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salagne
2020-06-10 14:53:52 +02:00
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\begin{definition}
(normierter Raum) Sei $V$ irgendein Vektorraum über $\K$ ($\K = \R$ oder $\K = \C$). Eine Abbildung $\norm{\cdot}: V \to \R$ heißt Norm (auf V), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
\begin{enumerate}[N1]
\item (Definitheit) $\norm{x} \geq 0$, $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x=0$.
\item (Homogenität) $\norm{ \alpha x} = |\alpha| \cdot \norm{x}, \alpha \in \K$.
\item (Dreiecksungleichung) $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$.
\item (Definitheit) $\norm{x} \geq 0$, $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x=0$. \label{def:N1}
\item (Homogenität) $\norm{ \alpha x} = |\alpha| \cdot \norm{x}, \alpha \in \K$. \label{def:N2}
\item (Dreiecksungleichung) $\norm{x+y} \leq \norm{x} + \norm{y}$. \label{def:N3}
\end{enumerate}
Das Paar $(V, \norm{\cdot})$ heißt normierter Raum.
\end{definition}