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  1. \documentclass[uebung]{lecture}

  2. 

  3. \title{Wtheo 0: Übungsblatt 6}

  4. \author{Josua Kugler, Christian Merten}

  5. 

  6. \renewcommand{\P}{\mathbb{P}}

  7. \usepackage{stmaryrd}

  8. \begin{document}

  9. 

  10. \punkte[21]

  11. 

  12. \begin{aufgabe}

  13.     \begin{enumerate}[(a)]

  14.         \item Beh.: $\mathbb{P}(\cdot  \mid B)$ ist Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega, \mathcal{A})$.

  15.             \begin{proof}

  16.                 \begin{enumerate}[(i)]

  17.                     \item Es ist für $A \in \mathcal{A}$:

  18.                         $\mathbb{P}(A | B) = \frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(B)} \ge 0$,

  19.                         da $\mathbb{P}$ W'maß.

  20.                     \item $\mathbb{P}(\Omega | B) = \frac{\mathbb{P}(\Omega \cap  B)}{\mathbb{P}(B)}

  21.                             = \frac{\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(B)} = 1$.

  22.                     \item Seien $A_i \in \mathcal{A}$ mit $A_i$ paarweise disjunkt. Dann folgt

  23.                         \begin{salign*}

  24.                             \mathbb{P}\left( \bigcupdot_{i \in \N} A_i \right)

  25.                             &= \frac{\mathbb{P}\left( \left( \bigcupdot_{i \in  \N} A_i \right) \cap B \right) }{\mathbb{P}(B)} \\

  26.                             &= \frac{\mathbb{P}\left( \bigcupdot_{i \in  \N} (A_i \cap B)  \right) }{\mathbb{P}(B)} \\

  27.                             &= \sum_{i \in \N} \frac{\mathbb{P}(A_i \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \\

  28.                             &= \sum_{i \in \N} \mathbb{P}(A_i|B)

  29.                         ,\end{salign*}

  30.                         wobei im 3. Schritt die $\sigma$-Additivität von $\mathbb{P}$ ausgenutzt wurde.

  31.                 \end{enumerate}

  32.             \end{proof}

  33.         \item Es ist beispielsweise mit

  34.             $A = \emptyset\colon \mathbb{P}(\emptyset | \Omega) = \frac{\mathbb{P}(\emptyset \cap  \Omega)}{\mathbb{P}(\Omega)} = \frac{0}{1} = 0 \neq 1$.

  35.     \end{enumerate}

  36. \end{aufgabe}

  37. 

  38. \begin{aufgabe}

  39.     Ist $X$ ein Ereignis, so bezeichne $\overline{X}$ das Gegenereignis zu $X$.

  40.     Wir definieren $R, V$ und $S$ wie im Hinweis. Nach Aufgabenstellung gilt $\P(R) = \frac{1}{2},\P(V|R) = \frac{2}{3}$ und  $\P(V|\overline R) = \frac{2}{3}$. Sei $A$ das Ereignis, dass Regen vorhergesagt wird.

  41.     $A$ tritt genau dann ein, wenn es regnet und die Wettervorhersage recht hat oder wenn es nicht regnet und die Wettervorhersage falsch liegt. Es gilt daher

  42.     $A = R \cap V \cup \overline R \cap \overline V$ und nach den De Morganschen Regeln 

  43.     \[

  44.         \overline{A} = \overline{R \cap V} \cap \overline{\overline{R} \cap \overline{V}} = (\overline{R} \cup \overline{V}) \cap (R \cup V) = \overline{R} \cap V \cup \overline{V} \cap R

  45.     \]

  46.     Weiter gilt $\P(S|A) = 1$ und $\P(S|\overline A) = \frac{1}{3}$. 

  47.     %Die Wahrscheinlichkeit, dass Mr. Pickwick einen Schirm mitnimmt, obwohl kein Regen vorhergesagt wurde, ist unabhängig davon, ob es dann tatsächlich regnet oder nicht stets $\frac{1}{3}$.

  48.     %Daher sind die Ereignisse $S \cap \overline{A}$ und $R$ stochastisch unabhängig.

  49.     Da Mr. Pickwick nicht weiß, ob es regnen wird oder nicht, gilt sogar $\P(S|A\cap R) = \P(S|A\cap \overline R) = 1 $ und $\P(S|\overline A \cap R) = \P(S| \overline A \cap \overline R)$.

