|
|
|
@@ -0,0 +1,316 @@
|
|
|
|
|
\documentclass{lecture}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{satz}[Charakterisierung abgeschlossener Mengen]
|
|
|
|
|
Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$. Dann gilt
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
A \text{ abgeschlossen}
|
|
|
|
|
\iff
|
|
|
|
|
\text{Ist } \left(x^{(k)}\right)_{k\in\N} \text{ konvergente Folge in } A
|
|
|
|
|
\text{ mit } \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = a\text{, dann } a \in A
|
|
|
|
|
.\]
|
|
|
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
|
|
\item ,,$\implies$'': Sei $A$ abgeschlossen und $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$
|
|
|
|
|
konvergente Folge in $A$ mit
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
\lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x
|
|
|
|
|
.\]
|
|
|
|
|
Ang.: $x \not\in A$, d.h. $x \in A^{C}$. Da $A^{C}$ offen, folgt, es ex.
|
|
|
|
|
ein $\epsilon > 0$, s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$.
|
|
|
|
|
Mit $x = \displaystyle \lim_{k \to \infty} x^{(k)}$ folgt, dass fast alle
|
|
|
|
|
Folgenelemente $x^{(k)}$ in $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$ liegen.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Widerspruch zu: $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset A $. Damit folgt
|
|
|
|
|
$x \in A$.
|
|
|
|
|
\item ,,$\impliedby$'': Sei $A \subset \mathbb{K}^{n}$ s.d. alle konvergenten
|
|
|
|
|
Folgen in $A$ einen Grenzwert in $A$ haben.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zu zeigen: $A^{C}$ offen. Sei $x \in A^{C}$ beliebig. Dann g.z.z.: $\exists \epsilon > 0$
|
|
|
|
|
s.d. $K_{\epsilon}(x) \subset A^{C}$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ang.: $A^{C}$ nicht offen. Dann ex. $\forall k \in \N$ ein Punkt $x^{(k)}$
|
|
|
|
|
mit $x^{(k)} \in A \cap K_{\frac{1}{k}}(x)$. Dann ist $x^{(k)} \in A$
|
|
|
|
|
$\forall k \in \N$ und $\Vert x - x^{(k)} \Vert \le \frac{1}{k}$. Damit folgt
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x \stackrel{\text{Vorr.}}{\implies} x \in A \quad \contr
|
|
|
|
|
\implies A^{C} \text{ offen } \implies A \text{ abgeschlossen}
|
|
|
|
|
.\]
|
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{definition}[Randpunkt]
|
|
|
|
|
Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ eine Teilmenge. Ein Punkt $a \in \mathbb{K}^{n}$ heißt
|
|
|
|
|
Randpunkt von $M$, falls in jeder Umgebung von $a$ sowohl ein Punkt von $M$, als auch
|
|
|
|
|
ein Punkt von $M^{C} = \mathbb{K}^{n} \setminus M$ liegt.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Die Menge aller Randpunkte von $M$ heißt der Rand von $M$, bezeichnet mit $\partial M$.
|
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=2]
|
|
|
|
|
\draw plot [smooth cycle] coordinates {(0,0) (1,1) (2,1) (3, 2) (3,0.5)};
|
|
|
|
|
\draw (1,1) circle [radius=0.15cm];
|
|
|
|
|
\draw[fill=black] (1,1) circle [radius=0.02cm];
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
|
\centering
|
|
|
|
|
\caption{Randpunkt einer Menge $M \subset \mathbb{K}^{n}$}
|
|
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}[(1)]
|
|
|
|
|
\item Für $I \in \{ [a,b[ \;, [a,b], \;]a,b], \;]a,b[\;\} $ gilt
|
|
|
|
|
$\partial I = \{a, b\}$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$\partial [a, \infty[ \; = \{a\}$\\
|
|
|
|
|
$\partial ]a, \infty[ \; = \{a\}$
|
|
|
|
|
\item Für $K_1(0)$ gilt
|
|
|
|
|
\begin{align*}
|
|
|
|
|
\partial K_1(0) &= \partial \{x \in \R^{n} \mid \Vert x \Vert < 1\} \\
|
|
|
|
|
&= \;\; \{ x \in \R^{n} \mid \Vert x \Vert = 1 \} \\
|
|
|
|
|
& \quad \quad \text{,,Einheitssphäre''}
|
|
|
|
|
.\end{align*}
|
|
|
|
|
\item $\Q \subset \R$, $\partial \Q = \R$, weil in jeder Umgebung eines Punktes in
|
|
|
|
|
$\Q$, gibt es rationale und irrationale Zahlen. Der Rand von $\R$ ist leer.
