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\documentclass{lecture} |
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\begin{document} |
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\section{Eindeutigkeit und lokale Stabilität} |
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\begin{definition}[Lipschitz-Stetigkeit] |
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Sei $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und $f\colon D \to \R^{n}$. $f$ ist in $D$ |
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Lipschitz-stetig bzgl. $x$ mit Lipschitz-Konstante $L \ge 0$, falls $\forall (t,x), (t, \tilde{x}) \in D$ gilt |
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\[ |
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\Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert \le L \Vert x - \tilde{x} \Vert |
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.\] $f$ ist lokal Lipschitz-stetig bzgl. $x$ in $D$, falls für |
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alle Punkte $(t, x) \in D$ eine Umgebung $U$ existiert, s.d. |
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$f$ in $D \cap U$ Lipschitz-stetig bezüglich $x$ ist. |
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\end{definition} |
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\begin{bsp} |
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\begin{enumerate}[(1)] |
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\item Sei $D = \R \times G$, $G \subseteq \R^{n}$ konvex |
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und $f\colon D \to \R^{n}$ stetig partiell differenzierbar nach $x$ |
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mit $\displaystyle \sup_{x \in G} \left\Vert \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \right\Vert \le L(t)$, |
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dann ist $f$ Lipschitz-stetig bezüglich $x$. |
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\begin{proof} |
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\begin{align*} |
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\Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert |
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\quad \stackrel{\text{\ref{satz:mittelwertsatz}}}{=} \quad |
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\left\Vert \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x} (t,s) \d s (x - \tilde{x}) \right\Vert |
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\le L(t) \Vert x - \tilde{x}\Vert |
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.\end{align*} |
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\end{proof} |
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\item $f(y) = \sqrt{y}$, $f\colon [0, \infty[\; \to \R$ ist nicht Lipschitz-stetig, denn |
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$|f(y) - f(0)| = \sqrt{y} $ und $\forall L \ge 0$ $\exists y \in [0, \infty[$ mit |
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$|\sqrt{y}| \ge L \cdot |y|$. |
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\item $f(y) = \sqrt{y} $, $f\colon \;]0, \infty[\; \to \R$ ist lokal Lipschitz-stetig. |
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\begin{proof} |
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Sei $y_0 \in ]0, \infty[$ fest. Betrachte |
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$U = \left[ \frac{y_0}{2}, \infty \right] \subseteq \R$. Es gilt |
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$\left| f'(y) \right| = \left| \frac{1}{2 \sqrt{y} } \right| $. Dann folgt |
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\[ |
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\max_{x \in U} \left| \frac{1}{2 \sqrt{y} } \right| = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{y_0}} |
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.\] Damit ist mit (1) $f$ Lipschitz-stetig auf $U$. |
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\end{proof} |
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\end{enumerate} |
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\end{bsp} |
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\begin{lemma}[von Gronwall] |
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Sei $w(t) \ge 0$ stückweise stetig und genüge für $a, b \in \R$ der Integralgleichung |
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\[ |
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w(t) \le a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b, \quad t \ge t_0 |
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.\] Dann gilt |
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\[ |
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w(t) \le e^{a(t-t_0)}b, \quad t \ge t_0 |
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.\] |
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\label{lemma:gronwall} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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Sei $t \ge t_0$. Betrachte die Funktion $\psi(t) \coloneqq a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b$. Es gilt |
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$\psi'(t) = a w(t)$ und nach Voraussetzung |
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\[ |
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\psi'(t) = a w(t) \le a \left( a \int_{t_0}^{t} w(s) \d s + b \right) = a \psi(t) |
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.\] Betrachte nun $e^{-at}\psi(t)$ und berechne |
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\begin{salign*} |
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(e^{-at} \psi(t))' = - a e^{-at}\psi(t) + e^{-at}\psi'(t) |
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= e^{-at} \underbrace{\left( \psi'(t) - a \psi(t) \right)}_{\le 0} \le 0 \tageq\label{eq:gronwall-1} |
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.\end{salign*} |
