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ana1.tex

@@ -93,7 +93,7 @@
     $\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt
     \[
         \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f
-        := \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
+        \coloneqq \{ (x, y) \in D \times \R  \mid | y - f(x)| < \epsilon\} 
     .\] 
     \begin{figure}[ht!]
         \begin{tikzpicture}[scale = 0.97]
@@ -138,7 +138,7 @@
 \end{bem}
 
 \begin{bsp}
-    $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) := \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
+    $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) \coloneqq \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert
     gleichmäßig gegen $f(x) = 0$.
     \[
         | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies
@@ -188,7 +188,7 @@
     Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und
     $f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann
     \[
-        \Vert f \Vert_\infty := \max \{ |f(x)|  \mid  x \in [a,b]\} 
+        \Vert f \Vert_\infty \coloneqq \max \{ |f(x)|  \mid  x \in [a,b]\} 
     .\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und
     abgeschlossen ist.
 \end{definition}
@@ -240,7 +240,7 @@
                 \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b]
             .\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\
             $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\
-            $\implies$ Definiere $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.
+            $\implies$ Definiere $f(x) \coloneqq \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$.
 
             Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$:
             \[
@@ -262,7 +262,7 @@
 \begin{definition}
     Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch
     \[
-        C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
+        C[a,b] \coloneqq \{ f \colon [a,b] \to \R  \mid f \text{ stetig }\}
     ,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum.
 \end{definition}
 
@@ -306,7 +306,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen
     $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt:
     \[
-        f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
+        f(x) \coloneqq \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b]
     .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und
     \begin{align*}
         \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\