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| @@ -14,7 +14,7 @@ | |||
| \item \label{def:definitheit} | |||
| (Definitheit) $(x,x) \in \R$ und $(x,x) \geq 0, \quad (x,x) = 0 \iff x = 0$ | |||
| \item \label{def:symmetrie} | |||
| (Symmetrie) $(x,y) = \overline{(x,y)}$ | |||
| (Symmetrie) $(x,y) = \overline{(y,x)}$ | |||
| \item \label{def:linear} | |||
| (Linearität im ersten Argument) $(\alpha x_1 + \beta x_2, y) = \alpha(x_1,y) + \beta(x_2,y) \quad \forall x_1, x_2, y \in V, \ \forall \alpha, \beta \in \K$ | |||
| \end{enumerate} | |||
| @@ -23,7 +23,7 @@ | |||
| \begin{bem} | |||
| \begin{enumerate}[(1)] | |||
| \item Falls nur $(x,x) \in \R, (x,x) \geq 0$ gilt (es ist möglich, dass $(x,x) = 0$ und $x \neq 0$), dann ist $(\cdot,\cdot)$ ein \glqq semi-skalarprodukt\grqq. | |||
| \item Aus \ref{def:symmetrie} und \ref{def:linear} folgt die Linearität im zweiten Argument und damit sog. Bilinearität des Skalarprodukts, als eine Sesquilinearform in $\C$ bzw. eine Bilinearform in $\R$ | |||
| \item Aus \ref{def:symmetrie} und \ref{def:linear} folgt die Linearität im zweiten Argument und damit sog. Bilinearität des Skalarprodukts als eine Sesquilinearform in $\C$ bzw. eine Bilinearform in $\R$ | |||
| \item \ref{def:linear} $\implies | |||
| \begin{cases} | |||
| \text{Additivität} &(x_1 + x_2, y) = (x_1,y) + (x_2,y)\\ | |||
| @@ -41,7 +41,7 @@ | |||
| $y = 0 \implies$ trivial. | |||
| Sei $y \neq 0$, und sei $\alpha \in \K$ beliebig. | |||
| \begin{align*} | |||
| 0 &\stackrel{\ref{def:definitheit}}{\leq} (x + \alpha y, x + \alpha y) \stackrel{\ref{def:symmetrie},\ref{def:linear}}{=} (x,x) + \alpha (y,x) + \overline{\alpha}(x,y) + \alpha\overline{\alpha}(y,y) | |||
| 0 &\stackrel{\ref{def:definitheit}}{\leq} (x + \alpha y, x + \alpha y) \ \stackrel{\ref{def:symmetrie},\ref{def:linear}}{=} \ (x,x) + \alpha (y,x) + \overline{\alpha}(x,y) + \alpha\overline{\alpha}(y,y) | |||
| \intertext{Setze $\alpha = - \frac{(x,y)}{(y,y)}$} | |||
| 0 &\leq (x,x) - \frac{(x,y)(y,x)}{(y,y)} - \frac{\overline{(x,y)}(x,y)}{(y,y)} + \frac{(x,y)}{(y,y)} \cdot \frac{\overline{(x,y)}}{(y,y)} \cdot (y,y) \\ | |||
| &= (x,x) - \frac{\left|(x,y)^2\right|}{(y,y)} \\ | |||
| @@ -55,7 +55,7 @@ | |||
| \item Das euklidische Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)_2$ auf $\K^n$ | |||
| $$(x,y)_2 \coloneqq \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}$$ | |||
| erzeugt die euklidische Norm | |||
| $$\norm{x}_2 \coloneqq \sqrt{(x,y)_2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.$$ | |||
| $$\norm{x}_2 \coloneqq \sqrt{(x,x)_2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.$$ | |||
| $\left(\K^n, (\cdot,\cdot)_2\right)$ ist ein Hilbert-Raum. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{korrolar} | |||
| @@ -74,7 +74,7 @@ | |||
| Wichtige Ungleichungen | |||
| \begin{lemma}[Ungleichung von Young] | |||
| Seien $p,q \in \R, 1<p, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt | |||
| Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt | |||
| $$|x\cdot y| \leq \frac{|x|^p}{p} + \frac{|y|^q}{q} \quad x,x \in \R$$ | |||
| \end{lemma} | |||
| @@ -83,13 +83,13 @@ Wichtige Ungleichungen | |||
| \end{proof} | |||
| \begin{lemma}[Ungleichung von Hölder] | |||
| Seien $p,q \in \R, 1<p, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt | |||
| Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt | |||
| $$\underbrace{|(x,y)_2|}_{% | |||
| \footnotesize\begin{tabular}{c}euklidisches\\Skalarprodukt\end{tabular}} | |||
| \leq \underbrace{\norm{x}_p}_{% | |||
| \footnotesize\begin{tabular}{c}$l_p$-Norm\\ von $x$\end{tabular}} | |||
| \footnotesize\begin{tabular}{c}$\ell_p$-Norm\\ von $x$\end{tabular}} | |||
