add ana8, one proof in ana7 and replace epsilon with varepsilon globally

ana7.tex

@@ -47,6 +47,7 @@
     Falls $m =n$ definiert $A\in K^{n\times n}$ eine lineare Abbildung in $\K^n$.
 \end{bem}
 \begin{lemma}[Lineare Abbildungen in $\K^n$]
+    \label{lemma:linabb}
     Sei $A = (a_{ij})_{i,j=1}^n \in \K^{n\times n}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
     \begin{enumerate}
         \item $A$ ist regulär
@@ -134,9 +135,53 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
     $$\norm{A}_2 = \max \left\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda \in \sigma(\bar{A}^TA)\right\}$$
     Sei $A$ hermitesch, bzw. symmetrisch, dann gilt $\norm{A}_2 = \max\{\sqrt{|\lambda|}, \lambda\in \sigma(A)\}$
 \end{lemma}
+
 \begin{proof}
-    später
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item $\bar{A}^{T}A$ hermitesch, denn
+            \[
+                \overline{\left( \bar{A}^{T}A \right)^{T}}
+                = \left( A^{T}\bar{A} \right)^{T} = \bar{A}^{T}A
+            .\] $\bar{A}^{T}A$ positiv semidefinit, denn
+            \[
+                (\bar{A}^{T}Ax, x)_2 = (Ax, Ax)_2 = \Vert A x \Vert_2^{2} \ge 0 \qquad
+                \forall x \in \mathbb{K}^{n}
+            .\] 
+        \item Es ist nach Definition
+            \[
+            \Vert A \Vert_2^2 = \sup_{\Vert x \Vert_{2} = 1} \Vert A x \Vert_2^{2}
+            = \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (Ax, Ax)_2
+            = \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (x, \bar{A}^{T}Ax)_2
+        .\] Wegen (1) ist $\bar{A}^{T}A$ hermitesch und positiv
+        semidefinit, d.h. es ex. $U \in \mathbb{K}^{n \times n}$
+        mit $U$ unitär und $U^{T}\bar{A}^{T}AU = D$, wobei
+        $D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$, $\lambda \in \sigma(\bar{A}^{T}A)$ und
+        $\lambda_i \ge 0$ reell.
+
+        Sei $y = \bar{U}^{T}x = U^{-1}x \implies x = Uy$. Damit folgt
+        mit $|\lambda_{max}| := \max \{ |\lambda_i|  \mid \lambda_i \in \sigma(\bar{A}^{T}A)\} $
+        \begin{align*}
+            \Vert A \Vert_2^2 &= \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (x, \bar{A}^{T}Ax)_2 \\
+            &= \sup_{\Vert Uy \Vert_2 = 1} (\underbrace{Uy}_{= x}, \bar{A}^{T}A\underbrace{Uy}_{= x})_2 \\
+            &= \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} (y, \underbrace{\bar{U}^{T}\bar{A}^{T}AU}_{= D}y)_2 \\
+            &= \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} (y, Dy)_2 \\
+            &= \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1}
+            (\underbrace{\lambda_1 |y_1|^2 + \ldots + \lambda_n |y_n|^2}
+            _{= \sum_{i=1}^{n} \lambda_i |y_i|^2}) \\
+            &\le \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} \sum_{i=1}^{n} |\lambda_{max}| |y_i|^2 \\
+            &= |\lambda_{max}| \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1} \Vert y \Vert_2^2 \\
+            &= |\lambda_{max}|
+        .\end{align*}
+        Sei $y$ Eigenvektor zu $\lambda_{max}$ und $\Vert y \Vert_2 = 1$. Dann gilt
+        $Dy = \lambda_{max}y$, also $(y, Dy)_2 = \lambda_{max}\underbrace{(y,y)_2}_{= 1}$. Damit
+        existiert ein $y$, s.d. $(y, Dy)_2 = \lambda_{max}$. % ????
+        Also folgt
+        $\displaystyle \sup_{\Vert y \Vert_2 = 1}(y, Dy)_2 = \lambda_{max}$. Damit folgt die
+        Behauptung für $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$. Behauptung
+        für $A$ hermitesch analog. % ???????
+    \end{enumerate}
 \end{proof}
+
 \begin{definition}[orthonormale/unitäre Matrizen]
     Eine Matrix $Q\in \K^{m\times n}$ heißt \textbf{orthonormal}, wenn ihre Spaltenvektoren ein Orthonormalsystem im $\K^m$ bilden, d.h.
     $$Q = (q_1, \dots, q_n)\qquad q_j \in \K^m$$

