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ana4.tex

@@ -17,7 +17,7 @@
 
 \begin{definition}
 	Sei $X$ irgendeine Menge. \\
-	Eine Metrik auf $X$ ist eine Abbildung $d: X \times X \to \R, \ (x,y) \to d(x,y)$ mit folgenden Eigenschaften: 
+	Eine Metrik auf $X$ ist eine Abbildung $d: X \times X \to \R, \ (x,y) \mapsto d(x,y)$ mit folgenden Eigenschaften: 
 	\begin{enumerate}[M1]
 		\item 	(Definitheit) $d(x,y) \geq 0$, $d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
 		
@@ -69,10 +69,10 @@
 \end{bsp}
 
 \begin{definition}
-	Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K$, heißt 
+	Eine Folge $(x^{(k)})_{k \in \N}, x^{(k)} \in \K^n$, heißt 
 	\begin{enumerate}[i)]
 		\item 	beschränkt, falls $\forall k\in \N:\; x^{(k)} \in K_{R}(0)$, $K_{R}(0)$ eine Kugelumgebung von $0$ mit Radius $R$. 
-				$$K_{r}(0) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
+				$$K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{x-a}_{\infty} < r\}.$$
 		\item 	Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon > 0, \exists N_{\varepsilon} \in \N$ sodass $\forall k,l \geq N_{\varepsilon}$ gilt: $\norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_{\infty} < \varepsilon$.
 		\item 	konvergent gegen ein $x \in \K^{n}$, wenn $\norm{x^{(k)} - x}_{\infty} \to 0$ für $k \to \infty$. \\
 				geometrisch: jede Kugelumgebung $K_{\varepsilon}(x)$ enthält fast alle Folgenelemente $x^{(k)}$ (d.h. alle bis auf endlich viele).
@@ -107,8 +107,8 @@
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\begin{satz}
-	(Äquivalenz von Normen) Sei $\K^{n}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm $(\ell_{\infty})$, d.h. zu jeder Norm $\norm{\cdot}, \exists m,M >0$ sodass $$m \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x} \leq M \norm{x}_{\infty}, \ \ \ \ x \in \K^{n}.$$
+\begin{satz}[Äquivalenz von Normen]
+	Sei $\K^{n}$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann sind alle Normen äquivalent zur Maximumsnorm $(\ell_{\infty})$, d.h. zu jeder Norm $\norm{\cdot}, \exists m,M >0$ sodass $$m \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x} \leq M \norm{x}_{\infty}, \ \ \ \ x \in \K^{n}.$$
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -146,23 +146,23 @@
 
 Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 
-\begin{definition}
-	($\varepsilon$-Kugel, $\varepsilon$-Umgebung) Sei $a \in \K^{n}, r>0$.
+\begin{definition}[$\varepsilon$-Kugel, $\varepsilon$-Umgebung]
+	Sei $a \in \K^{n}, r>0$.
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Dann heißt $K_{r}(a) \coloneqq \{ x \in \K^{n} \ | \ \norm{a-x} < r \}$ die offene Kugel um $a$ mit Radius $r$ bzgl. $\norm{\cdot}$.
 		\item 	$U \subset K^{n}$ heißt Umgebung von $a \in \K^{n}$, falls $\exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(a) \subseteq U$. Insbesondere ist $K_{\varepsilon}(a)$ selbst eine Umgebung von $a$, eine sogenannte $\varepsilon$-Umgebung von $a$.
 	\end{enumerate}
 \end{definition}
 
