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2020-06-10 14:53:52 +02:00
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ana7.tex
+7 -5
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@@ -88,16 +88,18 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{bsp}
$\norm{A}_F = \left(\sum_{j, k = 1}^{n}|a_{jk}|^2 \right)^{\frac{1}{2}}$ heißt \textbf{Frobenius}-Norm. Sie ist verträglich mit $\norm{\cdot}_2$ in $\K^n$ und submultiplikativ, aber keine natürliche Matrixnorm, weil $\norm{\mathbb{I}}_F = \sqrt{n} \neq 1$ für $n \geq 2$.
$\norm{A}_F = \left(\sum_{j, k = 1}^{n}|a_{jk}|^2 \right)^{\frac{1}{2}}$ heißt \underline{Frobenius}-Norm. Sie ist verträglich mit $\norm{\cdot}_2$ in $\K^n$ und submultiplikativ, aber keine natürliche Matrixnorm, weil $\norm{\mathbb{I}}_F = \sqrt{n} \neq 1$ für $n \geq 2$.
\end{bsp}
\begin{lemma}[Natürliche Matrixnormen]
Die natürliche Matrixnormen zu $\norm{\cdot}_\infty$ ($\ell_\infty$ / Maximumnorm) und $\norm{\cdot}_1$ ($\ell_1$-Norm) in $\K^n$ sind
$$\norm{A}_\infty \coloneqq \max\limits_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}|\qquad \text{Maximale Zeilen-Summen-Norm}$$
$$\norm{A}_\infty \coloneqq \max\limits_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}|\qquad \text{Maximale Spalten-Summen-Norm}$$
\begin{align*}
\norm{A}_\infty &\coloneqq \max\limits_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \qquad \text{Maximale Zeilen-Summen-Norm} \\
\norm{A}_1 &\coloneqq \max\limits_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{n}|a_{ij}| \qquad \text{Maximale Spalten-Summen-Norm}
\end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Matrixnorm $\norm{\cdot}_\infty$ ist eine Norm (d.h. erfüllt Normeigenschaften (N1), (N2) und (N3))
\item Matrixnorm $\norm{\cdot}_\infty$ ist eine Norm (d.h. erfüllt Normeigenschaften (\ref{def:N1}), (\ref{def:N2}) und (\ref{def:N3}))
\item Z.z. Verträglichkeit
$$\norm{Ax}_\infty\! = \max\limits_{1 \leq i \leq n} \left| \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}x_j\right| \leq \max\limits_{1 \leq i \leq n}\left(\sum_{j = 1}^{n}|a_{ij}| \cdot |x_j|\right)\! \leq \norm{x}_\infty \cdot \max_{1\leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} |a_{ij}| = \norm{x}_\infty \cdot \norm{A}_\infty$$
$\implies$ Verträglichkeit mit $\norm{\cdot}_\infty$
@@ -160,7 +162,7 @@ Weitere Begriffe und Eigenschaften
$\lambda_i \ge 0$ reell.
Sei $y = \bar{U}^{T}x = U^{-1}x \implies x = Uy$. Damit folgt
mit $|\lambda_{max}| := \max \{ |\lambda_i| \mid \lambda_i \in \sigma(\bar{A}^{T}A)\} $
mit $|\lambda_{max}| \coloneqq \max \{ |\lambda_i| \mid \lambda_i \in \sigma(\bar{A}^{T}A)\} $
\begin{align*}
\Vert A \Vert_2^2 &= \sup_{\Vert x \Vert_2 = 1} (x, \bar{A}^{T}Ax)_2 \\
&= \sup_{\Vert Uy \Vert_2 = 1} (\underbrace{Uy}_{= x}, \bar{A}^{T}A\underbrace{Uy}_{= x})_2 \\