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| \item Die lineare AWA besitzt eine eindeutige globale Lösung $y \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$. | |||
| \item Falls $A(\cdot)$ gleichmäßig negativ definit auf $[t_{0},\infty)$ ist und $b(\cdot)$ beschränkt ist, dann ist $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \label{satz:lineare-awa} | |||
| \end{satz} | |||
| \begin{proof} | |||
| @@ -177,6 +178,243 @@ | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{satz}[Homogene lineare Systeme] | |||
| Ein homogenes lineares System von DGLs ist der Form | |||
| \begin{equation} | |||
| y'(t) = A(t)y(t). \label{eqq:homog-lin-syst} | |||
| \end{equation} | |||
| \begin{enumerate}[1)] | |||
| \item Die Menge der Lösungen bildet einen Vektorraum $H$. | |||
| \item Sei $\{y_{0}^{1},...,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},...,y^{n}\}$ die Lösungen von AWA: | |||
| \[ | |||
| (y^{i})' = A(t)y^{i}, \ \ \ y^{i}(t_{0}) = y_{0}^{i}, \ \ \ i\in \{1,...,n\} | |||
| \] | |||
| Dann ist $\{y^{1},...,y^{n}\}$ eine Basis von $H$ und es gilt $\dim(H) = n$. | |||
| \item Sei $\{y^{1},...,y^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum $H$, dann ist $\{y^{1}(t),...,y^{n}(t)\}$ für $\forall t \geq t_{0}$ eine Basis des $\R^{n}$. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{satz} | |||
| \begin{proof} | |||
| \begin{enumerate}[1)] | |||
| \item Sei $H$ die Menge der Lösungen von (\ref{eqq:homog-lin-syst}). $H$ ist ein $\R$-VR, denn: | |||
| \begin{itemize} | |||
| \item Nullfunktion erfüllt $0'(t) = A(t)0(t)$, also $0 \in H$. | |||
| \item Seien $\alpha, \beta \in \R$, $u,v \in H$, dann gilt: | |||
| \[ | |||
| (\alpha u + \beta v)' = \alpha u' + \beta v' = \alpha A(t)u(t) + \beta A(t)v(t) = A(t)\left(\alpha u + \beta v\right). | |||
| \] | |||
| Also $\left(\alpha u + \beta v\right) \in H$. | |||
| \end{itemize} | |||
| \item Sei $\{y_{0}^{1},...,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},...,y^{n}\}$ die eindeutigen Lösungen der AWAn (nach Satz \ref{satz:lineare-awa}). Seien $\alpha_{i} \in \R$, $i \in \{1,...,n\}$ sodass für $t \geq t_{0}$ gilt: | |||
| \[ | |||
| \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y^{i}(t) = 0. | |||
| \] | |||
| Für $t = t_{0}$ gilt dann $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{0}^{i} = 0$, da die $y_{0}^{i}$ linear unabhängig sind, folgt $\alpha_{i} = 0$ für alle $i \in \{1,...,n\}$. Daraus folgt, dass die $y^{i}(t)$ ($i \in \{1,...,n\}$) linear unabhängig sind, also bereits, dass die $y^{i}$ ($i \in \{1,...,n\}$) linear unabhängig sind. \\ | |||
| Da es höchstens $n$ linear unabhängige Anfangswerte gibt, sind nicht mehr als $n$ Funktionen aus $H$ linear abhängig, also $\dim(H) = n$. | |||
| \item Analog zu 2). | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{definition} | |||
| Eine Basis $\{\varphi^{1},...,\varphi^{n}\}$ des Lösungsraums $H$ von $y'(t) = A(t)y(t)$ zu den Anfangswerten $\varphi^{i}(t_{0}) = e^{i}$ heißt \underline{Fundamentalsystem} des linearen Systems von DGLs. \\ | |||
| Die Matrix $\phi = \left[\varphi^{1},...,\varphi^{n} \right] $ der Spaltenvektoren $\varphi^{i}$ heißt \underline{Fundamentalmatrix} des linearen Systems von DGLs. \\ | |||
| Diese Matrix ist regulär und löst die AWA (komponentenweise): | |||
| \[ | |||
| \phi'(t) = A(t)\phi(t), \ \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ \ \phi(t_{0}) = I. | |||
| \] | |||
| \end{definition} | |||
| \begin{satz}[Inhomogene lineare Systeme] | |||
| Ein inhomogenes lineare System von DGLs ist der Form | |||
| \[ | |||
| y'(t) = A(t))y(t) + b(t). | |||
| \] | |||
| Seien $A \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt: | |||
| \begin{enumerate}[1)] | |||
| \item Die partikuläre Lösung ist für $\text{const} \ c \in R^{n}$: | |||
| \[ | |||
| y_{b}(t) = \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c \right). | |||
| \] | |||
| \item Alle Lösungen der inhomogenen Gleichung haben die Form: | |||
| \[ | |||
| y(t) = y_{b}(t) + v(t) | |||
| \] | |||
| wobei $v \in H$ (Lösungsraum des assoziierten homogenen Systems). | |||
