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\addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch'', Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
\caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch``, Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
\end{figure}
Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a):
Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt
@@ -206,12 +206,12 @@

\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item ,,$\implies$'': Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
\item ,,$\implies$``: Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
$|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt:
\[
\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
.\]
,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$. Wegen
,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$. Wegen
$\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d.
$\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt
$\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$
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|f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| =
\Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
.\]
\item ,,$\implies$'' $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
\item ,,$\implies$`` $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
$\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$.

Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$
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\le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0
.\end{align*}

,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
\[
|f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad
\forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]


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\begin{definition}
Wir definieren
\[
(f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform''})
(f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
.\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist.
\end{definition}



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