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+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+Jetzt: Fourier Analysis
+
+\subsection{Der Funktionen-Raum $R[a,b]$}
+
+\begin{definition}
+    Eine $f\colon [a,b] \to \mathbb{C}$, $[a,b] \subset \R$ heißt
+    Riemann-integrierbar auf $[a,b]$, falls $\text{Re}(f)$ und
+    $\text{Im}(f)$ Riemann-integrierbar sind.
+    Man setzt
+    \[
+        \int_{a}^{b} f(x) \d x := \int_{a}^{b} \text{Re} f(x) \d x + i \int_{a}^{b} \text{Im} f(x) \d x 
+    .\] 
+
+\end{definition}
+    
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Analog: Definitionen von uneigentlichen Riemann-integralen für
+            komplexwertige Funktionen
+        \item Die Rechenregeln f+r das reelle Riemann-integral übertragen sich auf komplexwertige
+            Integrale, insbesondere gilt:
+            \begin{align*}
+                \int_{a}^{b} \overline{f(x)} \d x &= \int_{a}^{b} \left( \text{Re}f(x) - i \cdot \text{Im}f(x) \right)  \d x \\
+                &= \int_{a}^{b} \text{Re}f(x) \d x - i \int_{a}^{b} \text{Im}f(x) \d x \\
+                &= \overline{\int_{a}^{b} f(x) \d x }
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}
+    Eine Funktion $f\colon [a,b] \to \mathbb{K}$ ($\mathbb{K} = \R$ oder $\mathbb{K} = \mathbb{C}$)
+    heißt stückweise stetig, falls
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item $f$ in $[a,b]$ bis auf endlich viele Ausnahmestellen stetig und beschränkt ist.
+        \item in jeder dieser Unstetigkeitsstellen $\xi \in [a,b]$ die links- bzw.
+            rechtsseitigen Grenzwerte
+            \[
+                f(\xi_{\pm} := \lim_{h \searrow 0} f(\xi \pm h)
+            .\] existieren. Für $\xi \in (a,b)$ wird
+            \[
+                f(\xi) := \frac{f(\xi_{-} + f(\xi_{+})}{2}
+            .\] gesetzt.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Stückweise stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar.
+
+    Die Menge der in diesem Sinne auf $[a,b]$ stückweise stetigen (Riemann-integrierbaren)
+    Funktionen bilden einen Vektorraum $R[a,b]$.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}
+    Wir definieren
+    \[
+        (f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform''})
+    .\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Skalarprodukt]
+    Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{K}$. Die Abbildung $<\cdot, \cdot >\colon V \times V \to \mathbb{K}$
+    heißt Skalarprodukt auf $V$, falls $\forall u, v, w \in V$ und $\alpha \in \mathbb{K}$ gilt:
+    \begin{enumerate}[(S1)]
+        \item $\langle v, u\rangle = \overline{\langle u, v\rangle}$ (Symmetrie,
+            hermitesch falls $\mathbb{K} = \mathbb{C}$
+            symmetrisch falls $\mathbb{K} = \R$)
+        \item $\langle\alpha v, u\rangle = \alpha \langle v, u\rangle$ \\
+            $\langle v, \alpha u\rangle = \overline{\alpha}\langle v, u\rangle$ \\
+            $\langle v, u + w\rangle = \langle v, u\rangle + \langle v, w\rangle$ \\
+            $\langle v + u, w\rangle = \langle v, w\rangle + \langle u, w\rangle$
+        \item Positivdefinitheit: $\langle v, v \rangle \ge 0$ \\
+            $\langle v, v \rangle = 0 \iff v = 0$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Auf $R[a,b]$ besitzt $(\cdot , \cdot )$ die Eigenschaften eines Skalarprodukts, denn
+    es gilt $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{C}$, $\forall f, g \in R[a,b]$, $f_1, f_2 \in R[a,b]$,
+    $g_1, g_2 \in R[a,b]$:
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item $(\alpha f_1 + \beta f_2, g) = (\alpha f_1, g) + (\beta f_2, g) = \alpha (f_1, g) + \beta (f_2, g)$
+        \item $(f, \alpha g_1 + \beta g_2) = (f, \alpha g_1) + (f, \beta g_2) = \overline{\alpha}(f, g_1) + \overline{\beta} (f, g_2)$
+        \item $\displaystyle (f, g)
+            = \int_{a}^{b} f \cdot \overline{g} \d x
+            = \int_{a}^{b} \overline{\overline{f} g} \d x 
+            = \overline{\int_{a}^{b} \overline{f} g} \d x
+            = \overline{\int_{a}^{b} g \overline{f} \d x }
+            = \overline{(g, f)}$
+        \item $(f,f) = \displaystyle \int_{a}^{b} f \overline{f} \d x = \int_{a}^{b} |f(x)|^2 \d x \ge 0$
+        \item Aus (4) und der Definition von $R[a,b]$ folgt: $(f,f) = 0 \implies f \equiv 0$ auf $[a,b]$.