|
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{definition}[Inneres, Abschluss]
|
|
|
|
|
Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$
|
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
|
|
\item Die Menge $M^{\circ} := M \setminus \partial M$ heißt das
|
|
|
|
|
\underline{Innere} von $M$.
|
|
|
|
|
\item Die Menge $\overline{M} := M \cup \partial M$ heißt
|
|
|
|
|
der \underline{Abschluss} von $M$.
|
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{satz}[Inneres ist Offen, Abschluss ist abgeschlossen]
|
|
|
|
|
Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$.
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}[(i)]
|
|
|
|
|
\item Die Menge $M^{\circ} = M \setminus \partial M$ ist offen.
|
|
|
|
|
$M^{\circ}$ ist die größte offene Menge in $M$.
|
|
|
|
|
\item Die Menge $\overline{M} = M \cup \partial M$ ist abgeschlossen.
|
|
|
|
|
$\overline{M}$ ist die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ umfasst.
|
|
|
|
|
\item Der Rand $\partial M$ ist abgeschlossen.
|
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}[(i)]
|
|
|
|
|
\item Z.z.: $M \setminus \partial M$ offen.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sei $x \in M \setminus \partial M$ beliebig, dann ex. $\epsilon > 0$, s.d.
|
|
|
|
|
$K_{\epsilon}(x) \subset M$ $(\implies K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} = \emptyset)$, sonst
|
|
|
|
|
wäre $x \in \partial M$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Für dieses $\epsilon$ gilt auch
|
|
|
|
|
$K_{\epsilon}(x) \cap \partial M = \emptyset$, denn
|
|
|
|
|
falls $z \in K_{\epsilon}(x) \cap \partial M$ existiert, dann ist
|
|
|
|
|
$K_{\epsilon}(x)$ Umgebung von $z$ und folglich
|
|
|
|
|
$K_{\epsilon}(x) \cap M^{C} \neq \emptyset$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Damit folgt:
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
K_{\epsilon}(x) \subset M \setminus \partial M \implies M \setminus \partial M \text{ offen}
|
|
|
|
|
.\]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sei $U \subset M$ offen, dann ist analog $U \cap \partial M = \emptyset$. Damit gilt
|
|
|
|
|
$U \subset M \setminus \partial M$. Da $U$ beliebig, folgt damit
|
|
|
|
|
$M \setminus \partial M =: M^{\circ}$ ist größte offene Teilmenge von $M$.
|
|
|
|
|
\item Z.z.: $M \cup \partial M$ abgeschlossen.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Betrachte $M^{C} = \mathbb{K}^{n} \setminus M$. Nach Definition des Rands
|
|
|
|
|
gilt $\partial M^{C} = \partial M$. Damit folgt mit (i), dass
|
|
|
|
|
$M^{C} \setminus \underbrace{\partial M}_{= \partial M^{C}}$ offen ist. Dann
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
(M^{C} \setminus \partial M)^{C}
|
|
|
|
|
= \mathbb{K}^{n} \setminus (M^{C} \setminus \partial M)
|
|
|
|
|
= \underbrace{(\mathbb{K}^{n} \setminus M^{C})}_{= M} \cup \partial M = M \cup \partial M
|
|
|
|
|
.\] D.h. $M \cup \partial M$ ist abgeschlossen.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sei $V \in K^{n}$ abgeschlossen mit $M \subset V$. Dann gilt
|
|
|
|
|
$V^{C}$ ist offen und $V^{C} \subset M^{C}$. Damit folgt mit (i):
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
\underbrace{V^{C}}_{\text{offen}}
|
|
|
|
|
\subset M^{C} \setminus \underbrace{\partial M^{C}}_{=\partial M} = M^{C} \setminus \partial M
|
|
|
|
|
\implies \mathbb{K}^{n} \setminus (M^{C} \setminus \partial M)
|
|
|
|
|
= (M \cup \partial M) \subset V
|
|
|
|
|
.\]
|
|
|
|
|
Da $V$ beliebig, folgt damit $M \cup \partial M$ ist kleinste abgeschlossene Menge, die
|
|
|
|
|
$M$ umfasst.
