minor changes

ana4.tex

@@ -69,10 +69,10 @@
 \end{bsp}
 
 \begin{definition}
-	Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K$, heißt 
+	Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K^n$, heißt 
 	\begin{enumerate}[i)]
 		\item 	beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. 
-				$$K_{r}(0) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
+				$$K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
 		\item 	Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
 		\item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\
 				geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele).
@@ -107,8 +107,8 @@
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\begin{satz}
-	(Äquivalenz von Normen) Sei $\K^{n}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm $(\ell_{\infty})$, d.h. zu jeder Norm $\norm{\cdot}, \exists m,M >0$ sodass $$m \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x} \leq M \norm{x}_{\infty}, \ \ \ \ x \in \K^{n}.$$
+\begin{satz}[Äquivalenz von Normen]
+	Sei $\K^{n}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm $(\ell_{\infty})$, d.h. zu jeder Norm $\norm{\cdot}, \exists m,M >0$ sodass $$m \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x} \leq M \norm{x}_{\infty}, \ \ \ \ x \in \K^{n}.$$
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -146,23 +146,23 @@
 
 Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 
-\begin{definition}
-	($\varepsilon$-Kugel, $\varepsilon$-Umgebung) Sei $a \in \K^{n}, r>0$.
+\begin{definition}[$\varepsilon$-Kugel, $\varepsilon$-Umgebung]
+	Sei $a \in \K^{n}, r>0$.
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Dann heißt $K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{a-x} < r \}$ die offene Kugel um $a$ mit Radius $r$ bzgl. $\norm{\cdot}$.
 		\item 	$U \subset K^{n}$ heißt Umgebung von $a \in \K^{n}$, falls $\exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(a) \subseteq U$. Insbesondere ist $K_{\varepsilon}(a)$ selbst eine Umgebung von $a$, eine sogenannte $\varepsilon$-Umgebung von $a$.
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
 
-\begin{definition}
-	(offene Menge) Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
+\begin{definition}[offene Menge]
+	Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	$]a,b[ \subseteq \R$ ist offen ($a<b, a,b \in \R$), weil: sei $x \in ]a,b[$, definiere $\varepsilon \coloneqq \min\{ |a-x|, |b-x|\}$, $\varepsilon > 0$, da $a<x<b$ ist $K_{\varepsilon}(x) \subseteq ]a,b[$
 		\item  	$\emptyset$ leere Menge ist immer offen, $\K^{n}$ ist immer offen
-		\item 	Die Kugel $K_{r}(a)$ ist immer offen: sei $x \in K_{r}(a)$, setze $\varepsilon \coloneqq r - \norm{x-a}$, dann $K_{\varepsilon}(x) \subseteq K_{r}(x)$, weil: sei $y \in K_{\varepsilon}(x)$. Dann gilt $$ \norm{y-a} \leq \underbrace{\norm{y-x}}_{< \varepsilon = r - \norm{x-a}} + \norm{x-a} < r - \norm{x-a} + \norm{x-a} = r.$$
+		\item 	Die Kugel $K_{r}(a)$ ist immer offen: sei $x \in K_{r}(a)$, setze $\varepsilon \coloneqq r - \norm{x-a}$, dann $K_{\varepsilon}(x) \subseteq K_{r}(a)$, weil: sei $y \in K_{\varepsilon}(x)$. Dann gilt $$ \norm{y-a} \leq \underbrace{\norm{y-x}}_{< \varepsilon = r - \norm{x-a}} + \norm{x-a} < r - \norm{x-a} + \norm{x-a} = r.$$
 	\end{enumerate}
 \end{bsp}
 
@@ -184,7 +184,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 \begin{korrolar}
 	\begin{enumerate}[1)]
 		\item	Endliche Schnitte und beliebige Vereinigung von offenen Mengen sind wieder offen.
-		\item 	(Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} ]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$.
+		\item 	(Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} \left]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}\right[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \not\subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$.
 	\end{enumerate}
 \end{korrolar}
 
@@ -194,10 +194,10 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 
 \begin{bsp}
 	\begin{enumerate}[(1)]
-		\item 	Für $a,b \in \R, a \leq b$ ist $[a,b]$ abgeschlossen, denn $]-\infty,a[ \cup ]b, \infty[ = \R \setminus [a,b]$ ist offen, denn:
+		\item 	Für $a,b \in \R, a \leq b$ ist $[a,b]$ abgeschlossen, denn $]-\infty,a[ \ \cup \ ]b, \infty[ \ = \R \setminus [a,b]$ ist offen, denn:
 				\begin{align*}
 					]-\infty, a[ & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]a-n,a[ \ \ \text{ist offen} &
-					]b, \infty[  = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]b, b + n[ \ \ \text{ist offen}.
+					]b, \infty[  & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]b, b + n[ \ \ \text{ist offen}.
 				\end{align*}
 	\end{enumerate}
 \end{bsp}
@@ -205,7 +205,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 \begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen.
-		\item 	Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Menge in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen.
+		\item 	Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Mengen in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen.
 	\end{enumerate}
 \end{satz}
 
@@ -218,7 +218,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 
 \begin{bsp}
 	\begin{enumerate}[(1)]
-		\item 	Beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen muss nicht abgeschlossen sein. Z.B. $]0,1[ = \underset{n \in \N}{\bigcup} \underbrace{[\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}]}_{\text{abgeschlossen}}$ ist offen.
+		\item 	Beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen muss nicht abgeschlossen sein. Z.B. $]0,1[ \ = \underset{n \in \N}{\bigcup} \underbrace{\left[\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}\right]}_{\text{abgeschlossen}}$ ist offen.
 		\item 	$\emptyset$ und $K^{n}$ sind abgeschlossen.
 		\item 	$A_{1} \subset \R^{n_{1}}$ und $A_{2} \subset \R^{n_{2}}$ abgeschlossen, dann ist auch $A_{1} \times A_{2} \subset \R^{n_{1}} \times \R^{n_{2}} = \R^{n_{1} + n_{2}}$ abgeschlossen.
 		\item 	Für $a<b \in \R$ ist $[a,b[$ weder offen noch abgeschlossen.