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@@ -149,6 +149,7 @@
 		\item 	Die lineare AWA besitzt eine eindeutige globale Lösung $y \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$.
 		\item 	Falls $A(\cdot)$ gleichmäßig negativ definit auf $[t_{0},\infty)$ ist und $b(\cdot)$ beschränkt ist, dann ist $y(t)$ beschränkt und exponentiell stabil.
 	\end{enumerate}
+	\label{satz:lineare-awa}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -177,6 +178,243 @@
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
+\begin{satz}[Homogene lineare Systeme]
+	Ein homogenes lineares System von DGLs ist der Form
+	\begin{equation}
+		y'(t) = A(t)y(t). \label{eqq:homog-lin-syst}
+	\end{equation}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die Menge der Lösungen bildet einen Vektorraum $H$.
+		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},...,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},...,y^{n}\}$ die Lösungen von AWA:
+					\[
+						(y^{i})' = A(t)y^{i}, \ \ \ y^{i}(t_{0}) = y_{0}^{i}, \ \ \ i\in \{1,...,n\}
+					\]
+				Dann ist $\{y^{1},...,y^{n}\}$ eine Basis von $H$ und es gilt $\dim(H) = n$.
+		\item 	Sei $\{y^{1},...,y^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum $H$, dann ist $\{y^{1}(t),...,y^{n}(t)\}$ für $\forall t \geq t_{0}$ eine Basis des $\R^{n}$.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Sei $H$ die Menge der Lösungen von (\ref{eqq:homog-lin-syst}). $H$ ist ein $\R$-VR, denn:
+				\begin{itemize}
+					\item 	Nullfunktion erfüllt $0'(t) = A(t)0(t)$, also $0 \in H$.
+					\item 	Seien $\alpha, \beta \in \R$, $u,v \in H$, dann gilt:
+							\[
+								(\alpha u + \beta v)' = \alpha u' + \beta v' = \alpha A(t)u(t) + \beta A(t)v(t) = A(t)\left(\alpha u + \beta v\right).
+							\]
+							Also $\left(\alpha u + \beta v\right) \in H$.
+				\end{itemize}
+		
+		\item 	Sei $\{y_{0}^{1},...,y_{0}^{n}\}$ eine Basis des $\R^{n}$. Seien $\{y^{1},...,y^{n}\}$ die eindeutigen Lösungen der AWAn (nach Satz \ref{satz:lineare-awa}). Seien $\alpha_{i} \in \R$, $i \in \{1,...,n\}$ sodass für $t \geq t_{0}$ gilt:
+				\[
+					\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y^{i}(t) = 0.
+				\]
+				Für $t = t_{0}$ gilt dann $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{0}^{i} = 0$, da die $y_{0}^{i}$ linear unabhängig sind, folgt $\alpha_{i} = 0$ für alle $i \in \{1,...,n\}$. Daraus folgt, dass die $y^{i}(t)$ ($i \in \{1,...,n\}$) linear unabhängig sind, also bereits, dass die $y^{i}$ ($i \in \{1,...,n\}$) linear unabhängig sind. \\
+				Da es höchstens $n$ linear unabhängige Anfangswerte gibt, sind nicht mehr als $n$ Funktionen aus $H$ linear abhängig, also $\dim(H) = n$. 
+		\item 	Analog zu 2).
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	Eine Basis $\{\varphi^{1},...,\varphi^{n}\}$ des Lösungsraums $H$ von $y'(t) = A(t)y(t)$ zu den Anfangswerten $\varphi^{i}(t_{0}) = e^{i}$ heißt \underline{Fundamentalsystem} des linearen Systems von DGLs. \\
+	Die Matrix $\phi =  \left[\varphi^{1},...,\varphi^{n} \right] $ der Spaltenvektoren $\varphi^{i}$ heißt \underline{Fundamentalmatrix} des linearen Systems von DGLs. \\
+	Diese Matrix ist regulär und löst die AWA (komponentenweise):
+		\[
+			\phi'(t) = A(t)\phi(t), \ \ \ \ t \geq t_{0}, \ \ \ \ \phi(t_{0}) = I.
+		\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Inhomogene lineare Systeme]
+	Ein inhomogenes lineare System von DGLs ist der Form
+		\[
+			y'(t) = A(t))y(t) + b(t).
+		\]
+	Seien $A \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n \times n}$, $b \colon [t_{0},\infty) \to \R^{n}$ stetig. Dann gilt:
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Die partikuläre Lösung ist für $\text{const} \ c \in R^{n}$:
+				\[
+					y_{b}(t) = \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c \right).
+				\]
+		\item 	Alle Lösungen der inhomogenen Gleichung haben die Form:
+				\[
+					y(t) = y_{b}(t) + v(t)
+				\]				
+				wobei $v \in H$ (Lösungsraum des assoziierten homogenen Systems).