|
|
|
|
|
\item Mit $\partial M = (M \cup \partial M) \setminus (M \setminus \partial M)$ folgt
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
\mathbb{K}^{n} \setminus \partial M
|
|
|
|
|
= \underbrace{\left( \mathbb{K}^{n} \setminus (M \cup \partial M)\right)}_{\text{offen}}
|
|
|
|
|
\cup \underbrace{(M \setminus \partial M)}_{\text{offen}}
|
|
|
|
|
.\] Damit ist $\mathbb{K}^{n} \setminus \partial M$ offen, also $\partial M$ abgeschlossen.
|
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{definition}[Kompaktheit]
|
|
|
|
|
Eine Menge $M \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{kompakt}
|
|
|
|
|
(bzw. \underline{folgenkompakt}), wenn jede Folge aus $M$ eine
|
|
|
|
|
konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $M$ besitzt.
|
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{bsp}
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}[(i)]
|
|
|
|
|
\item Sei
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
\left( x^{(k)}\right)_{k \in \N} \subset \mathbb{K}^{n}, x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x
|
|
|
|
|
.\] Dann ist $A := \{ x^{(k)} \mid k \in \N\} \cup {x}$ kompakt.
|
|
|
|
|
\item $]0,1[$ ist nicht kompakt, denn $\left( \frac{1}{2k} \right)_{k \in \N} \subset ]0,1[$,
|
|
|
|
|
$\frac{1}{2k} \xrightarrow{k \to \infty} 0$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Auch: $\left( 1 - \frac{2}{k} \right)_{k \in \N} \subset ]0,1[$,
|
|
|
|
|
$1 - \frac{1}{2k} \xrightarrow{k \to \infty} 1$
|
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
\end{bsp}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{definition}[Überdeckung]
|
|
|
|
|
Eine Familie $(U_i)_{i\in I}$ von Teilmengen $U_i \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt
|
|
|
|
|
Überdeckung von $M$, falls gilt
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
M \subset \bigcup_{i \in I} U_i
|
|
|
|
|
.\] Eine Überdeckung heißt offen bzw. abgeschlossen, wenn alle $U_i$ offen bzw. abgeschlossen sind.
|
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{satz}[Charakterisierung von Kompaktheit]
|
|
|
|
|
Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ eine Teilmenge. Dann sind
|
|
|
|
|
die folgenden Aussagen äquivalent:
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}[(i)]
|
|
|
|
|
\item $M$ ist folgenkompakt
|
|
|
|
|
\item $M$ ist beschränkt und abgeschlossen
|
|
|
|
|
\item Jede offene Überdeckung $\left( U_i \right)_{i \in I} $ von $M$ enthält
|
|
|
|
|
eine \underline{endliche} Überdeckung von $M$, d.h. es existieren endlich
|
|
|
|
|
viele Indizes $i_1, \ldots, i_k \in I$, s.d. $M \subset (U_{i_1} \cup \ldots \cup U_{i_k})$
|
|
|
|
|
(sogenannte Überdeckungseigenschaft von Heine und Borel).
|
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
\label{satz:charakter-kompaktheit}
|
|
|
|
|
\end{satz}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
|
|
|
\item (i) $\implies$ (ii): Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ folgenkompakt. Dann
|
|
|
|
|
existieren für alle konvergenten Folgen $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset M$
|
|
|
|
|
eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $M$. Damit liegt
|
|
|
|
|
auch der Grenzwert von $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ in $M$.
|
|
|
|
|
Also ist $M$ abgeschlossen.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ang.: $M$ ist nicht beschränkt. Dann ex. eine Folge
|
|
|
|
|
$\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ mit $\Vert x^{(k)} \Vert \xrightarrow{n \to \infty} \infty$.
