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2020-06-10 14:53:52 +02:00
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commit a8d317235c
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ana2.tex
+10 -10
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@@ -12,7 +12,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
$\text{Im}(f)$ Riemann-integrierbar sind.
Man setzt
\[
\int_{a}^{b} f(x) \d x := \int_{a}^{b} \text{Re} f(x) \d x + i \int_{a}^{b} \text{Im} f(x) \d x
\int_{a}^{b} f(x) \d x \coloneqq \int_{a}^{b} \text{Re} f(x) \d x + i \int_{a}^{b} \text{Im} f(x) \d x
.\]
\end{definition}
@@ -39,10 +39,10 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
\item in jeder dieser Unstetigkeitsstellen $\xi \in [a,b]$ die links- bzw.
rechtsseitigen Grenzwerte
\[
f(\xi_{\pm} := \lim_{h \searrow 0} f(\xi \pm h)
f(\xi_{\pm}) \coloneqq \lim_{h \searrow 0} f(\xi \pm h)
.\] existieren. Für $\xi \in (a,b)$ wird
\[
f(\xi) := \frac{f(\xi_{-} + f(\xi_{+})}{2}
f(\xi) \coloneqq \frac{f(\xi_{-}) + f(\xi_{+})}{2}
.\] gesetzt.
\end{enumerate}
\end{definition}
@@ -57,7 +57,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
\begin{definition}
Wir definieren
\[
(f, g) := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
(f, g) \coloneqq \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} \d x \qquad (\text{,,Sesquilinearform``})
.\] Dies ist wohldefiniert da für $f, g \in R[a,b]$ das Produkt $f(x) \cdot \overline{g(x)} \in R[a,b]$ ist.
\end{definition}
@@ -113,7 +113,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
\[
0 \le (f + \alpha g, f + \alpha g) = (f,f) + \alpha(g,f) + \overline{\alpha}(f,g)
+ \alpha \cdot \overline{\alpha}(g,g)
.\] Setze $\alpha := - \frac{(f,g)}{(g,g)} = - \frac{\overline{(g,f)}}{(g,g)}$. Dann gilt
.\] Setze $\alpha \coloneqq - \frac{(f,g)}{(g,g)} = - \frac{\overline{(g,f)}}{(g,g)}$. Dann gilt
\begin{align*}
0 &\le (f,f) - \frac{(f,g) \cdot (g, f)}{(g,g)} - \frac{(g, f) \cdot (f,g)}{(g,g)}
+ \frac{(f,g)(g,f)(g,g)}{(g,g)(g,g)} \\
@@ -128,7 +128,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
\begin{definition}[$L^2$-Norm]
Das $L^2$-Skalarprodukt $(\cdot , \cdot )$ induziert die $L^2$-Norm auf $R[a,b]$ mit
\[
\Vert f \Vert = \Vert f \Vert_{L^2} := (f,f)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b} f \cdot \overline{f} \d x\right)^{\frac{1}{2}}
\Vert f \Vert = \Vert f \Vert_{L^2} \coloneqq (f,f)^{\frac{1}{2}} = \left(\int_{a}^{b} f \cdot \overline{f} \d x\right)^{\frac{1}{2}}
.\]
\end{definition}
@@ -170,7 +170,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
\Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0
\implies \Vert f_n - f \Vert_{L^2} \xrightarrow{n \to \infty} 0
.\]
Die Umkehrung gilt i.A. nicht! Beispiel: $f_n(x) := x^{n}$, $x \in [-1, 1]$
Die Umkehrung gilt i.A. nicht! Beispiel: $f_n(x) \coloneqq x^{n}$, $x \in [-1, 1]$
\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}
@@ -249,11 +249,11 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
\begin{satz}
Die trigonometrischen Funktionen, für $k, l \in \N$
\begin{align*}
c_k(x) &:= \begin{cases}
c_k(x) &\coloneqq \begin{cases}
1 & k = 0 \\
\cos(k x) & \text{sonst}
\end{cases} \\
s_l(x) &:= \sin (l x)
s_l(x) &\coloneqq \sin (l x)
\end{align*} bilden auf $R[a,b]$ bezüglich des $L^2$-Skalarprodukts ein
Orthogonalsystem und es gilt
\begin{align*}
@@ -261,7 +261,7 @@ Jetzt: Fourier Analysis!
&\int_{0}^{2\pi} c_k(x) c_l(x) \d x = \pi \delta_{kl} \\
&\int_{0}^{2\pi} s_k(x) s_l(x) \d x = \pi \delta_{kl}
\intertext{Hier sei}
&\delta_{kl} := \begin{cases}
&\delta_{kl} \coloneqq \begin{cases}
1 & k = l \\
0 & k \neq l
\end{cases} \qquad \text{Kroneckersymbol}