-\begin{definition}
-	(offene Menge) Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
+\begin{definition}[offene Menge]
+	Eine Menge $O \in \K^{n}$ heißt offen, falls $O$ eine Umgebung jedes Punktes aus $O$ ($ x \in O$) ist, das heißt $\forall x \in O, \exists \varepsilon > 0$ mit $K_{\varepsilon}(x) \subseteq O$.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	$]a,b[ \subseteq \R$ ist offen ($a<b, a,b \in \R$), weil: sei $x \in ]a,b[$, definiere $\varepsilon \coloneqq \min\{ |a-x|, |b-x|\}$, $\varepsilon > 0$, da $a<x<b$ ist $K_{\varepsilon}(x) \subseteq ]a,b[$
 		\item  	$\emptyset$ leere Menge ist immer offen, $\K^{n}$ ist immer offen
-		\item 	Die Kugel $K_{r}(a)$ ist immer offen: sei $x \in K_{r}(a)$, setze $\varepsilon \coloneqq r - \norm{x-a}$, dann $K_{\varepsilon}(x) \subseteq K_{r}(x)$, weil: sei $y \in K_{\varepsilon}(x)$. Dann gilt $$ \norm{y-a} \leq \underbrace{\norm{y-x}}_{< \varepsilon = r - \norm{x-a}} + \norm{x-a} < r - \norm{x-a} + \norm{x-a} = r.$$
+		\item 	Die Kugel $K_{r}(a)$ ist immer offen: sei $x \in K_{r}(a)$, setze $\varepsilon \coloneqq r - \norm{x-a}$, dann $K_{\varepsilon}(x) \subseteq K_{r}(a)$, weil: sei $y \in K_{\varepsilon}(x)$. Dann gilt $$ \norm{y-a} \leq \underbrace{\norm{y-x}}_{< \varepsilon = r - \norm{x-a}} + \norm{x-a} < r - \norm{x-a} + \norm{x-a} = r.$$
 	\end{enumerate}
 \end{bsp}
 
@@ -184,7 +184,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 \begin{korrolar}
 	\begin{enumerate}[1)]
 		\item	Endliche Schnitte und beliebige Vereinigung von offenen Mengen sind wieder offen.
-		\item 	(Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} ]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$.
+		\item 	(Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} \left]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}\right[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \not\subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$.
 	\end{enumerate}
 \end{korrolar}
 
@@ -194,10 +194,10 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 
 \begin{bsp}
 	\begin{enumerate}[(1)]
-		\item 	Für $a,b \in \R, a \leq b$ ist $[a,b]$ abgeschlossen, denn $]-\infty,a[ \cup ]b, \infty[ = \R \setminus [a,b]$ ist offen, denn:
+		\item 	Für $a,b \in \R, a \leq b$ ist $[a,b]$ abgeschlossen, denn $]-\infty,a[ \ \cup \ ]b, \infty[ \ = \R \setminus [a,b]$ ist offen, denn:
 				\begin{align*}
 					]-\infty, a[ & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]a-n,a[ \ \ \text{ist offen} &
-					]b, \infty[  = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]b, b + n[ \ \ \text{ist offen}.
+					]b, \infty[  & = \underset{n \in \N}{\bigcup} ]b, b + n[ \ \ \text{ist offen}.
 				\end{align*}
 	\end{enumerate}
 \end{bsp}
@@ -205,7 +205,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 \begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen]
 	\begin{enumerate}[(1)]
 		\item 	Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen.
-		\item 	Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Menge in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen.
+		\item 	Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Mengen in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen.
 	\end{enumerate}
 \end{satz}
 
@@ -218,7 +218,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 
 \begin{bsp}
 	\begin{enumerate}[(1)]
-		\item 	Beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen muss nicht abgeschlossen sein. Z.B. $]0,1[ = \underset{n \in \N}{\bigcup} \underbrace{[\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}]}_{\text{abgeschlossen}}$ ist offen.
+		\item 	Beliebige Vereinigung abgeschlossener Mengen muss nicht abgeschlossen sein. Z.B. $]0,1[ \ = \underset{n \in \N}{\bigcup} \underbrace{\left[\frac{1}{n}, 1- \frac{1}{n}\right]}_{\text{abgeschlossen}}$ ist offen.
 		\item 	$\emptyset$ und $K^{n}$ sind abgeschlossen.
 		\item 	$A_{1} \subset \R^{n_{1}}$ und $A_{2} \subset \R^{n_{2}}$ abgeschlossen, dann ist auch $A_{1} \times A_{2} \subset \R^{n_{1}} \times \R^{n_{2}} = \R^{n_{1} + n_{2}}$ abgeschlossen.
 		\item 	Für $a<b \in \R$ ist $[a,b[$ weder offen noch abgeschlossen.

ana5.tex

@@ -14,23 +14,23 @@
 
 \begin{proof}
     \begin{itemize}
-        \item ,,$\implies$'': Sei $A$ abgeschlossen und $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$
+        \item \glqq$\implies$\grqq: Sei $A$ abgeschlossen und $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$
             konvergente Folge in $A$ mit
             \[
                 \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x
             .\] 
             Ang.: $x \not\in A$, d.h. $x \in A^{C}$. Da $A^{C}$ offen, folgt, es ex.
-            ein $\epsilon > 0$, s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$.
+            ein $\varepsilon > 0$, s.d. $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$.
             Mit $x = \displaystyle \lim_{k \to \infty} x^{(k)}$ folgt, dass fast alle
-            Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen.
+            Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen.
             