+    \end{enumerate}
+    $(\cdot , \cdot )$ wird auf $R[a,b]$ $L^2$-Skalarprodukt genannt.
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}
+    Für ein $L^2$-Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ auf $R[a,b]$ gilt die Cauchy-Schwarz Ungleichung:
+    \[
+        |(f,g)|^2 \le (f,f)\cdot (g,g)
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Falls $g \equiv 0$ gilt trivialerweise
+            \[
+                |(f,g)|^2 = 0 = (f,f) \cdot (g,g)
+            .\] 
+        \item Falls $g \not\equiv 0$, sei $\alpha \in \mathbb{K}$ beliebig
+            \[
+                0 \le (f + \alpha g, f + \alpha g) = (f,f) + \alpha(g,f) + \overline{\alpha}(f,g)
+                + \alpha \cdot \overline{\alpha}(g,g)
+            .\] Setze $\alpha := - \frac{(f,g)}{(g,g)} = - \frac{\overline{(g,f)}}{(g,g)}$. Dann gilt
+            \begin{align*}
+                0 &\le (f,f) - \frac{(f,g) \cdot (g, f)}{(g,g)} - \frac{(g, f) \cdot (f,g)}{(g,g)}
+                + \frac{(f,g)(g,f)(g,g)}{(g,g)(g,g)} \\
+                &= (f,f) - \frac{(f,g)(g, f)}{(g,g)} \\
+                &= (f,f) - \frac{\overline{(f,g)}(f,g)}{(g,g)} \\
+                &= (f,f) - \frac{|(f,g)|^2}{(g,g)} \\
+                \implies 0 &\le (f,f)(g,g) - |(f,g)|^2
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[$L^2$-Norm]
+    Das $L^2$-Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ induziert die $L^2$-Norm auf $R[a,b]$ mit
+    \[
+        \Vert f \Vert = \Vert f \Vert_{L^2} := (f,f)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b} f \cdot \overline{f} \d x\right)^{\frac{1}{2}}
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Normeigenschaften von $L^2$ auf $R[a,b]$ sind erfüllt:
+    \begin{enumerate}[(N1)]
+        \item Definitheit: $\Vert f \Vert = 0 \implies (f,f) = 0 \implies f = 0$ auf $[a,b]$
+        \item Homogenität: $\Vert \alpha f \Vert = (\alpha f, \alpha f)^{\frac{1}{2}} = (|\alpha|^2 (f,f))^{\frac{1}{2}} = |\alpha| \cdot \Vert f \Vert$
+        \item Dreiecksungleichung:
+            \begin{align*}
+                \Vert f + g \Vert &= (f + g, f + g)^{\frac{1}{2}} \\
+                &= \left( \Vert f \Vert^2 + (f,g) + (g,f) + \Vert g \Vert^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\
+                &\stackrel{\text{CSU}}{\le} \left( \Vert f \Vert^2 + 2 \Vert f \Vert \Vert g \Vert
+                + \Vert g \Vert^2\right)^{\frac{1}{2}} \\
+                &= \Vert f \Vert + \Vert g \Vert
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Konvergenz im Quadratischen Mittel ($L^2$-Konvergenz)]
+    Seien $f_n \in R[a,b], n \in \N, f \in R[a,b]$. $f_n$ konvergiert gegen $f$ im Quadratischen
+    Mittel $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty}$, wenn gilt
+    \[
+        \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
+    .\] Das heißt, dass die quadratische Abweichung zwischen $f_n$ und $f$ gegen Null konvergiert:
+    \[
+        \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)|^2  \d x \xrightarrow{n \to  \infty} 0
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Es gilt:
+            \[
+                \Vert f_n - f \Vert_{L^2}^2 = \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)|^2 \d x 
+                \le  \Vert f_n - f \Vert_{\infty}^2 (b-a)
+            .\] Damit folgt
+            \[
+                \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
+                \implies \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
+            .\] 
+            Die Umkehrung gilt i.A. nicht! Beispiel: $f_n(x) := x^{n}$, $x \in [-1, 1]$
+            \begin{figure}[h!]