| \item Gilt $c = y_{0}$, dann gilt $y_{b}(t_{0}) = y_{0}$. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{satz} | |||
| \begin{proof} | |||
| \begin{enumerate}[1)] | |||
| \item Sei $\psi \coloneqq \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c$. Dann gilt für $t\geq t_{0}$: $\psi' = \phi^{-1}(t)b(t)$. Für $y_{b} = \phi\psi$ gilt dann: | |||
| \[ | |||
| y_{b}' = \phi'\psi + \phi\psi' = A\phi\psi = \phi\phi^{-1}b = Ay_{b} + b. | |||
| \] | |||
| Also ist $y_{b}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und gilt $c=y_{0}$, dann löst $y_{b}$ die AWA $y' = Ay + b$, $y(t_{0}) = y_{0}$. Daraus folgt 1) und 3). | |||
| \item Sei $y$ eine zweite Lösung des inhomogenen Systems. Für $w=y-y_{b}$ gilt dann: | |||
| \[ | |||
| w' = y' - y_{b}' = Ay + b - (Ay_{b} + b) = A(y-y_{0}) = Aw. | |||
| \] | |||
| Also bereits $w \in H$. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{bem} | |||
| \begin{enumerate}[(1)] | |||
| \item Die Lösung $y_{b}(t) = \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + y_{0} \right)$ entspricht genau der Lösung | |||
| \[ | |||
| y(t) = \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right) \left(y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \exp\left( -\int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right)b(t) \d{s} \right) | |||
| \] | |||
| der skalaren linearen AWA $y'(t) = a(t)y(t) + b(t)$ ($t \geq t_{0}$) (Variation der Konstanten). | |||
| \item Für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten | |||
| \[ | |||
| y'(t) = Ay(t), \ \ \ \ \ A \in \R^{n\times n} | |||
| \] | |||
| gibt es eine Lösungstheorie, die auf algebraischen Argumente zurückgreift. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{bem} | |||
| \section{Randwertaufgaben} | |||
| \begin{bem} | |||
| Wir betrachten nun sogenannte Randwertaufgaben/Randwertprobleme der Form: $f\colon I \times \R^{n} \to \R^{n}$, $r \colon \R^{n} \times \R^{n} \to \R^{n}$ | |||
| \begin{salign*} | |||
| & y'(t) = f(t,y(t)), && t \in I = [a,b] \\ | |||
| & r(y(a),y(b)) = 0 | |||
| \end{salign*} | |||
| Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungne erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA: | |||
| \[ | |||
| r\left( y(t_{1}),...,y(t_{k}) \right) = 0. | |||
| \] | |||
| \end{bem} | |||
| \begin{bsp} | |||
| Wann existieren solche Lösungen? Wir betrachten folgendes Beispiel: | |||
| \[ | |||
| y'' + y = 0 | |||
| \] | |||
| für $t \in [0,\pi]$. Dies ist äquivalent zu folgenden System: | |||
| \begin{salign*} | |||
| y_{1} = y, y_{2} = y', && \begin{cases} | |||
| y_{1}' = y_{2} \\ | |||
| y_{2}' = -y_{1} | |||
| \end{cases}. | |||
| \end{salign*} | |||
| Dieses Problem hat die allgemeine Lösung | |||
| \[ | |||
| y(t) = c_{1}\sin(t) + c_{2}\cos(t). | |||
| \] | |||
| \begin{enumerate}[1)] | |||
| \item Für $y(0) = y(\pi)$, $y'(0)=y'(\pi)$. $r = \begin{pmatrix} | |||
| y_{1}(0)-y_{1}(\pi) \\ y_{2}(0)-y_{2}(\pi) | |||
| \end{pmatrix} = 0$ ist die Lösung des RWP $y(t) \equiv 0$, $t \in [0,\pi]$ eindeutig. | |||
| \item Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 0$, $r = \begin{pmatrix} | |||
| y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi) | |||
| \end{pmatrix} = 0$ hat das RWP unendlich viele Lösungen $y(t) = c_{1}\sin(t)$ ($t \in [0,t]$). | |||
| \item Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 1$, $r = \begin{pmatrix} | |||
| y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi) -1 | |||
| \end{pmatrix} = 0$ hat das RWP keine Lösung. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{bsp} | |||
| \begin{definition}[Allgemeine inhomogene lineare RWA] | |||
| Seien $B_{a}, B_{b} \in \R^{n\times n}$, $g \in \R^{n}$ sowie $A \colon I \to \R^{n\times n}$, $f \colon I \to \R^{n}$ stetig. Dann ist eine allgemeine inhomogene lineare RWA der Form: | |||
| \begin{salign*} | |||
| & y'(t) = A(t)y(t) + f(t), && t\in I \\ | |||
| & B_{a}y(a) + B_{b}y(b) = g. | |||
| \end{salign*} | |||
| \end{definition} | |||
| \begin{bem} | |||
| Lösung des inhomogenen DLG-System ist der Form: | |||
| \[ | |||