|
|
|
|
|
Damit hat $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ keine konvergente Teilfolge.
|
|
|
|
|
Widerspruch zur Kompaktheit von $M$. Also ist $M$ beschränkt.
|
|
|
|
|
\item (ii) $\implies$ (i): Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ beschränkt und
|
|
|
|
|
abgeschlossen. Dann folgt mit \ref{satz:bolzano}, dass alle Folgen
|
|
|
|
|
$\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset M $ beschränkt sind und eine
|
|
|
|
|
konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N} \xrightarrow{j \to \infty} x$
|
|
|
|
|
besitzen. Da $M$ abgeschlossen ist, folgt $x \in M$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Also ist $M$ folgenkompakt.
|
|
|
|
|
\item (iii) $\implies$ (i): Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ und $M$ besitze die
|
|
|
|
|
Überdeckungseigenschaft. Sei weiter $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \subset M $ beliebig.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z.z.: Es ex. eine konvergente Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$
|
|
|
|
|
mit $x^{(k_j)} \xrightarrow{j \to \infty} x \in M$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ang.: Solche Teilfolge existiert nicht. Dann gilt: $\forall x \in M$ existiert
|
|
|
|
|
eine offene Umgebung $U_x$ von $x$, die nur endlich viele
|
|
|
|
|
Folgenelemente von $\left( x^{(k)} \right) $ enthält (wären in jeder Umgebung
|
|
|
|
|
von $x$ unendlich viele Folgenelemente, dann existiert eine konvergente Teilfolge).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Damit ist $M = \bigcup_{x \in M} U_x$ eine offene Überdeckung, d.h. es existiert
|
|
|
|
|
nach Vorr. eine endliche Überdeckung von $M$, d.h. eine endliche
|
|
|
|
|
Menge $I$ mit
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
\{x_i \mid x_i \in M, i \in I\} =: M_i \text{ s.d. }
|
|
|
|
|
M \subset \bigcup_{x_i \in M_i} U_{x_i}
|
|
|
|
|
.\] Da $\forall i \in I$ $U_{x_i}$ nur endlich viele Folgenelemente enthält,
|
|
|
|
|
enthält $M$ endlich viele Folgenelemente von $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$, d.h.
|
|
|
|
|
$\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N} \not\subset M$ $\contr$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Also existiert eine Teilfolge $\left( x^{(k_j)} \right)_{j \in \N}$ mit
|
|
|
|
|
$x^{(k_j)} \xrightarrow{k \to \infty} x \in M$
|
|
|
|
|
\item (ii) $\implies$ (iii): Sei $M$ beschränkt und abgeschlossen und sei
|
|
|
|
|
$\{U_i, \in I\} $ eine offene Überdeckung von $M$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zu zeigen: Es existiert eine endliche Überdeckung von $M$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ang.: Eine solche Überdeckung existiert nicht. Konstruiere induktiv eine Folge
|
|
|
|
|
von beschränkten, abgeschlossenen Würfeln in $\mathbb{K}^{n}$:
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
Q_0 \supset Q_1 \supset Q_2 \supset \ldots
|
|
|
|
|
.\] mit
|
|
|
|
|
\begin{enumerate}[(1)]
|
|
|
|
|
\item $M \cap Q_i$ wird nicht durch endlich viele $U_{i_k}$ überdeckt.
|
|
|
|
|
\item Kantenlänge von $Q_m = 2^{-m}$ Kantenlänge von $Q_0$.
|
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
|
Sei $Q$ beschränkter abgeschlossener Würfel in $\mathbb{K}^{n}$ mit
|
|
|
|
|
Kantenlänge $L$, s.d. $M \subset \Q$.
|
|
|
|
|
\begin{figure}[h!]