ana8.tex

@@ -0,0 +1,257 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{lemma}[Störungssatz]
+    Sei $\Vert \cdot \Vert$ beliebige natürliche Matrixnorm
+    auf $\mathbb{K}^{n \times n}$. Die Störungsmatrix
+    $B \in \mathbb{K}^{n \times n}$ hat $\Vert B \Vert < 1$. Dann ist
+    die Matrix $\mathbb{I} + B$ regulär und es gilt
+    \[
+        \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}
+    .\] 
+    \label{lemma:stoerung}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $x \in \mathbb{K}^{n}$. Dann ist
+    \begin{align*}
+        \Vert (\mathbb{I} + B) x \Vert \qquad
+        &= \qquad \Vert x + B x\Vert \\
+        &\stackrel{\text{Dreiecksungl.}}{\ge } \qquad \Vert x \Vert - \Vert Bx \Vert \\
+        &\stackrel{\Vert Bx \Vert \le \Vert B \Vert \Vert x \Vert}{\ge } 
+        \qquad \Vert x \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert x \Vert \\
+        &= \qquad ( \underbrace{1  - \Vert B \Vert}_{> 0}) \Vert x \Vert
+    .\end{align*}
+    Also hat die Gleichung $(\mathbb{I} + B) x = 0$ nur die Lösung $x = 0$, also
+    ist $(\mathbb{I} + B)$ injektiv und mit \ref{lemma:linabb} regulär.
+
+    Bleibt zu zeigen: $\Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}$.
+    Es gilt
+    \begin{align*}
+        1 \qquad &= \qquad \Vert \mathbb{I}\Vert \\
+        &= \qquad \Vert (\mathbb{I} + B) (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
+        &= \qquad \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} + B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
+        &\stackrel{\text{Dreicksungl.}}{\ge } \qquad \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
+        - \Vert B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
+        &\ge \qquad \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\
+        &= \qquad (1 - \Vert B \Vert) \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert
+    .\end{align*}
+    Damit folgt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+    Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und
+    $\tilde A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ s.d. $\Vert A - \tilde A\Vert < \frac{1}{\Vert A^{-1} \Vert}$. Dann
+    ist $\tilde A$ regulär.
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    Es ist $\tilde A = \tilde A + A - A = (\tilde A - A) + A = A
+    (\underbrace{A^{-1} (\tilde A - A) + \mathbb{I}}_{=:B})$. Damit folgt
+    $\Vert B \Vert = \Vert A^{-1} (\tilde A - A) \Vert \le \Vert A^{-1} \Vert \cdot \Vert \tilde A
+    - A \Vert < 1$.
+    Mit \ref{lemma:stoerung} folgt $\mathbb{I} + A^{-1}(\tilde A - A)$ regulär. Da
+    A regulär nach Vorraussetzung, folgt $\tilde A = A (\mathbb{I} + A^{-1} (\tilde A - A))$ regulär.
+\end{proof}
+
+\chapter{Funktionen mehrerer Variablen}
+
+Wir betrachten im Folgenden Funktionen $f\colon D \to \mathbb{K}$, mit
+$D \subseteq \mathbb{K}^{n}$, $D \neq \emptyset$ und Bildbereich $B_f \subseteq \mathbb{K}$.
+
+Zur Erinnerung:
+\begin{itemize}
+    \item \underline{Bild und Urbild}. Seien $M \subseteq D$, $N \subseteq f(D)$
+        Teilmengen. Dann heißt
+        \begin{align*}
+            f(M) &:= \{y \in \mathbb{K}  \mid  \exists x \in M\colon y = f(x)\} 
+            \intertext{das Bild. Weiter heißt}
+            f^{-1}(N) &:= \{ x \in D  \mid \exists y \in N\colon f(x) = y\}
+        .\end{align*} 
+        das Urbild. Dann ist $B_f = f(D)$ und $D = f^{-1}(B_f)$
+    \item \underline{Notation}. $f^{-1}(\cdot )$ meint das Mengen-Urbild, \underline{nicht}
+        eine Umkehrfunktion.
+\end{itemize}
+
+Da alle Normen auf $\mathbb{K}^{n}$ äquivalent sind, sind alle Aussagen unabhängig
+von der gewählten Norm. Standard ist die euklid. Norm.
+
+\section{Stetigkeit}
+
+\begin{definition}[Stetigkeit]
+    Eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ heißt
+    \underline{stetig} in einem Punkt $a \in D$, wenn für alle Folgen
+    $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subseteq D$ mit
+    $x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} a$ gilt
+    \[
+        f\left( x^{(k)} \right) \xrightarrow{k \to \infty} f(a)
