| @@ -88,8 +88,8 @@ | |||||
| Das heißt $\lim_{n \to \infty} x_{i}^{(k)} = x_{i}$ (komponentenweise Konvergenz in $\R$ oder $\C$) | Das heißt $\lim_{n \to \infty} x_{i}^{(k)} = x_{i}$ (komponentenweise Konvergenz in $\R$ oder $\C$) | ||||
| \end{bem} | \end{bem} | ||||
| \begin{satz} | |||||
| (Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß) | |||||
| \begin{satz}[Satz von Cauchy und Satz von Bolzano-Weierstraß] | |||||
| \label{satz:bolzano} | |||||
| \begin{enumerate}[1)] | \begin{enumerate}[1)] | ||||
| \item Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt. | \item Jede Cauchy-Folge in $K^{n}$ konvergiert, d.h. der normierte Raum $(K^{n}, \norm{\cdot}_{\infty})$ ist vollständig. Ein vollständiger normierter Raum wird Banach-Raum genannt. | ||||
| \item Jede beschränkte Folge in $K^{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge. | \item Jede beschränkte Folge in $K^{n}$ besitzt eine konvergente Teilfolge. | ||||
| @@ -166,8 +166,8 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. | |||||
| \end{enumerate} | \end{enumerate} | ||||
| \end{bsp} | \end{bsp} | ||||
| \begin{satz} | |||||
| (Eigenschaften offener Mengen) Es gilt: | |||||
| \begin{satz}[Eigenschaften offener Mengen] | |||||
| Es gilt: | |||||
| \begin{enumerate}[(1)] | \begin{enumerate}[(1)] | ||||
| \item Sind $U$ und $V (\subseteq \K^{n})$ offen, dann ist $U \cap V$ offen. | \item Sind $U$ und $V (\subseteq \K^{n})$ offen, dann ist $U \cap V$ offen. | ||||
| \item Sei $U_{i} \subset \K^{n}, i \in I$ eine Familie offener Teilmengen. Dann ist auch $\underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$ offen. | \item Sei $U_{i} \subset \K^{n}, i \in I$ eine Familie offener Teilmengen. Dann ist auch $\underset{i \in I}{\bigcup} U_{i}$ offen. | ||||
| @@ -188,8 +188,8 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. | |||||
| \end{enumerate} | \end{enumerate} | ||||
| \end{korrolar} | \end{korrolar} | ||||
| \begin{definition} | |||||
| (Abgeschlossene Menge) Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist. | |||||
| \begin{definition}[Abgeschlossene Menge] | |||||
| Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist. | |||||
| \end{definition} | \end{definition} | ||||
| \begin{bsp} | \begin{bsp} | ||||
| @@ -202,8 +202,7 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. | |||||
| \end{enumerate} | \end{enumerate} | ||||
| \end{bsp} | \end{bsp} | ||||
| \begin{satz} | |||||
| (Eigenschaften abgeschlossener Mengen) | |||||
| \begin{satz}[Eigenschaften abgeschlossener Mengen] | |||||
| \begin{enumerate}[(1)] | \begin{enumerate}[(1)] | ||||
| \item Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen. | \item Sind $V, U$ ($V,U \subset \K^{n}$) abgeschlossen, dann ist $U \cup V \subset \K^{n}$ auch abgeschlossen. | ||||
| \item Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Menge in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen. | \item Sind $U_{i}, (i \in I)$ abgeschlossene Menge in $\K^{n}$. Dann ist $\underset{i \in I}{\bigcap} U_{i}$ auch abgeschlossen. | ||||
| @@ -226,15 +225,4 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm. | |||||
| \end{enumerate} | \end{enumerate} | ||||
| \end{bsp} | \end{bsp} | ||||
| \end{document} | |||||
| \end{document} | |||||