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@@ -22,13 +22,10 @@ |
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&\stackrel{\Vert Bx \Vert \le \Vert B \Vert \Vert x \Vert}{\ge } |
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\Vert x \Vert - \Vert B \Vert \cdot \Vert x \Vert \\ |
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&= ( \underbrace{1 - \Vert B \Vert}_{> 0}) \Vert x \Vert |
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.\end{salign} |
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Also hat die Gleichung $(\mathbb{I} + B) x = 0$ nur die Lösung $x = 0$, also |
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ist $(\mathbb{I} + B)$ injektiv und mit \ref{lemma:linabb} regulär. |
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Bleibt zu zeigen: $\Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}$. |
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Es gilt |
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\begin{salign} |
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\intertext{Also hat die Gleichung $(\mathbb{I} + B) x = 0$ nur die Lösung $x = 0$, also |
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ist $(\mathbb{I} + B)$ injektiv und mit \ref{lemma:linabb} regulär. |
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Bleibt zu zeigen: $\Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \le \frac{1}{1 - \Vert B \Vert}$. |
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Es gilt} |
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1 &= \Vert \mathbb{I}\Vert \\ |
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&= \Vert (\mathbb{I} + B) (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\ |
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&= \Vert (\mathbb{I} + B)^{-1} + B (\mathbb{I} + B)^{-1} \Vert \\ |
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