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@@ -174,7 +174,7 @@ Für $n > 2$ analog.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\begin{definition}[Begriffe der Vektoranalysis]
+\begin{definition}[Begriffe der Vektoranalysis]\ 
     \begin{itemize}
         \item \underline{Gradient}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und
             $f \colon D \to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion. Der Vektor

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@@ -0,0 +1,138 @@
+\documentclass{lecture}
+\begin{document}
+\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+\section{Totale Differenzierbarkeit}
+Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ "gut" linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 (f'(x) = a)$.
+\begin{definition}[total differenzierbar]
+    Es sei $D\subset \R^n$ offen und $f\colon D \to \R^m$ eine Abbildung. $f$ heißt im Punkt $x\in D$ \textbf{(total) differenzierbar}, falls es eine \textbf{lineare Abbildung} $A \colon \R^n \to \R^m$ gibt, sodass 
+    \begin{equation}\label{eq:diffbar}
+        \lim\limits_{\stackrel{h\to 0}{h\neq 0}} \frac{f(x + h) - f(x) - A\cdot h}{\norm{h}} = 0
+    \end{equation}
+    Oft wird (\ref{eq:diffbar}) durch eine Bedingung an den Rest $w(h),\; w\colon D \to \R^m$ definiert $f(x + h) = f(x) + A\cdot h + w(h)$, wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{w(h)}}{\norm{h}} = 0 (\Leftrightarrow (\ref{eq:diffbar}), \Leftrightarrow w(h) = o(\norm{h}))$. Da alle Normen auf $\R^m$ äquivalent sind, ist es gleichgültig, welche Norm man in (\ref{eq:diffbar}) verwendet. $A$ heißt das \textbf{Differential} von $f$ im Punkt $x$. 
+    Schreibweise: \[\d f(x),\; \d f\bigg|_x,\; \d f_x,\; Df(x),\; Df\bigg|_x,\; Df_x,\; \d f(x)\bigg|_{x = x_0},\; Df(x_0).\]
+\end{definition}
+\begin{bem}
+    Für $n=m=1$ ist die Definition der totalen Ableitung äquivalent zur Definition der Ableitung von Funktionen einer Variablen. 
+\end{bem}
+\begin{satz}[Differenzierbarkeit]
+    Sei $D \subset \R^n$ offen. Für Funktionen $f: D \to \R^m$ gilt:
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Sei $f$ in $x\in D$ differenzierbar, dann ist $f$ partiell differenzierbar und $Df(x) = J_f(x),\; J_f(x)$ Jacobi-Matrix
+        \item Sei $f$ partiell differenzierbar in einer Umgebung von $x\in D$ und die partiellen Ableitungen stetig in $x$, dann ist $f$ differenzierbar in $x$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    $n=2$ und $m = 1$.
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item Sei $f$ differenzierbar. Dann gilt \begin{align*}
+            \lim\limits_{h_i\to 0} \frac{f(x + h_i \cdot e^{(i)}) - f(x)}{h_i}
+            &= \lim\limits_{h_i\to 0} \left(Df(x) \cdot e^{(i)} + \frac{w(h_i)}{h_i}\right)\\
+            &= Df(x) \cdot e^{(i)} + \underbrace{\lim\limits_{h_i\to 0} \frac{w(h_i)}{h_i}}_{\to 0}\\
+            &= Df(x) \cdot e^{(i)}
+        \end{align*}
+            $ \implies f$ partiell differenzierbar und $Df(x)e^{(i)} = \begin{pmatrix}
+            \partial_i f_1\\ \vdots \\ \partial_i f_m
+        \end{pmatrix} \implies Df(x) = J_f(x)$.