+		\item 	Gilt $c = y_{0}$, dann gilt $y_{b}(t_{0}) = y_{0}$.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Sei $\psi \coloneqq \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + c$. Dann gilt für $t\geq t_{0}$: $\psi' = \phi^{-1}(t)b(t)$. Für $y_{b} = \phi\psi$ gilt dann:
+				\[
+					y_{b}' = \phi'\psi + \phi\psi' = A\phi\psi = \phi\phi^{-1}b = Ay_{b} + b.
+				\]
+				Also ist $y_{b}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und gilt $c=y_{0}$, dann löst $y_{b}$ die AWA $y' = Ay + b$, $y(t_{0}) = y_{0}$. Daraus folgt 1) und 3).
+		\item 	Sei $y$ eine zweite Lösung des inhomogenen Systems. Für $w=y-y_{b}$ gilt dann:
+				\[
+					w' = y' - y_{b}' = Ay + b - (Ay_{b} + b) = A(y-y_{0}) = Aw.
+				\]
+				Also bereits $w \in H$.
+	\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Die Lösung $y_{b}(t) = \phi(t) \left( \int_{t_{0}}^{t} \phi^{-1}(s)b(s) \d{s} + y_{0} \right)$ entspricht genau der Lösung 
+				\[
+					y(t) = \exp\left( \int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right) \left(y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} \exp\left( -\int_{t_{0}}^{t} a(s) \d{s} \right)b(t) \d{s} \right)
+				\]
+				der skalaren linearen AWA $y'(t) = a(t)y(t) + b(t)$ ($t \geq t_{0}$) (Variation der Konstanten).
+		\item 	Für lineare DGL mit konstanten Koeffizienten 
+				\[
+					y'(t) = Ay(t), \ \ \ \ \ A \in \R^{n\times n}
+				\]
+				gibt es eine Lösungstheorie, die auf algebraischen Argumente zurückgreift.
+	\end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\section{Randwertaufgaben}
+\begin{bem}
+	Wir betrachten nun sogenannte Randwertaufgaben/Randwertprobleme der Form: $f\colon I \times \R^{n} \to \R^{n}$, $r \colon \R^{n} \times \R^{n} \to \R^{n}$
+		\begin{salign*}
+			& y'(t) = f(t,y(t)), && t \in I = [a,b] \\
+			& r(y(a),y(b)) = 0
+		\end{salign*}
+	Gesucht ist eine stetig differenzierbare Lösung $y \colon I \to \R^{n}$ die beide Bedingungne erfüllt. Die zweite Bedingung lässt sich verallgemeinern zu einer Mehrpunkt RWA:
+		\[
+			r\left( y(t_{1}),...,y(t_{k}) \right) = 0.
+		\]
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+	Wann existieren solche Lösungen? Wir betrachten folgendes Beispiel:
+		\[
+			y'' + y = 0
+		\]
+	für $t \in [0,\pi]$. Dies ist äquivalent zu folgenden System:
+		\begin{salign*}
+			y_{1} = y, y_{2} = y', && 	\begin{cases}
+											y_{1}' = y_{2} \\
+											y_{2}' = -y_{1}
+										\end{cases}.
+		\end{salign*}
+	Dieses Problem hat die allgemeine Lösung
+		\[
+			y(t) = c_{1}\sin(t) + c_{2}\cos(t).
+		\]
+	\begin{enumerate}[1)]
+		\item 	Für $y(0) = y(\pi)$, $y'(0)=y'(\pi)$. $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0)-y_{1}(\pi) \\ y_{2}(0)-y_{2}(\pi)
+				\end{pmatrix} = 0$ ist die Lösung des RWP $y(t) \equiv 0$, $t \in [0,\pi]$ eindeutig.
+		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 0$, $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi)
+				\end{pmatrix} = 0$ hat das RWP unendlich viele Lösungen $y(t) = c_{1}\sin(t)$ ($t \in [0,t]$).
+		\item 	Für $y(0) = 0$, $y(\pi) = 1$, $r = \begin{pmatrix}
+				y_{1}(0) \\ y_{1}(\pi) -1
+				\end{pmatrix} = 0$  hat das RWP keine Lösung.
+	\end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Allgemeine inhomogene lineare RWA]
+	Seien $B_{a}, B_{b} \in \R^{n\times n}$, $g \in \R^{n}$ sowie $A \colon I \to \R^{n\times n}$, $f \colon I \to \R^{n}$ stetig. Dann ist eine allgemeine inhomogene lineare RWA der Form:
+		\begin{salign*}
+			& y'(t) = A(t)y(t) + f(t), && t\in I \\
+			& B_{a}y(a) + B_{b}y(b) = g.
+		\end{salign*}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+	Lösung des inhomogenen DLG-System ist der Form:	
+		\[
+			y(t,s) = \varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s.