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Die Funktion $e^{-at}\psi(t)$ ist also monoton fallend. Damit folgt |
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\begin{salign*} |
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e^{-at}\psi(t) &\stackrel{\text{mon. fallend}}{\le } e^{-a t_0} \psi(t_0) = e^{-a t_0} b \\ |
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e^{-at} w(t) &\stackrel{\text{(\ref{eq:gronwall-1})}}{\le} e^{-at} \psi(t) \le e^{- a t_0} b |
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\intertext{Insgesamt folgt also} |
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w(t) &\le e^{a(t - t_0)} b |
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.\end{salign*} |
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\end{proof} |
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\begin{satz}[Stabilitäts und Eindeutigkeitssatz] |
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Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$ und lokal Lipschitz-stetig |
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bezüglich $x$. Seien $y, v$ zwei beliebige Lösungen der Differentialgleichung |
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\[ |
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y'(t) = f(t, y(t)), \quad t \in I |
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\] auf einem gemeinsamen Existenzintervall $I$. Dann gilt |
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\[ |
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\Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \in I, t \ge t_0 |
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,\] wobei $t_0 \in I$ und $L$ die Lipschitz-konstante $L = L_K$ von $f(t,x)$ auf |
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$K \subseteq D$ mit $K$ beschränkt und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$. |
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Weiterhin: Falls $y(t_0) = v(t_0)$ (d.h. $y$ und $v$ lösen AWA $y' = f(t,y), y(t_0) = y_0)$, dann |
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gilt $y(t) = v(t)$, $\forall t \in I$, d.h. die lokale Lösung der AWA (nach Peano) ist eindeutig bestimmt. |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Sei $K \subseteq D$ eine beschränkte Teilmenge und $\text{Graph}(y) \subseteq K$, $\text{Graph}(v) \subseteq K$. |
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Betrachte |
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\begin{salign*} |
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y(t) - v(t) &\stackrel{\text{Integralform}}{=} |
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y(t_0) + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s - v(t_0) - \int_{t_0}^{t} f(s, v(s)) \d s \\ |
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&= \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right) \d s + y(t_0) - v(t_0) |
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\intertext{Dann folgt} |
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\Vert h(t) \Vert &\le \int_{t_0}^{t} \underbrace{\Vert f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \Vert}_{\le L_k \Vert y(s) - v(s) \Vert} \d s + \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert \\ |
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&\stackrel{\text{Lipschitz}}{\le } L_K \int_{t_0}^{t} \Vert h(s) \Vert \d s + \Vert y(t_0) - v(t_0) \Vert |
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\intertext{Damit folgt mit Lemma \ref{lemma:gronwall}} |
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\Vert h(t) \Vert &\le e^{L(t-t_0)} \Vert y(t_0) - v(t_0)\Vert, \quad t \ge t_0 |
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.\end{salign*} |
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Seien nun $y(t)$ und $v(t)$ zwei Lösungen der AWA |
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\[ |
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\begin{cases} |
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y' = f(t,y) & t \in I = [t_0, t_0 + T], T \text{ aus Peano} \\ |
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y(t_0) = y_0 |
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\end{cases} |
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.\] Aus |
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\[ |
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\Vert y(t) - v(t) \Vert \le e^{L(t-t_0)} \Vert y_0 - y_0\Vert = 0, \quad t \in I |
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,\] folgt $y(t) = v(t)$ auf dem gemeinsamen Existenzintervall $I$. |
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\end{proof} |
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\begin{satz}[Existenzsatz von Picard-Linderlöf] |
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Sei $f\colon D \to \R^{n}$ stetig, lokal Lipschitz-stetig bezüglich $x$. Dann |
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gilt $\forall (t_0, y_0) \in D$, $\exists \epsilon > 0$ und eine Lösung der AWA |
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\begin{align*} |
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&y\colon I = [t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon] \to \R^{n} \\ |
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&y'(t) = f(t, y(t)), \quad t \in I \\ |
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&y(t_0) = y_0 |
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.\end{align*} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Unabhängig vom Satz von Peano, basiert auf dem Fixpunktsatz von Banach. |
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\begin{enumerate}[1)] |
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\item Sei $\delta > 0$ s.d. |
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\[ |
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K\coloneqq \{ (t,x) \in \R \times \R^{n} \mid |t-t_0| \le \delta, \Vert x - y_0 \Vert \le \delta \} \subseteq D |
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\] und $f(t,x)$ auf $K$ Lipschitz-stetig ist, d.h. es ex. ein $L_K \ge 0$, s.d. |