  50.     Daraus erhalten wir

  51.     \begin{align*}

  52.         1 = \P(S|A\cap R) = \frac{\P(S \cap A \cap R)}{\P(A \cap R)} &\implies \P(S \cap A \cap R) = \P(A \cap R),\\

  53.         1 = \P(S|A\cap \overline R) = \frac{\P(S \cap A \cap \overline R)}{\P(A \cap \overline R)} &\implies \P(S \cap A \cap \overline R) = \P(A \cap \overline R),\\

  54.         \frac{1}{3} = \P(S|\overline A\cap R) = \frac{\P(S \cap \overline A \cap R)}{\P(\overline A \cap R)} &\implies \P(S \cap \overline A \cap R) = \frac{1}{3}\P(\overline A \cap R),\\

  55.         \frac{1}{3} = \P(S|\overline A\cap \overline R) = \frac{\P(S \cap \overline A \cap \overline R)}{\P(\overline A \cap \overline R)} &\implies \P(S \cap \overline A \cap \overline R) = \frac{1}{3}\P(\overline A \cap \overline R),\\

  56.     \end{align*}

  57.     Zudem gilt

  58.     \begin{align*}

  59.         \frac{2}{3} = \P(V | R) = \frac{\P(V \cap R)}{\P(R)} = 2 P(V\cap R) &\implies P(V\cap R) = \frac{1}{3}\\

  60.         \frac{2}{3} = \P(V | \overline R) = \frac{\P(V \cap \overline R)}{\P(\overline R)} = 2 P(V\cap \overline R) &\implies P(V\cap \overline R) = \frac{1}{3}\\

  61.     \end{align*}

  62.     Daraus erhalten wir wegen $\P(X \cap Y + \P(X \cap \overline{Y}) = \P(X)$ sofort

  63.     \begin{align*}

  64.         \P(\overline V\cap R) &= \P(R) - \P(V\cap R) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\\ 

  65.         \P(\overline{V} \cap \overline{R}) &= \P(\overline{R}) - \P(V \cap \overline{R}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

  66.     \end{align*} 

  67.     \begin{enumerate}[(a)]

  68.         \item Gesucht ist $\P(\overline{S}|R)$. 

  69.         Wir berechnen zunächst

  70.         \begin{align*}

  71.             \P(S \cap R) &= \P(S \cap R \cap A) + \P(S \cap R\cap \overline{A})\\

  72.             &= \P(S\cap A \cap R) + \P(S \cap \overline{A} \cap R)\\

  73.             &= \P(A \cap R) + \frac{1}{3} \P(\overline{A} \cap R)\\

  74.             &= \P((R \cap V \cup \overline R \cap \overline V) \cap R) + \frac{1}{3}\P((\overline{R} \cap V \cup \overline{V} \cap R) \cap R)\\

  75.             &= \P(R\cap V) + \frac{1}{3} \P(R \cap \overline{V})\\

  76.             &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \frac{1}{6} = \frac{7}{18}

  77.         \end{align*}

  78.         Es gilt daher

  79.         \begin{align*}

  80.             \P(\overline{S}|R) &= \frac{\P(\overline{S}\cap R)}{\P(R)}\\

  81.             &= 2 \cdot (\P(R) - \P(S \cap R))\\

  82.             &= 1 - 2 \P(S \cap R)\\

  83.             &= 1 - 2 \frac{7}{18} = \frac{18}{18} - \frac{14}{18} = \frac{2}{9}

  84.         \end{align*}

  85.         \item Gesucht ist $\P(S| \overline{R})$.

  86.         Wir berechnen zunächst

  87.         \begin{align*}

  88.             \P(S \cap \overline R) &= \P(S \cap \overline R \cap A) + \P(S \cap \overline R\cap \overline{A})\\

  89.             &= \P(S\cap A \cap \overline R) + \P(S \cap \overline{A} \cap \overline R)\\

  90.             &= \P(A \cap \overline R) + \frac{1}{3} \P(\overline{A} \cap \overline R)\\

  91.             &= \P((R \cap V \cup \overline R \cap \overline V) \cap \overline R) + \frac{1}{3}\P((\overline{R} \cap V \cup \overline{V} \cap R) \cap \overline R)\\

  92.             &= \P(\overline R\cap \overline V) + \frac{1}{3} \P(\overline R \cap V)\\

  93.             &= \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \frac{1}{3} = \frac{5}{18}

  94.         \end{align*}

  95.         Es gilt daher

  96.         \begin{align*}

  97.             \P(S|\overline R) &= \frac{\P(S\cap \overline R)}{\P(\overline{R})}\\

  98.             &= 2 \cdot \P(S \cap \overline R)\\

  99.             &= 2 \frac{5}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}

  100.         \end{align*}

  101.     \end{enumerate}

  102. \end{aufgabe}

  103. 