+		\]
+	Hier löst $\varphi^{0}$ die AWA:
+		\[
+			(\varphi^{0})'(t) = A(t)\varphi^{0}(t) + f(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{0}(a) = 0.
+		\]
+	$\varphi^{i}$ ($i \in \{1,...,n\}$) lösen die AWA:
+		\[
+			(\varphi^{i})'(t) = A(t)\varphi^{i}(t), \ \ \ \ t \geq a, \ \varphi^{i}(a) = e^{i}.
+		\]
+	$\varphi^{0}, \varphi^{i}$ ($i \in \{1,...,n\}$) sind eindeutige Lösungen, außerdem:
+		\[
+			\phi(t) = \left[\varphi^{1}(t),...,\varphi^{n}(t) \right].
+		\]
+	Offenbar löst $y(t,s)$ die DGL:
+		\begin{salign*}
+			y'(t,s) = (\varphi^{0})'(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}(\varphi^{i})'(t) = A(t)\underbrace{\left(\varphi^{0}(t) + \sum_{i=1}^{n} s_{i}\varphi^{i}(t) \right)}_{y(t,s)} + f(t), \ \ \ t \geq t_{0}.
+		\end{salign*}
+	Wie muss $s \in \R^{n}$ gewählt werden? Ziel: $s \in \R^{n}$ so zu bestimmen, sodass gilt:
+		\[
+			B_{a}y(a,s) + B_{b}y(b,s) = g.
+		\]
+	Dies lässt sich umformen zu:
+		\[
+			B_{a}(\varphi^{0}(a) + \phi(a)s) + B_{b}(\varphi^{0}(b) + \phi(b)s) = g.
+		\]
+	Also:
+		\[
+			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b).
+		\]
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Existenzsatz für lineare RWA]
+	Die lineare RWA besitzt eine eindeutige Lösung $y(t)$ für beliebige $f(t)$ und $g$ genau dann wenn: $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär ist, bzw. die assoziierte RWA nur die triviale Lösung $y \equiv 0$ hat.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	\glqq $\Leftarrow$\grqq: Ist $B_{a} + B_{b}\phi(b) \in \R^{n\times n}$ regulär, so ist das System 
+		\[
+			\left( B_{a} + B_{b}\phi(b) \right)s = g - B_{b}\varphi^{0}(b)
+		\]
+		eindeutig lösbar für $s \in \R^{n}$ und somit löst $y(t,s)$ die RWA. \\
+	\glqq $\Rightarrow$ \grqq: Die Lösung der RWA kann man darstellen als
+		\[
+			y(t) = \varphi^{0}(t) + \phi(t)s, \ \ \ s \in \R^{n}.
+		\]
+	weil die Funktionen $\{ \varphi^{1},...,\varphi^{n}\}$ eine Basis des Lösungsraum des assoziierten homogenen DGL bilden. \\
+	Für homogene RWA gilt $g - B_{b}\varphi^{0}(b) = 0$ und die Gleichung für $s$ lautet
+		\[
+			\left( B_{a} +B_{b}\phi(b)\right)s = 0-
+		\]
+	Daraus folgen alle Behauptungen.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+	Die Lösung einer linearen RWA ist im Kern die Lösung eines LGS.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}
+	Nun betrachten wir die nichtlineare RWA
+		\[
+			y' = f(t,y), \ \ \ t \in [a,b], \ \ \ \ \ r(y(a),y(b)) = 0.
+		\]
+	Frage: falls die nichtlineare RWA eine Lösung $y(t)$ besitzt, ist diese lokal eindeutig? \\
+	Also existiert eine Umgebung $U_{R}(y) = \{ v \in C[a,b] \ | \ \norm{y-v}_{\infty} < R\}$, sodass es keine andere Lösung $\tilde{y} \neq y$ existiert? \\
+	Wir führen folgende Notationen ein:
+		\begin{salign*}
+			f_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial f_{i}(t,x)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
+			r_{x}'(t,x) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial x_{j}} \right)_{i,j=1}^{n} \\
+			r_{y}'(t,x) &= \left( \frac{\partial r_{i}(x,y)}{\partial y_{j}} \right)_{i,j=1}^{n}
+		\end{salign*}
+	für die Jacobi-Matrizen von $f(t,\cdot)$, $r(\cdot,\cdot)$ ein.
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Lokale Eindeutigkeit]
+	Eine Lösung $y$ von nichtlinearen RWA ist lokal eindeutig genau dann wenn: \\
+	die lineare RWA 
+		\begin{salign*}
+			& v'(t) = f_{x}'(t,y(t))v(t), \ \ \ \ \ \ t \in I, \\
+			& r_{x}'(y(a),y(b))v(a) + r_{y}'(y(a),y(b))v(b) = 0.
+		\end{salign*}
+	nur die triviale Lösung $v \equiv 0$ besitzt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+	Siehe Skript von Rolf Rannacher Seite 128.
+\end{proof}