+                \centering
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}%
+                        [grid=both,
+                         minor tick num=4,
+                         grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                         major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                         axis lines=middle,
+                         enlargelimits={abs=0.2},
+                         ymax=1,
+                         ymin=-1,
+                        ]
+                        \addplot[domain=-1:1,samples=50,smooth,red] {x^1};
+                        \addplot[domain=-1:1,samples=50,smooth,purple] {x^2};
+                        \addplot[domain=-1:1,samples=50,smooth,green] {x^3};
+                        \legend{$n=1$, $n=2$, $n=3$}
+                      \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}%
+                        [grid=none,
+                         minor tick num=4,
+                         grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                         major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                         axis lines=middle,
+                         enlargelimits={abs=0.2},
+                         ymax=1,
+                         ymin=0,
+                         ytick={0},
+                         xtick = {0.2, 0.5, 0.9},
+                         xticklabels = {$a$, $\xi$, $b$}
+                        ]
+                        \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {0};
+                        \node[red,circle,fill,inner sep=0.5pt] at (axis cs:0.5,0.5) {};
+                        \node[black,circle,fill,inner sep=0.5pt] at (axis cs:0.5,0) {};
+                      \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+                \caption{Links: $f_n(x) = x^{n}$, Rechts: $f(x) \not\equiv 0$}
+                \label{abb:nichtvollstaendig}
+            \end{figure}
+            \[
+            \Vert f_n \Vert^2_{L^2} = \int_{-1}^{1} x^{2n} \d x
+            = 2 \int_{0}^{1} x^{2n} \d x
+            = 2 \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{2n+1} \xrightarrow{n \to \infty} 0
+            .\] Damit folgt $f_n \xrightarrow[L^2]{n \to \infty} f \equiv 0$.
+
+            Aber wegen $f_n(1) = 1$ für $x = 1$, $n \in \N$, konvergiert $f_n$ nicht punktweise gegen
+            $f \equiv 0$ und wegen $f_n(-1) = (-1)^{n}, n \in \N, x = -1$ konvergiert $f_n$ nicht.
+        \item Der Raum $R[a,b]$ mit $L^2$-Norm $\Vert \cdot \Vert$ ist \textbf{nicht vollständig}, d.h.
+            es existieren Cauchy-Folgen in $R[a,b]$, die keinen Grenzwert in $R[a,b]$ haben. Beispiel: siehe
+            Abb. \ref{abb:nichtvollstaendig} (Rechts). Hier ist
+            $f(x) \not\equiv 0$, $x \in [a,b]$.
+            \[
+                \int_{a}^{b} |f(x)|^2 \d x = 0 = \Vert f \Vert_{L^2}
+            ,\] aber $f(x) \not\in R[a,b]$, denn
+            \[
+                f(\xi) \neq 0 = \frac{\lim_{h \searrow 0} f(\xi + h) - \lim_{h \searrow 0} f(\xi - h)}{2}
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Orthogonalität]
+    $f, g \in R[a,b]$ heißen orthogonal, wenn gilt $(f, g) = 0$. 