+        \item Sei $f$ stetig partiell differenzierbar und $h = \begin{pmatrix}
+            h_1 \\ h_2
+        \end{pmatrix}$. Dann gilt
+        \begin{salign*}
+            f(x + h) - f(x) &= f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2) + f(x_1 + h_1, x_2) - f(x_1, x_2)
+            \intertext{$\exists \theta_1, \theta_2 \in (0,1)$ mit }
+            f(x + h) - f(x)&\stackrel{\text{MWS}}{=} h_2 \partial_2 f(x_1 + h_1, x_2 + \theta_2 \cdot h_2) + h_1 \partial_1 f(x_1 + \theta_1 \cdot h_1, x_2)\\
+            &= h_2(\partial_2f(x_1,x_2) + w_2(h_1,h_2)) + h_1(\partial_1f(x_1, x_2) + w_1(h_1,h_2)),
+            \intertext{wobei}
+            w_1(h_1, h_2) &= \partial_1f(x_1 + \theta_1 h_1, x_2) - \partial_1 f(x_1, x_2)
+            \intertext{und}
+            w_2(h_1,h_2) &= \partial_2f(x_1  + h_1, x_2 + \theta_2 h_2) - \partial_2f(x_1,x_2).
+        \intertext{$\partial_1f(x), \partial_2f(x)$ stetig $\implies \lim\limits_{h\to 0} w_1(h_1,h_2) = 0,\; \lim\limits_{h\to 0} w_2(h_1,h_2) = 0$. Daher gilt}
+            f(x + h) - f(x) &= h_1\partial_1 f(x) + h_2\partial_2f(x) + h_1w_1(h) + h_2w_2(h)\\
+            &= (\partial f_1(x), \partial f_2(x))\begin{pmatrix}
+                h_1\\h_2
+            \end{pmatrix} + (w_1(h), w_2(h))\begin{pmatrix}
+                h_1\\h_2
+            \end{pmatrix}\\
+            &= Df(x) \cdot h + \tilde{w}(h)
+        \end{salign*}
+        mit $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{\tilde{w}(h)}}{\norm{h}} = 0$.
+        Also ist $f$ differenzierbar und $Df(x) = \nabla^Tf(x)$.
+        \end{enumerate}
+\end{proof}
+\begin{korrolar}
+    stetig partiell differenzierbar $\implies$ (total) differenzierbar $\implies$ partiell differenzierbar. Die umgekehrten Implikationen gelten im Allgemeinen nicht.
+\end{korrolar}
+\begin{lemma}[Richtungsableitung]\label{lemma:richtungsableitung}
+    Sei $D\in \R^n$ offen, $f \colon D \to \R$ im Punkt $x\in D$ differenzierbar. Dann gilt $\forall v \in \R^n$ mit $\norm{v}_2 = 1$ existiert die Ableitung in Richtung $v$ (sog. \textbf{Richtungsableitung})
+    \[\pdv{f}{v}(x) \coloneqq \lim\limits_{t\searrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\] und \[\pdv{f}{v}(x) = (\nabla f(x), v)_2\]
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Sei $x \in D$ und definiere die Funktion $\xi(t) \coloneqq x + tv$. $\xi(t)\in D$ für $t \in [0, \epsilon)$ für genügend kleine $\epsilon > 0$. Betrachte die Komposition $h \coloneqq f\circ \xi: [0,\epsilon) \to \R$. Dann gilt
+    \begin{salign*}
+        \pdv{f}{v}(x) &\stackrel{\text{Def. Richtungsabl.}}{=} \lim\limits_{t\searrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\\
+        &\stackrel{\text{Def. Abl.}}{=} \dv{}{t} f(x + tv)\bigg|_{t=0}\\
+        &\stackrel{f(x + tv) = (f \circ \xi)(t)}{=}\dv{h}{t}\bigg|_{t=0}\\
+        &= h'(0)
+        \intertext{Kettenregel:}
+        h'(t) &= \sum_{i = 1}^{n} \pdv{f}{x_i}(\xi(t))\cdot \xi_i'(t)\\
+        \implies h'(0) &\stackrel{\xi(0) = x + 0\cdot v, \xi_i'(t) = v_i}{=} \sum_{i = 1}^{n}\pdv{f}{x_i}(x)\cdot v_i\\
+        &= (\nabla f(x),v)_2
+    \end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{korrolar}
+    Sei $\nabla f(X) \neq 0$. Dann ist der Winkel $\theta$ zwischen zwei Vektoren $v\in \R^n$ und $\nabla f(x) \in \R^n$ definiert durch \[\cos(\theta) = \frac{(\nabla f(x), v)_2}{\norm{\nabla f(x)}_2\cdot \norm{v}_2}.\]
+    Damit gilt für $\norm{v}_2 = 1$ \[\pdv{f}{v}(x) \oldstackrel{\text{Lemma } \ref{lemma:richtungsableitung}}{=} (\nabla f, v)_2 = \norm{\nabla f(x)}_2 \cdot \norm{v}_2 \cdot \cos(\theta) \oldstackrel{\norm{v}_2 =1}{=} \norm{\nabla f(x)}_2 \cdot \cos(\theta)\]
+    $\pdv{f}{v}(x)$ wird maximal, wenn $\cos(\theta) = 1 \implies v$ und $\nabla f(x)$ die gleiche Richtung haben: d.h. Der Vektor $\nabla f(x)$ ist die Richtung des stärksten Anstiegs von $f$ im Punkt $x$.
