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@@ -88,8 +88,8 @@ |
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Das heißt $\lim_{n \to \infty} x_{i}^{(k)} = x_{i}$ (komponentenweise Konvergenz in $\R$ oder $\C$) |
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\end{bem} |
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\begin{satz} |
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(Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß) |
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\begin{satz}[Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß] |
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\label{satz:bolzano} |
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\begin{enumerate}[1)] |
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\item Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt. |
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\item Jede beschränkte Folge in $K^{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge. |
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@@ -166,8 +166,8 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. |
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\end{enumerate} |
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\end{bsp} |
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\begin{satz} |
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(Eigenschaften offener Mengen) Es gilt: |
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\begin{satz}[Eigenschaften offener Mengen] |
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Es gilt: |
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\begin{enumerate}[(1)] |
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\item Sind $U$ und $V (\subseteq \K^{n})$ offen, dann ist $U \cap V$ offen. |
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\item Sei $U_{i} \subset \K^{n}, i \in I$ eine Familie offener Teilmengen. Dann ist auch $\underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$ offen. |
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@@ -188,8 +188,8 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. |
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\end{enumerate} |
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\end{korrolar} |
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\begin{definition} |
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(Abgeschlossene Menge) Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist. |
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\begin{definition}[Abgeschlossene Menge] |
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Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist. |
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\end{definition} |
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\begin{bsp} |
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@@ -202,8 +202,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. |
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\end{enumerate} |
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\end{bsp} |
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\begin{satz} |
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(Eigenschaften abgeschlossener Mengen) |
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\begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen] |
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\begin{enumerate}[(1)] |
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\item Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen. |
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\item Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Menge in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen. |
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@@ -226,15 +225,4 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. |
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\end{enumerate} |
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\end{bsp} |
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\end{document} |
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\end{document} |