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@@ -130,7 +130,7 @@
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\addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch'', Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
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\caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch``, Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent}
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\end{figure}
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Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a):
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Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt
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@@ -206,12 +206,12 @@
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item ,,$\implies$'': Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
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\item ,,$\implies$``: Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d.
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$|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt:
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\[
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\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
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.\]
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,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$. Wegen
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,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$. Wegen
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$\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d.
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$\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt
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$\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$
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@@ -219,7 +219,7 @@
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|f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| =
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\Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz}
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.\]
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\item ,,$\implies$'' $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
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\item ,,$\implies$`` $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h.
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$\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$.
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Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$
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@@ -234,7 +234,7 @@
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\le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0
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.\end{align*}
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,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
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,,$\impliedby$``: Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d.
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\[
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|f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad
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\forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]
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@@ -57,7 +57,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
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\begin{definition}
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Wir definieren
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\[
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(f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform''})
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(f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
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.\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist.
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\end{definition}
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Binary file not shown.
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