+\end{korrolar}
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Es gibt Funktionen, für welche alle Richtungsableitungen existieren, die aber dennoch nicht (total) differenzierbar sind.
+        \item Es gibt Funktionen, die stetig und partiell differenzierbar, aber nicht (total) differenzierbar sind.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+\begin{satz}[Kettenregel]
+    Seien $D_f \subset \R^n$ und $D_g \subset \R^m$ offen, $g \colon D_g \to \R^n, f: D_f \to \R^r$ Abbildungen. Falls $g$ im Punkt $x \in D_g$ und $f$ im Punkt $y = g(x) \in D_f$ differenzierbar sind, gilt: Die Komposition $h = f\circ g$ ist im Punkt $x$ differenzierbar und \[\underbrace{D_x h(x)}_{\in \R^{r \times m}} = \underbrace{D_y f(g(x))}_{\in \R^{r \times n}} \underbrace{D_x g(x)}_{\in \R^{n \times m}}\]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Seien $x\in D_g$ und $y = g(x) \in D_f$. Dann gilt nach Voraussetzungen 
+    \begin{align*}
+        g(x + \xi) &= \underbrace{g(x)}_{\eqqcolon y} + \underbrace{D_xg(x) \xi + w_g(\xi)}_{\eqqcolon \eta} &&\text{mit } \lim\limits_{\stackrel{x+\xi \in D_g}{\norm{\xi} \to 0}} \frac{\norm{w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0\\
+        f(y + \eta) &= f(y) + D_yf(y) \eta + w_f(\eta)&&\text{mit } \lim\limits_{\stackrel{x+\eta \in D_f}{\norm{\eta} \to 0}} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\eta}} = 0\\
+    \end{align*}
+    Dann erhalten wir 
+    \begin{salign*}
+        (f\circ g)(x + \xi) &= f(g(x + \xi))\\
+        &\stackrel{g(x + \xi) = g(x) + \eta = y + \eta}{=} f(y + \eta)\\
+        &= f(y) + D_yf(y)\cdot \eta + w_f(\eta)\\
+        &= f(y) + D_yf(y) (D_xg(x)\xi + w_g(\xi)) + w_f(\eta)\\
+        &= f(y) + D_yf(y)D_x g(x) \cdot \xi + D_yf(y) w_g(\xi) + w_f(\eta)\\
+        &= (f\circ g)(x) + \underbrace{D_yf(y)D_xg(x)}_{D_x(f\circ g)} \cdot \xi + w_{f\circ g}(\xi),
+    \end{salign*}%eta = D_xg(x)\xi + w_g(\xi)
+    wobei hier $w_{f\circ g}(\xi) = D_yf(y)w_g(\xi) + w_f(\eta)$. Es genügt also zu zeigen, dass \[\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{w_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0.\]
+    Aus $\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0$ folgt sofort $\lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{D_yf(y)w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} = 0$. Wir schließen aber auch, dass es eine Konstante $c >0$ geben muss, sodass $\norm{w_g(\xi)} \leq c \norm{\xi}$. Wegen $\lim\limits_{\norm{\eta}\to 0} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\eta}} = 0$ muss es ein $\tilde{w_f}(\eta)$ mit $\lim\limits_{\eta\to 0} \tilde{w}_f(\eta) = 0$ geben, sodass $w_f(\eta) = \norm{\eta}\cdot \tilde{w}_f(\eta)$. Mit diesen Aussagen gilt:
+    \begin{salign*}
+        \norm{w_f(\eta)} %&\stackrel{w_f(\eta) = \norm{\eta} \tilde{w}_f(\eta)}{\le} \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (\eta)\\
+        &\le \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (\eta)\\
+        &\le \left(\norm{D_xg(x)} \norm{\xi} + \norm{w_g(\xi)}\right) \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)}\\
+        &\le \left(\norm{D_xg(x)} + c\right)\norm{\xi} \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)}\\
+        \implies \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\xi}} &= \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)}
+        \intertext{Wegen $\lim\limits_{\xi\to 0} \eta = \lim\limits_{\xi\to 0} D_xg(x)\xi + w_g(\xi) = 0$ und der Stetigkeit von $\tilde{w}_f$ gilt}
+        \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\xi}} &= \lim\limits_{\xi\to 0} \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \norm{\tilde{w}_f(\eta)} = \left(\norm{D_xg(x)} + c\right) \cdot \tilde{w}_f\left(\lim\limits_{\xi\to 0} \eta\right) = 0
+    \end{salign*}
+    Insgesamt erhalten wir 
+    \[\lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{w_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} = \lim\limits_{\norm{\xi}\to 0} \frac{\norm{D_yf(y)w_g(\xi)}}{\norm{\xi}} + \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{w_f(\eta)}}{\norm{\xi}} = 0\]
+\end{proof}
+\begin{bem}[Komponentenweise für $i = 1,\dots,m$ und $j = 1, \dots, r$]
+    \[D_xh(x) = D_yf(y) D_xg(x) \Leftrightarrow \underbrace{\pdv{h_j}{x_i}(x)}_{\partial_i(f\circ g)_j} = \sum_{i = 1}^{n} \pdv{f_j}{y_k}(g_1(x)\dots, g_n(x))\cdot \pdv{g_k}{x_i}(x_1, \dots, x_m)\]
+    Spezialfall: $m = r = 1 (g \colon D_g \subset \R \to \R^n),\; f\colon D_f\in \R^n \to \R$
+    \[h'(x) = \dv{}{x} h(x) = \dv{}{x} f(g(x)) = \sum_{k = 1}^{n} \pdv{f}{y_k}\ (g_1(x), \dots, g_n(x))\cdot \dv{}{x} g_k (x) = (\nabla_yf(g(x)), g'(x))_2\]
+\end{bem}
+\end{document}
+Kostinas Version des letzen Beweises vor der Bemerkung
+\begin{salign*}
+    \norm{w_{f\circ g}(\xi)} &= \Vert w_f(\underbrace{D_xg(x)\xi + w_g(\xi)}_{\eta})\Vert\\
+    &\stackrel{w_f(\eta) = \norm{\eta} \tilde{w}_f(\eta)}{\le} \norm{D_x g(x)\xi + w_g(\xi)} \tilde{w}_f (D_xg(x)\xi + w_g(\xi))\\
+    &\le (\norm{D_xg(x)} \norm{\xi} + \norm{w_g(\xi)}) \cdot \norm{\tilde{w}_f(D_xg(x)\xi + w_g(\xi))}\\
+    &\le (\norm{D_xg(x)} + c)\norm{\xi} \cdot \norm{\tilde{w}_f(D_xg(x)\xi + w_g(\xi))}\\
+    \implies \frac{\norm{w_{f\circ g}(\xi)}}{\norm{\xi}} &= (\norm{D_xg(x)} + c) \cdot \norm{\tilde{w}_f(D_xg(x)\xi + w_g(\xi))}
+\end{salign*}

analysisII.tex

@@ -27,5 +27,6 @@
 \input{ana9.tex}
 \input{ana10.tex}
 \input{ana11.tex}
+\input{ana12.tex}
 
 \end{document}