| \cdot \underbrace{\norm{y}_q}_{% | |||
| \footnotesize\begin{tabular}{c}$l_q$-Norm\\ von $y$\end{tabular}} $$ | |||
| \footnotesize\begin{tabular}{c}$\ell_q$-Norm\\ von $y$\end{tabular}} $$ | |||
| \end{lemma} | |||
| \begin{proof} | |||
| @@ -109,14 +109,14 @@ Wichtige Ungleichungen | |||
| \begin{lemma}[Ungleichung von Minkowski] | |||
| Sei $p\in\R, 1 \leq p < \infty$ oder $p=\infty$. Dann gilt | |||
| $$\norm{x+y}_p \leq \norm{x}_p + \norm{y}_p$$ | |||
| $\leadsto$ Dreicksungleichung für die $l_p$-Norm. | |||
| $\leadsto$ Dreicksungleichung für die $\ell_p$-Norm. | |||
| \end{lemma} | |||
| \begin{proof} | |||
| Für $p = 1$ | |||
| $$\norm{x+y}_1 \quad \stackrel{\text{Def. } l_1}{=} \quad \sum_{i=1}^n |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \sum_{i=1}^n |x_i| + \sum_{i=1}^n |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }l_1}{=} \quad \norm{x}_1 + \norm{y}_1$$ | |||
| $$\norm{x+y}_1 \quad \stackrel{\text{Def. } \ell_1}{=} \quad \sum_{i=1}^n |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \sum_{i=1}^n |x_i| + \sum_{i=1}^n |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }\ell_1}{=} \quad \norm{x}_1 + \norm{y}_1$$ | |||
| Für $p = \infty$ | |||
| $$\norm{x+y}_\infty \quad \stackrel{\text{Def. } l_\infty}{=} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i| + \max_{i=1,\dots,n} |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }l_\infty}{=} \quad \norm{x}_\infty + \norm{y}_\infty$$ | |||
| $$\norm{x+y}_\infty \quad \stackrel{\text{Def. } \ell_\infty}{=} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i| + \max_{i=1,\dots,n} |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }\ell_\infty}{=} \quad \norm{x}_\infty + \norm{y}_\infty$$ | |||
| Sei $1<p<\infty$. Definiere $q \coloneqq \frac{p}{p-1} \ \left(\implies \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{p-1}{p} = 1 \right)$ und setze $\xi_i = |x_i + y_i|^{p-1}, \ i = 1,\dots,n$ und $\xi \coloneqq \left(\begin{smallmatrix}\xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{smallmatrix}\right)$. Es gilt | |||
| $$\norm{\xi}_q^q = \sum_{i=1}^n |\xi_i|^q = \sum_{i=1}^n {\underbrace{\left( |x_i+y_i|^{p-1} \right)}_{\xi_i}}^{q = \frac{p}{p-1}} = \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p = \norm{x+y}_p^p$$ | |||
| Dann | |||
| @@ -127,8 +127,8 @@ Wichtige Ungleichungen | |||
| &\leq \underbrace{\sum_{i=1}^n|x_i|\cdot \xi_i}_{|(x,\xi)_2|} + \underbrace{\sum_{i=1}^n|y_i|\cdot \xi_i}_{|(y,\xi)_2|} \\ | |||
| & \stackrel{\text{Hölder-Ungl.}}{\leq} \qquad \norm{x}_p\cdot \norm{\xi}_q + \norm{y}_p\cdot\norm{\xi}_q \\ | |||
| &= \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{\xi}_q \\ | |||
| & \stackrel{\text{Def. } \xi}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{\frac{p}{q}} \\ | |||
| & \stackrel{\text{Def. } q}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{p-1} \\ | |||
| & \stackrel{\text{Def.} \, \xi}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{\frac{p}{q}} \\ | |||
| & \stackrel{\text{Def.} \, q}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{p-1} \\ | |||
| \implies \norm{x+y}_p &\leq \norm{x}_p + \norm{y}_p | |||
| \end{align*} | |||
| \end{proof} | |||
| @@ -153,7 +153,7 @@ Wichtige Ungleichungen | |||
| \begin{lemma} | |||
| \label{Lemma 2.3.3.} | |||
| Sei $\{a^{(k)},\ k=1,\dots,n\}$ eine Orthonormalbasis des $\K^n$. Dann gibt es $\forall x\in \K^n$ eine Darstellung $$x=\sum_{k=1}^n(x,a{(k)})_2\cdot a^{(k)},\ x\in \K^n.$$ | |||
| Sei $\{a^{(k)},\ k=1,\dots,n\}$ eine Orthonormalbasis des $\K^n$. Dann gibt es $\forall x\in \K^n$ eine Darstellung $$x=\sum_{k=1}^n(x,a^{(k)})_2\cdot a^{(k)},\ x\in \K^n.$$ | |||
| \begin{align*} | |||
| \left( | |||
| \begin{array}{lll} | |||