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\[ |
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\Vert f(t,x) - f(t, \tilde{x}) \Vert \le L_K \Vert x - \tilde{x} \Vert, |
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\quad (t,x), (t, \tilde{x}) \in K |
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.\] $K$ ist kompakt und $f$ stetig, d.h. $f$ ist beschränkt auf $K$, d.h. $\exists M \ge 0$ |
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s.d. $\Vert f(t,x) \Vert \le M$, $(t,x) \in K$. Wir setzen |
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\[ |
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\epsilon \coloneqq \text{min}\left( \delta , \frac{\delta }{M}, \frac{1}{2L_K} \right), |
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\quad I_{\epsilon} \coloneqq [t_0 - \epsilon, t_0 + \epsilon] |
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.\] Definiere Vektorraum $V \coloneqq C(I_{\epsilon})$ mit Norm |
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$\Vert y \Vert_{\infty} = \max_{t \in I_\epsilon} \Vert y(t) \Vert$. Dann ist |
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$V$ ein Banach-Raum. |
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\item Definiere auf $V$ die Abbildung $g\colon V \to V$ |
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\[ |
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g(y)(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s, \quad t \in I_{\epsilon} |
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.\] Betrachte Teilmenge |
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\[ |
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V_0 \coloneqq \left\{ v \in V \;\Big|\; \max_{t \in I_{\epsilon}} \Vert v(t) - y_0 \Vert \le \delta |
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\right\} |
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\subseteq V |
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.\] Für $y \in V_0$ gilt für $t \in I_{\epsilon}$ |
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\begin{salign*} |
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\Vert g(y)(t) - y_0 \Vert &= \left\Vert \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \\ |
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&\le \int_{t_0}^{t} \left\Vert f(s, y(s))\right\Vert \d s \\ |
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&\stackrel{f \text{ beschr.}}{\le } M \int_{t_0}^{t} \d s \\ |
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&= M|t-t_0 |
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\le M\epsilon |
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\le \delta |
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.\end{salign*} |
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Damit folgt also $g(V_0) \subseteq V_0$. Seien nun $y, v \in V_0$: |
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\begin{salign*} |
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\Vert g(y)(t) - g(v)(t) \Vert |
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&= \left\Vert \int_{t_0}^{t} \left( f(s, y(s)) - f(s, v(s)) \right) \d s \right\Vert \\ |
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&\le \int_{t_0}^{t} \Vert f(s, y(s)) - f(s, v(s))\Vert \d s \\ |
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&\stackrel{\text{Lipschitz}}{\le } \int_{t_0}^{t} L_K \Vert y(s) - v(s) \Vert \d s \\ |
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&\le L_k \max_{s \in [t_0, t]} \Vert y(s) - v(s) \Vert \int_{t_0}^{t} \d s \\ |
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&\le L_k \Vert y - v \Vert_{\infty} \underbrace{|t - t_0|}_{\le \epsilon} \\ |
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&\stackrel[\epsilon \le \frac{1}{2L_K}]{}{\le} \frac{1}{2} \Vert y - v\Vert_{\infty} |
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.\end{salign*} |
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Damit ist $g$ auf $V_0$ eine Kontraktion und hat damit mit Satz \ref{satz:banach-fix} |
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genau einen Fixpunkt $y^{*}$, d.h. |
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\[ |
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y^{*}(t) = g(y^{*})(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{*}(s)) \d s, \quad t \in I_{\epsilon} |
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.\] Damit ist $y^{*}(t)$, $t \in I_{\epsilon}$ eindeutige lokale Lösung der |
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AWA $y'= f(t,y)$, $y(t_0 ) = y_0$. |
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\end{enumerate} |
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\end{proof} |
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\begin{bem} |
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\begin{enumerate}[(1)] |
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\item Der Beweis liefert ein Verfahren für beliebiges $y_0$ und $t \in I_{\epsilon}$: |
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\begin{align*} |
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y^{k}(t) \coloneqq y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{k-1}(s)) \d s |
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\xrightarrow{k \to \infty} \text{Lösung der AWA} |
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.\end{align*} |
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\item Ohne Die Forderung der Lipschitz-stetigkeit geht die Eindeutigkeit der Lösung verloren |
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(siehe Beispiel \ref{bsp:dgl-uneindeutig}), aber die Existenz gilt nach dem Satz von Peano |
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immer noch. |
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\end{enumerate} |
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\end{bem} |
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\end{document} |