             Widerspruch zu: $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset A $. Damit folgt
             $x \in A$.
-        \item ,,$\impliedby$'': Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten
+        \item \glqq$\impliedby$\grqq: Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten
             Folgen in $A$ einen Grenzwert in $A$ haben.
 
-            Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \epsilon > 0$
-            s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$.
+            Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \varepsilon > 0$
+            s.d. $K_{\varepsilon}(x) \subset A^{C}$.
 
             Ang.: $A^{C}$ nicht offen. Dann ex. $\forall k \in \N$ ein Punkt $x^{(k)}$
             mit $x^{(k)} \in A \cap K_{\frac{1}{k}}(x)$. Dann ist $x^{(k)} \in A$
@@ -71,7 +71,7 @@
             \begin{align*}
                 \partial K_1(0) &= \partial \{x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert < 1\} \\
                                 &= \;\; \{ x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert = 1 \} \\
-                                & \quad \quad \text{,,Einheitssphäre''}
+                                & \quad \quad \text{\grqq Einheitssphäre\glqq}
             .\end{align*}
         \item $\Q \subset \R$, $\partial \Q = \R$, weil in jeder Umgebung eines Punktes in
             $\Q$, gibt es rationale und irrationale Zahlen. Der Rand von $\R$ ist leer.
@@ -103,19 +103,19 @@
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item Z.z.: $M \setminus \partial M$ offen.
 
-            Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\epsilon > 0$, s.d.
-            $K_{\epsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst
+            Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\varepsilon > 0$, s.d.
+            $K_{\varepsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\varepsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst
             wäre $x \in \partial M$.
             
-            Für dieses $\epsilon$ gilt auch
-            $K_{\epsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn
-            falls $z \in K_{\epsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist
-            $K_{\epsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich
-            $K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$.
+            Für dieses $\varepsilon$ gilt auch
+            $K_{\varepsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn
+            falls $z \in K_{\varepsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist
+            $K_{\varepsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich
+            $K_{\varepsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$.
 
             Damit folgt:
             \[
-                K_{\epsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen}
+                K_{\varepsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen}
             .\] 
 
             Sei $U \subset M$ offen, dann ist analog $U \cap \partial M = \emptyset$. Damit gilt
@@ -236,7 +236,7 @@
             Also existiert eine Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
             $x^{(k_j)} \xrightarrow{k \to \infty} x \in M$
         \item (ii) $\implies$ (iii): Sei $M$ beschränkt und abgeschlossen und sei
-            $\{U_i, \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$.
+            $\{U_i, i \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$.
 
             Zu zeigen: Es existiert eine endliche Überdeckung von $M$.
 
@@ -250,7 +250,7 @@
                 \item Kantenlänge von $Q_m = 2^{-m}$ Kantenlänge von $Q_0$.
             \end{enumerate}
             Sei $Q$ beschränkter abgeschlossener Würfel in $\mathbb{K}^{n}$ mit
-            Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset \Q$.
+            Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset Q$.
             \begin{figure}[h!]
                 \begin{tikzpicture}[scale=0.2]
                     \draw (0,0) -- (0,10) -- (10,10) -- (10,0) -- (0,0);
@@ -268,7 +268,7 @@
         .\] Länge $(I_k)$ = Kantenlänge $(Q_m)$ $\forall k$ = $2^{-m} L$
 
         Wir zerlegen jedes $I_i$ in 2 abgeschlossene Intervalle mit halber Länge
-        $I_i^{(1)}$ und $I_i(^{2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$
+        $I_i^{(1)}$ und $I_i^{(2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$
         \[
             Q_m^{s_1, \ldots, s_n} := I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
         .\] Wir erhalten $2^{n}$ Würfel mit