+
+    Eine Teilmenge $S \subset R[a,b]$ heißt Orthogonalsystem, wenn alle Elemente
+    aus $S$ paarweise orthogonal sind, d.h.
+    \[
+        (f_i, f_j) = \begin{cases}
+            \Vert  f_i \Vert^2 & i = j \\
+            0 & i \neq j
+        \end{cases} \quad \forall f_i, f_j \in S
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Die trigonometrischen Funktionen, für $k, l \in \N$
+    \begin{align*}
+        c_k(x) &:= \begin{cases}
+            1 & k = 0 \\
+            \cos(k x) & \text{sonst}
+        \end{cases} \\
+        s_l(x) &:= \sin (l x)
+    \end{align*} bilden auf $R[a,b]$ bezüglich des $L^2$-Skalarprodukts ein
+    Orthogonalsystem und es gilt
+    \begin{align*}
+        &\int_{0}^{2 \pi} c_k(x) \d x = \int_{0}^{2 \pi} s_l(x) \d x = \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_l(x) \d x = 0 \\
+        &\int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x = \pi \delta_{kl} \\
+        &\int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x = \pi \delta_{kl}
+    \intertext{Hier sei}
+    &\delta_{kl} := \begin{cases}
+        1 & k = l \\
+        0 & k \neq l
+    \end{cases} \qquad \text{Kroneckersymbol}
+    .\end{align*}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{align*}
+        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) \d x
+        &= \int_{0}^{2\pi} \cos(k x) \d x 
+        = \frac{1}{k} \sin(k x) \Big|_{0}^{2\pi} = 0 \\
+        \int_{0}^{2\pi} s_k(x) \d x &= \int_{0}^{2\pi} \sin(kx) \d x = - \frac{1}{k} \cos(k x) \Big|_{0}^{2\pi}
+        = \frac{1}{k}(1-1) = 0
+        \intertext{Damit folgt}
+        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_l(x) \d x \quad &= \quad
+        \int_{0}^{2\pi} \underbrace{\cos(k x)}_{u'} \cdot \underbrace{\sin(l x)}_{v} \d x \\
+        &\stackrel{\text{part. Int.}}{=}
+        \quad
+        \underbrace{\underbrace{\frac{1}{k} \sin(k x)}_{u} \cdot \underbrace{\sin(l x)}_{v} \Big|_{0}^{2\pi}}_{= 0} 
+        - \int_{0}^{2\pi} \underbrace{\frac{1}{k} \sin(k x)}_{u} \underbrace{l \cos(l x)}_{v'} \d x \\
+        &= \quad - \frac{l}{k} \int_{0}^{2\pi} s_k(x) c_l(x) \d x 
+        \intertext{Für $l = k$ gilt}
+        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_k(x) \d x &= - \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_k(x) \d x \\
+        \implies 2 \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_k(x) \d x &= 0 \\
+        \implies \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_k(x) \d x &= 0
+        \intertext{Analog folgt mit partieller Integration}
+        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x
+        &= \frac{l}{k} \int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x \\
+        \stackrel{l = k}{\implies} \int_{0}^{2\pi} c_k^2 \d x 
+        &= \int_{0}^{2\pi} s_k^2 \d x = \int_{0}^{2\pi} (1- c_k^2(x)) \d x 
+        = 2\pi - \int_{0}^{2\pi} c_k^2(x) \d x \\
+        \implies \int_{0}^{2\pi} c_k^2(x) \d x &= \pi = \int_{0}^{2\pi} s_k^2(x) \d x 
+        \intertext{Wenn $k \neq l$, dann folgt}
+        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x \quad
+        &= \quad \frac{l}{k} \int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x \\
+        &\stackrel{\text{part. Int.}}{=} \quad \frac{l^2}{k^2} \int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x \\
+        \implies \int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x \quad &= \quad 0
+        \intertext{Analog}