+    .\] Die Funktion $f$ heißt \underline{stetig in $D$}, wenn sie für alle
+    $x \in D$ stetig ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    \begin{itemize}
+        \item Falls $f\colon D \to \mathbb{K}$ stetig, dann ist auch
+            $f\colon M \to \mathbb{K}$, $M \subseteq D$ stetig.
+        \item $f$ stetig $\implies \text{Re } f$, $\text{Im } f$, $|f|$ sind stetig.
+    \end{itemize}
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}[$\varepsilon$-$\delta$-Kriterium der Stetigkeit]
+    $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist stetig in $a \in D$, genau
+    dann wenn $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, s.d. $\forall x \in D$ gilt
+    \[
+        \Vert x - a \Vert < \delta  \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    wie für $n = 1$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Seien $f, g\colon  D \to \mathbb{K}$ stetig, dann sind
+    $f + g$, $f \cdot g$ und $\frac{f}{g}$ (falls $g(x) \neq 0$ $\forall x \in D$)
+    stetig.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    wie für $n = 1$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Eine stetige Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$
+    ist auf jeder kompakten Menge $K \subseteq D$ beschränkt, d.h.
+    \[
+        \exists M_K \text{ s.d. } |f(x)| \le M_K \quad \forall x \in K
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Ang.: $f(x)$ nicht beschränkt auf $K$. Dann gilt: $\forall k \in \N$, $\exists x^{(k)} \in K$ mit
+    $|f\left(x^{(k)}\right)| > k$, d.h. $|f\left( x^{(k)} \right)| \xrightarrow{k \to \infty} \infty$.
+
+    Die Folge $(x^{(k)})_{k\in\N}$ besitzt auf der kompakten Menge $K$ eine
+    konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
+    $\displaystyle \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)} = x \in K$.
+
+    Da $f$ stetig, folgt $|f\left( x^{(k_j)} \right)| \xrightarrow{j \to \infty} |f(x)|$. Widerspruch
+    zu $|f\left( x^{(k)} \right)| \xrightarrow{k \to \infty} \infty$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Extremum]
+    Eine stetige Funktion $f\colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$ nimmt
+    auf jeder nichtleeren kompakten Menge $K \subseteq D$ ihr
+    Maximum und Minimum an, d.h. es ex. $x^{max}$ und $x^{min} \in K$, s.d.
+    \begin{align*}
+        f(x^{max}) &= \sup_{x \in K} f(x) =: \max_{x \in K} f(x) \\
+        f(x^{min}) &= \inf_{x \in K} f(x) =: \min_{x \in K} f(x)
+    .\end{align*}
+    \label{satz:stetigextremum}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    $f$ stetig und deshalb beschränkt auf $K$, d.h. es ex. obere Schranke
+    $\displaystyle M := \sup_{x \in K} f(x)$. Außerdem existiert eine Folge
+    $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subseteq K$, s.d.
+    $f\left( x^{(k)} \right) \xrightarrow{k \to \infty} M$. Da $K$ kompakt, existiert
+    eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
+    $x^{(k_j)} \xrightarrow{j \to \infty} a =: x^{max} \in K$. Wegen der Stetigkeit von
+    $f$, folgt aus $f\left( x^{(k_j)} \right) \xrightarrow{j \to \infty} f\left( x^{max} \right)$:
+    $f(x^{max}) = M$.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Anwendung von Satz \ref{satz:stetigextremum}]
+    Seien $K_1, K_2 \subseteq \mathbb{K}^{n}$, $K_1 \neq \emptyset$, $K_2 \neq \emptyset$
+    kompakt. Dann ist die Menge $K_1 \times K_2$ auch kompakt. Definiere
+    $f(x, y) :=  \Vert x - y \Vert$, $x \in K_1$, $y \in K_2$.
+
+    $f(x,y)$ ist stetig, denn
+    \[
+        |f(x,y) - f(x', y')| = | \Vert x - y \Vert - \Vert x' - y'\Vert |
+        \quad \stackrel{\Delta -\text{ungl.}}{\le} \quad \Vert x - y - x' + y' \Vert \le \Vert x - x' \Vert + \Vert y - y' \Vert
+    .\] $\forall x, x' \in K_1$ und $\forall y, y' \in K_2$ mit
+    $\Vert x - x'\Vert < \delta  = \frac{\epsilon}{2}$ und $\Vert y - y'\Vert < \delta = \frac{\epsilon}{2}$
+    gilt
+    \[
+        |f(x,y) - f(x', y')| < \epsilon
+    .\] Also ist $f(x,y)$ stetig auf $K_1 \times K_2$. Mit \ref{satz:stetigextremum} folgt damit:
+    $\exists a \in K_1$, $b \in K_2$, s.d.
+    \[
+        \Vert a - b \Vert = \inf_{x \in K_1 y \in K_2} \Vert x - y \Vert =: d(K_1, K_2)
+        \quad \text{Abstand zwischen Mengen } K_1 \text{ und } K_2
+    .\] Im Fall $K_1 \cap K_2 = \emptyset$, gilt $d(K_1, K_2) > 0$. Falls
+    $K_1 = \{a\} $, dann heißt $b \in K_2$ die Projektion des Punktes $a$ auf
+    $K_2$ (diese ist im Allg. nicht eindeutig bestimmt).
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Gleichmäßige Stetigkeit]
+    Eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist gleichmäßig stetig,
+    wenn $\forall \epsilon > 0$
+    $\exists \delta  > 0$, s.d.
+    \[
+        \forall x, y \in D\colon \Vert x - y \Vert < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Eine stetige Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}^{n}$, $D \subseteq \mathbb{K}^{n}$ ist
+    auf einer kompakten Menge $K \subseteq D$ gleichmäßig stetig.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Ang. $f$ nicht gleichmäßig stetig. Dann $\exists \epsilon > 0$, s.d. $\forall k \in \N$,
+    ex. Punkte $x^{(k)}$ und $y^{(k)} \in K$, s.d.
+    \[
+        \Vert x^{(k)} - y^{(k)} \Vert < \frac{1}{k} \text{ und }
+        \left|f\left( x^{(k)} \right) - f\left( y^{(k)} \right) \right| > \epsilon
+    .\] Da $K$ kompakt, ex. eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ von
+    $(x^{(k)})_{k \in \N}$ mit $\displaystyle \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)} = x \in K$. Wir haben
+    $\Vert x^{(k)} - y^{(k)} \Vert < \frac{1}{k}$, also
+    \[
+        \Vert x^{(k_j)} - y^{(k_j)} \Vert < \frac{1}{k^{j}} \implies
+        \lim_{j \to \infty} y^{(k_j)} = x = \lim_{j \to \infty} x^{(k_j)}
+    .\] Da $f$ stetig, folgt
+    \[
+        \left| f\left( x^{(k_j)} \right) - f\left( y^{(k_j)} \right)  \right|
+        \xrightarrow{j \to \infty} |f(x) - f(x)| = 0
+    .\] Widerspruch zu $\left| f\left( x^{(k)}\right) - f\left( y^{(k)} \right)   \right| > \epsilon$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Konvergenz von Funktionenfolgen]
+    Sei $f_k \colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$, $k \in \N$.
+    $(f_k)_{k \in \N}$ konvergiert
+    \begin{itemize}
+        \item \underline{punktweise} gegen eine Funktion $f\colon D \to \mathbb{K}$, falls
+            $\forall x \in D$ gilt $f_k(x) \xrightarrow{k \to \infty} f(x)$.
+        \item \underline{gleichmäßig}, falls $\sup_{x \in D} |f_k(x) - f(x)| \xrightarrow{k \to \infty} 0$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Gleichmäßige Konvergenz]
+    Sei $f_k \colon D \subseteq \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}$ stetig, $f_k \xrightarrow{k \to \infty} f$
+    gleichmäßig mit $f\colon D \to \mathbb{K}$. Dann ist $f$ stetig.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $x \in D$ und $\epsilon > 0$ beliebig. Da $(f_k)_{k\in\N}$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert,
+    existiert ein $n = n(\epsilon) \in \N$ s.d.
+    $\displaystyle \sup_{y \in D} |f_n(y) - f(y)| < \frac{\epsilon}{3}$.
+
+    Da $f_n$ stetig, ex. $\delta > 0$, s.d. $\forall y \in D$ gilt:
+    $\Vert x - y \Vert < \delta  \implies |f_n(x) - f_n(y)| < \frac{\epsilon}{3}$.
+
+    Dann gilt $\forall x, y \in D$ mit $\Vert x - y \Vert < \delta $:
+    \[
+        |f(x) - f(y)| \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(y)|
+        + |f_n(y) - f(y)| < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon
+    .\] Also ist $f$ stetig in $x$.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Analoge Sätze gelten allgemein für Funktionen auf kompakten Mengen in
+    normierten $(V, \Vert \cdot \Vert)$ oder metrischen $(X, d(\cdot , \cdot ))$ Räumen.
+\end{bem}
+
+\end{document}

analysisII.tex

@@ -23,5 +23,6 @@
 \input{ana5.tex}
 \input{ana6.tex}
 \input{ana7.tex}
+\input{ana8.tex}
 
 \end{document}

lecture.cls

@@ -150,3 +150,6 @@
 
 % contradiction
 \newcommand{\contr}{\text{\Large\lightning}}
+
+% people seem to prefer varepsilon over epsilon
+\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}