| y(t,s) = \varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s. | |||
| \] | |||
| Hier löst $\varphi^{0}$ die AWA: | |||
| \[ | |||
| (\varphi^{0})'(t) = A(t)\varphi^{0}(t) + f(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{0}(a) = 0. | |||
| \] | |||
| $\varphi^{i}$ ($i \in \{1,...,n\}$) lösen die AWA: | |||
| \[ | |||
| (\varphi^{i})'(t) = A(t)\varphi^{i}(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{i}(a) = e^{i}. | |||
| \] | |||
| $\varphi^{0}, \varphi^{i}$ ($i \in \{1,...,n\}$) sind eindeutige Lösungen, außerdem: | |||
| \[ | |||
| \phi(t) = \left[\varphi^{1}(t),...,\varphi^{n}(t) \right]. | |||
| \] | |||
| Offenbar löst $y(t,s)$ die DGL: | |||
| \begin{salign*} | |||
| y'(t,s) = (\varphi^{0})'(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}(\varphi^{i})'(t) = A(t)\underbrace{\left(\varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) \right)}_{y(t,s)} + f(t), \ \ \ t \geq t_{0}. | |||
| \end{salign*} | |||
| Wie muss $s \in \R^{n}$ gewählt werden? Ziel: $s \in \R^{n}$ so zu bestimmen, sodass gilt: | |||
| \[ | |||
| B_{a}y(a,s) + B_{b}y(b,s) = g. | |||
| \] | |||
| Dies lässt sich umformen zu: | |||
| \[ | |||
| B_{a}(\varphi^{0}(a) + \phi(a)s) + B_{b}(\varphi^{0}(b) + \phi(b)s) = g. | |||
| \] | |||
| Also: | |||
| \[ | |||
| \left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b). | |||
| \] | |||
| \end{bem} | |||
| \begin{satz}[Existenzsatz für lineare RWA] | |||
| Die lineare RWA besitzt eine eindeutige Lösung $y(t)$ für beliebige $f(t)$ und $g$ genau dann wenn: $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär ist, bzw. die assoziierte RWA nur die triviale Lösung $y \equiv 0$ hat. | |||
| \end{satz} | |||
| \begin{proof} | |||
| \glqq $\Leftarrow$\grqq: Ist $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär, so ist das System | |||
| \[ | |||
| \left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b) | |||
| \] | |||
| eindeutig lösbar für $s \in \R^{n}$ und somit löst $y(t,s)$ die RWA. \\ | |||
| \glqq $\Rightarrow$ \grqq: Die Lösung der RWA kann man darstellen als | |||
| \[ | |||
| y(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s, \ \ \ s \in \R^{n}. | |||
| \] | |||
| weil die Funktionen $\{ \varphi^{1},...,\varphi^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum des assoziierten homogenen DGL bilden. \\ | |||
| Für homogene RWA gilt $g - B_{b}\varphi^{0}(b) = 0$ und die Gleichung für $s$ lautet | |||
| \[ | |||
| \left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0- | |||
| \] | |||
| Daraus folgen alle Behauptungen. | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{bem} | |||
| Die Lösung einer linearen RWA ist im Kern die Lösung eines LGS. | |||
| \end{bem} | |||
| \begin{bem} | |||
| Nun betrachten wir die nichtlineare RWA | |||
| \[ | |||
| y' = f(t,y), \ \ \ t \in [a,b], \ \ \ \ \ r(y(a),y(b)) = 0. | |||
| \] | |||
| Frage: falls die nichtlineare RWA eine Lösung $y(t)$ besitzt, ist diese lokal eindeutig? \\ | |||
| Also existiert eine Umgebung $U_{R}(y) = \{ v \in C[a,b] \ | \ \norm{y-v}_{\infty} < R\}$, sodass es keine andere Lösung $\tilde{y} \neq y$ existiert? \\ | |||
| Wir führen folgende Notationen ein: | |||
| \begin{salign*} | |||
| f_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial f_{i}(t,x)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\ | |||
| r_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\ | |||
| r_{y}'(t,x) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial y_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} | |||
| \end{salign*} | |||
| für die Jacobi-Matrizen von $f(t,\cdot)$, $r(\cdot,\cdot)$ ein. | |||
| \end{bem} | |||
| \begin{satz}[Lokale Eindeutigkeit] | |||
| Eine Lösung $y$ von nichtlinearen RWA ist lokal eindeutig genau dann wenn: \\ | |||
| die lineare RWA | |||
| \begin{salign*} | |||
| & v'(t) = f_{x}'(t,y(t))v(t), \ \ \ \ \ \ t \in I, \\ | |||
| & r_{x}'(y(a),y(b))v(a) + r_{y}'(y(a),y(b))v(b) = 0. | |||
| \end{salign*} | |||
| nur die triviale Lösung $v \equiv 0$ besitzt. | |||
| \end{satz} | |||
| \begin{proof} | |||
| Siehe Skript von Rolf Rannacher Seite 128. | |||
| \end{proof} | |||