+        \int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x &= 0 \\
+        \int_{0}^{2\pi} c_k(x) s_l(x) \d x &= 0
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\end{document}

analysisII.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[titlepage]{../../../lecture}
+\documentclass[titlepage]{lecture}
 
 \usepackage{standalone}
 \usepackage{tikz}
@@ -18,5 +18,6 @@
 \newpage
 
 \input{ana1.tex}
+\input{ana2.tex}
 
 \end{document}

lecture.cls

@@ -0,0 +1,136 @@
+\ProvidesClass{lecture}
+\LoadClass[a4paper, titlepage]{article}
+
+\RequirePackage[utf8]{inputenc}
+\RequirePackage[T1]{fontenc}
+\RequirePackage{textcomp}
+\RequirePackage[german]{babel}
+\RequirePackage{amsmath, amssymb, amsthm}
+\RequirePackage{mdframed}
+\RequirePackage{fancyhdr}
+\RequirePackage{geometry}
+\RequirePackage{import}
+\RequirePackage{pdfpages}
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+\RequirePackage[nobottomtitles]{titlesec}
+\RequirePackage{listings}
+\RequirePackage{mathtools}
+\RequirePackage{forloop}
+\RequirePackage{totcount}
+
+\usetikzlibrary{quotes, angles}
+
+\DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{article}}
+\DeclareOption{uebung}{
+    \makeatletter
+    \lhead{\@title}
+    \rhead{\@author}
+    \makeatother
+}
+\ProcessOptions\relax
+
+% PAGE GEOMETRY
+\geometry{
+    left=15mm,
+    right=40mm,
+    top=20mm,
+    bottom=20mm
+}
+
+% PARAGRAPH no indent but skip
+\setlength{\parskip}{3mm}
+\setlength{\parindent}{0mm}
+
+\theoremstyle{definition}
+\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section]
+\newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma}
+\newmdtheoremenv{korrolar}[satz]{Korrolar}
+\newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition}
+
+\newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}
+\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
+\newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}
+
+% enable aufgaben counting
+\regtotcounter{aufgabe}
+
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
+
+% HEADERS
+
+\pagestyle{fancy}
+
+\newcommand{\incfig}[1]{%
+    \def\svgwidth{\columnwidth}
+    \import{./figures/}{#1.pdf_tex}
+}
+\pdfsuppresswarningpagegroup=1
+
+% horizontal rule
+\newcommand\hr{
+    \noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{0.5pt}
+}
+
+% punkte tabelle
+\newcommand{\punkte}{
+    \@punkten{\totvalue{aufgabe}}
+}
+
+\def\@punkten#1{
+    \newcounter{n}
+    \begin{tabular}{|c|*{#1}{m{1cm}|}m{1cm}|@{}m{0cm}@{}}
+        \hline
+        Aufgabe
+        \forloop{n}{1}{\not{\value{n} > #1}}{
+            & \centering A\then
+        }
+        & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline
+        Punkte
+        \forloop{n}{1}{\not{\value{n} > #1}}{
+            &
+        }
+        & & \\[5mm] \hline
+    \end{tabular}
+}
+
+% code listings, define style
+\lstdefinestyle{mystyle}{
+    commentstyle=\color{gray},
+    keywordstyle=\color{blue},
+    numberstyle=\tiny\color{gray},
+    stringstyle=\color{black},
+    basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
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+}
+
+% activate my colour style
+\lstset{style=mystyle}
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+% better stackrel
+\let\oldstackrel\stackrel
+\renewcommand{\stackrel}[2]{%
+    \oldstackrel{\mathclap{#1}}{#2}
+}%
+
+% integral d sign
+\makeatletter \renewcommand\d[1]{\ensuremath{%
+  \;\mathrm{d}#1\@ifnextchar\d{\!}{}}}
+\makeatother