$ ist, wobei

  228.             $q_{1-\alpha}$ das $1-\alpha$ Quantil der Standardnormalverteilung ist.

  229.         \item $H_0$ ist die assoziierte Nullhypothese zu $\mathcal{R}_{b_0}$. Damit folgt nach

  230.             VL, da $C_n^{(b)}$ asympt. $1-\alpha$-KB, dass

  231.             \[

  232.                 \phi_n^{(b)} = \mathbbm{1}_{\{b_0 \not\in C_{n}^{(b)}\} }

  233.                 = \mathbbm{1}_{\{ \hat{b}_n - \frac{\hat{b}_n}{\sqrt{3n} } q_{1-\alpha} > b_0\} }

  234.             \] ein asympt. $1-\alpha$ Test ist.

  235.         \item Ausrechnen ergibt $\overline{X}_n = 50.88$ und damit

  236.             \[

  237.             \hat{b}_{10} - \frac{\hat{b}_{10}}{\sqrt{3 \cdot 10} } 1.64 = 71.28 < 100

  238.             \qquad C_{10}^{(b)} = [71.28, \infty)

  239.             .\] Also sollte $H_0$ nicht abgelehnt werden.

  240.     \end{enumerate}

  241. \end{aufgabe}

  242. 

  243. \end{document}