|
|
|
|
|
\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
|
|
|
|
|
\draw (0,0) -- (0,10) -- (10,10) -- (10,0) -- (0,0);
|
|
|
|
|
\draw plot [smooth cycle] coordinates {(2, 3) (2,7) (8,8) (8, 2)};
|
|
|
|
|
\node at (12, 5) {$L$};
|
|
|
|
|
\node at (5, -2) {$L$};
|
|
|
|
|
\node at (6, 6) {$M$};
|
|
|
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
|
|
|
\centering
|
|
|
|
|
\caption{Abgeschlossener Würfel $Q \subset K^{n}$ mit Kantenlänge $L$ und $M \subset Q$}
|
|
|
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
|
Setze $Q_0 = Q$, Kantenlänge von $Q_0 = L$. Sei $Q_m$ bereits konstruiert. Sei
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
Q_m = I_1 \times I_2 \times \ldots \times I_n
|
|
|
|
|
.\] Länge $(I_k)$ = Kantenlänge $(Q_m)$ $\forall k$ = $2^{-m} L$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wir zerlegen jedes $I_i$ in 2 abgeschlossene Intervalle mit halber Länge
|
|
|
|
|
$I_i^{(1)}$ und $I_i(^{2)}$ und setzen für $(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}$
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
Q_m^{s_1, \ldots, s_n} := I_1^{(s_1)} \times \ldots \times I_n^{(s_n)}
|
|
|
|
|
.\] Wir erhalten $2^{n}$ Würfel mit
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
Q_m := \bigcup_{(s_1, \ldots, s_n) \in \{1, 2\}^{n}} Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
|
|
|
|
|
.\] Da $M \cap Q_m$ nicht von endlich vielen $U_{i_k}$ überdeckt wird, gilt dies
|
|
|
|
|
auch für einen Würfel
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
Q_{m+1} := Q_m^{(s_1, \ldots, s_n)}
|
|
|
|
|
.\] Es gilt für die Kantenlänge $(Q_{m+1})$ = $\frac{1}{2}$ Kantenlänge $(Q_m)$ = $2^{-(m+1)} L$.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Für $k \in \N$ wähle $x^{(k)} \in Q_k \cap M$. Damit ist $\left( x^{(k)} \right)_{k \in \N}$ eine
|
|
|
|
|
Cauchy-Folge in $\mathbb{K}^{n}$, da nach Konstruktion von $Q_1, Q_2, \ldots$
|
|
|
|
|
\[
|
|
|
|
|
\Vert x^{(l)} - x^{(k)} \Vert \le 2^{-n_0} L, \quad \forall l, k \ge n_0
|
|
|
|
|
.\]
|
|
|
|
|
Damit folgt $x^{(k)} \xrightarrow{k \to \infty} x \in M$ und
|
|
|
|
|
$x \in \bigcup_{i \in I} U_i$, weil $M \subset \bigcup_{i \in I} U_i$. Also
|
|
|
|
|
existiert ein $i_k$, s.d. $x \in U_{i_k}$ liegt. Damit liegen fast alle
|
|
|
|
|
$Q_m$ in $U_{i_k}$. Das heißt fast alle $M \cap Q_m$ liegen
|
|
|
|
|
in $U_{i_k}$. Widerspruch zur Annahme, dass eine endliche Überdeckung nicht existiert.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Also existiert eine endliche Überdeckung von $M$.
|
|
|
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{bem}
|
|
|
|
|
Wichtige Voraussetzung für die Überdeckungseigenschaft von Heine und Borel ist, dass
|
|
|
|
|
$\mathbb{K}^{n}$ \underline{endlich}-dimensional ist.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In unendlich dimensionalen Banach-Räumen wie z.B.: $C[a,b]$ ist dies nicht möglich.
|
|
|
|
|
\end{bem}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{korrolar}
|
|
|
|
|
Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge in $\mathbb{K}^{n}$ ist
|
|
|
|
|
ebenfalls kompakt.
|
|
|
|
|
\end{korrolar}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{proof}
|
|
|
|
|
Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ kompakt und $A \subset M$ abgeschlossen. Wegen
|
|
|
|
|
\ref{satz:charakter-kompaktheit} ist $M$ beschränkt. Damit ist auch $A \subset M$ beschränkt
|
|
|
|
|
und somit nach \ref{satz:charakter-kompaktheit} kompakt.
|
|
|
|
|
\end{proof}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|