  104. \begin{aufgabe}

  105.     \begin{enumerate}[(a)]

  106.         \item Sei $A \in \mathcal{A}$. Dann ist $\mathbb{P}(\Omega \cap A) = \mathbb{P}(A) = 1 \cdot \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(\Omega) \mathbb{P}(A)$. Außerdem

  107.             gilt $\mathbb{P}(\emptyset \cap A) = \mathbb{P}(\emptyset) = 0 = 0 \cdot \mathbb{P}(A) =

  108.             \mathbb{P}(\emptyset) \mathbb{P}(A)$.

  109.         \item Seien $A, B, C$ gemeinsam stochastisch unabhängig. Dann ist

  110.             $\mathbb{P}((A \cap B) \cap C) = \mathbb{P}(A \cap B \cap C)

  111.             = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(C) = \mathbb{P}(A \cap B) \mathbb{P}(C)$.

  112.             Außerdem gilt

  113.             $\mathbb{P}((A \cup B) \cap C) = \mathbb{P}((A \cap B) \cup (B \cap C))

  114.             = \mathbb{P}(A \cap C) + \mathbb{P}(B \cap C) - \mathbb{P}(A \cap C) \cap (B \cap C)

  115.             = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(C) + \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(A \cap B \cap C)

  116.             = \mathbb{P}(C) (\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B))

  117.             = \mathbb{P}(C) \mathbb{P}(A \cup B)$.

  118.         \item Da der Würfel Laplace verteilt angenommen ist, folgt direkt

  119.             $\mathbb{P}(A) = \frac{1}{2}$ und $\mathbb{P}(B) = \frac{1}{2}$. Da

  120.             die Summe der Augenzahlen genau dann gerade ist, wenn einer der Würfe eine gerade

  121.             und einer der Würfe eine ungerade Zahl ergibt, folgt $\mathbb{P}(C) = \frac{1}{2}$.

  122.             Dabei gilt $\mathbb{P}(A \cap B \cap C) = 0$, da die Summe der Augenzahlen gerade ist, falls

  123.             beide Würfe gerade Augenzahlen ergeben.

  124. 

  125.             Die Ereignisse $A, B, C$ sind paarweise unabhängig, denn

  126.             \begin{salign*}

  127.                 \mathbb{P}(A \cap C) &= \mathbb{P}(\text{,,1. Wurf gerade, 2. ungerade''}) = \frac{1}{4}

  128.                 = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(C) \\

  129.                 \mathbb{P}(A \cap B) &= \mathbb{P}(\text{,,1. und 2. Wurf gerade''})

  130.                 = \frac{1}{4} = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \\

  131.                 \mathbb{P}(B \cap C) &= \mathbb{P}(\text{,,1. Wurf ungerade, 2. gerade''})

  132.                 = \frac{1}{4} = \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(C)

  133.             .\end{salign*}

  134. 

  135.             Aber $\mathbb{P}(A \cap B \cap C) = 0 \neq \frac{1}{8} = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) \mathbb{P}(C)$

  136.     \end{enumerate}

  137. \end{aufgabe}

  138. 

  139. \begin{aufgabe}

  140.     Sei $N$ die Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Zeichen in Goethes Faust und $M$ die Menge der verschiedenen Zeichen in Goethes Faust. 

  141.     Sei $\Omega = M^\N$.

  142.     Sei dann 

  143.     \[ 

  144.         A_{n} \coloneqq \{\omega \in \Omega \colon \forall i \in \llbracket n, n+N-1 \rrbracket \colon \omega_i = G_{i-n}\},

  145.     \]

  146.     wobei $G_i$ das $i$-te Zeichen von Goethes Faust bezeichne.

  147.     Die Ereignisse $(A_{kN})_{k\in \N}$ sind dann offensichtlich stochastisch unabhängig (analog zu Beispiel 14.8(b)) und es gilt 

  148.     $\P(A_i) = \frac{1}{(\# M)^N}$, also insbesondere 

  149.     \[

  150.         \sum_{k\in \N} \P(A_{kN}) =  \sum_{k\in \N} \frac{1}{(\# M)^N} = \infty.

  151.     \]

  152.     Nach dem Lemma von Borel-Cantelli gilt daher $\P(\limsup\limits_{k \to \infty} A_{kN}) = 1$. $(A_{kN})_{k \in \N}$ ist eine Teilfolge von $(A_n)_{n\in \N}$, also gilt auch $\P(\limsup\limits_{n \to \infty} A_n) = 1$.

  153.     Die Menge $\limsup\limits_{n \to \infty} A_n$ enthält gerade die $\omega \in \Omega$, die in unendlich vielen $A_n$ enthalten sind, also genau die Zeichenfolgen, in denen der Affe unendlich oft Goethes Faust tippt. Eines dieser Ereignisse tritt mit Wahrscheinlichkeit 1 ein.

  154. \end{aufgabe}

  155. 

  156. \end{document}