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@@ -14,7 +14,7 @@
         \item \label{def:definitheit}
             (Definitheit) $(x,x) \in \R$ und $(x,x) \geq 0, \quad (x,x) = 0 \iff x = 0$
         \item \label{def:symmetrie}
-            (Symmetrie) $(x,y) = \overline{(x,y)}$
+            (Symmetrie) $(x,y) = \overline{(y,x)}$
         \item \label{def:linear}
             (Linearität im ersten Argument) $(\alpha x_1 + \beta x_2, y) = \alpha(x_1,y) + \beta(x_2,y) \quad \forall x_1, x_2, y \in V, \ \forall \alpha, \beta \in \K$
     \end{enumerate}
@@ -23,7 +23,7 @@
 \begin{bem}
     \begin{enumerate}[(1)]
         \item Falls nur $(x,x) \in \R, (x,x) \geq 0$ gilt (es ist möglich, dass $(x,x) = 0$ und $x \neq 0$), dann ist $(\cdot,\cdot)$ ein \glqq semi-skalarprodukt\grqq.
-        \item Aus \ref{def:symmetrie} und \ref{def:linear} folgt die Linearität im zweiten Argument und damit sog. Bilinearität des Skalarprodukts, als eine Sesquilinearform in $\C$ bzw. eine Bilinearform in $\R$
+        \item Aus \ref{def:symmetrie} und \ref{def:linear} folgt die Linearität im zweiten Argument und damit sog. Bilinearität des Skalarprodukts als eine Sesquilinearform in $\C$ bzw. eine Bilinearform in $\R$
         \item \ref{def:linear} $\implies 
             \begin{cases}
                 \text{Additivität} &(x_1 + x_2, y) = (x_1,y) + (x_2,y)\\
@@ -41,7 +41,7 @@
     $y = 0 \implies$ trivial.
     Sei $y \neq 0$, und sei $\alpha \in \K$ beliebig.
     \begin{align*}
-        0 &\stackrel{\ref{def:definitheit}}{\leq} (x + \alpha y, x + \alpha y) \stackrel{\ref{def:symmetrie},\ref{def:linear}}{=} (x,x) + \alpha (y,x) + \overline{\alpha}(x,y) + \alpha\overline{\alpha}(y,y)
+        0 &\stackrel{\ref{def:definitheit}}{\leq} (x + \alpha y, x + \alpha y) \  \stackrel{\ref{def:symmetrie},\ref{def:linear}}{=} \ (x,x) + \alpha (y,x) + \overline{\alpha}(x,y) + \alpha\overline{\alpha}(y,y)
         \intertext{Setze $\alpha = - \frac{(x,y)}{(y,y)}$}
         0 &\leq (x,x) - \frac{(x,y)(y,x)}{(y,y)} - \frac{\overline{(x,y)}(x,y)}{(y,y)} + \frac{(x,y)}{(y,y)} \cdot \frac{\overline{(x,y)}}{(y,y)} \cdot (y,y) \\
         &= (x,x) - \frac{\left|(x,y)^2\right|}{(y,y)} \\
@@ -55,7 +55,7 @@
         \item Das euklidische Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)_2$ auf $\K^n$
             $$(x,y)_2 \coloneqq \sum_{i=1}^n x_i\overline{y_i}$$
             erzeugt die euklidische Norm
-            $$\norm{x}_2 \coloneqq \sqrt{(x,y)_2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.$$
+            $$\norm{x}_2 \coloneqq \sqrt{(x,x)_2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.$$
             $\left(\K^n, (\cdot,\cdot)_2\right)$ ist ein Hilbert-Raum.
         \end{enumerate}
 \end{korrolar}
@@ -74,7 +74,7 @@
 Wichtige Ungleichungen
 
 \begin{lemma}[Ungleichung von Young]
-    Seien $p,q \in \R, 1<p, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
+    Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
     $$|x\cdot y| \leq \frac{|x|^p}{p} + \frac{|y|^q}{q} \quad x,x \in \R$$
 \end{lemma}
 
@@ -83,13 +83,13 @@ Wichtige Ungleichungen
 \end{proof}
 
 \begin{lemma}[Ungleichung von Hölder]
-    Seien $p,q \in \R, 1<p, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
+    Seien $p,q \in \R, p>1, \ q<\infty, \ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Dann gilt
     $$\underbrace{|(x,y)_2|}_{%
         \footnotesize\begin{tabular}{c}euklidisches\\Skalarprodukt\end{tabular}}
     \leq \underbrace{\norm{x}_p}_{%
-        \footnotesize\begin{tabular}{c}$l_p$-Norm\\ von $x$\end{tabular}}
+        \footnotesize\begin{tabular}{c}$\ell_p$-Norm\\ von $x$\end{tabular}}
     \cdot \underbrace{\norm{y}_q}_{%
-        \footnotesize\begin{tabular}{c}$l_q$-Norm\\ von $y$\end{tabular}} $$
+        \footnotesize\begin{tabular}{c}$\ell_q$-Norm\\ von $y$\end{tabular}} $$
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
@@ -109,14 +109,14 @@ Wichtige Ungleichungen
 \begin{lemma}[Ungleichung von Minkowski]
     Sei $p\in\R, 1 \leq p < \infty$ oder $p=\infty$. Dann gilt
     $$\norm{x+y}_p \leq \norm{x}_p + \norm{y}_p$$
-    $\leadsto$ Dreicksungleichung für die $l_p$-Norm.
+    $\leadsto$ Dreicksungleichung für die $\ell_p$-Norm.
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
     Für $p = 1$
-    $$\norm{x+y}_1 \quad \stackrel{\text{Def. } l_1}{=} \quad \sum_{i=1}^n |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \sum_{i=1}^n |x_i| + \sum_{i=1}^n |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }l_1}{=} \quad \norm{x}_1 + \norm{y}_1$$
+    $$\norm{x+y}_1 \quad \stackrel{\text{Def. } \ell_1}{=} \quad \sum_{i=1}^n |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \sum_{i=1}^n |x_i| + \sum_{i=1}^n |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }\ell_1}{=} \quad \norm{x}_1 + \norm{y}_1$$
     Für $p = \infty$
-    $$\norm{x+y}_\infty \quad \stackrel{\text{Def. } l_\infty}{=} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i| + \max_{i=1,\dots,n} |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }l_\infty}{=} \quad \norm{x}_\infty + \norm{y}_\infty$$
+    $$\norm{x+y}_\infty \quad \stackrel{\text{Def. } \ell_\infty}{=} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i+y_i| \quad \stackrel{\triangle\text{-UG}}{\leq} \quad \max_{i=1,\dots,n} |x_i| + \max_{i=1,\dots,n} |y_i| \quad \stackrel{\text{Def. }\ell_\infty}{=} \quad \norm{x}_\infty + \norm{y}_\infty$$
     Sei $1<p<\infty$. Definiere $q \coloneqq \frac{p}{p-1} \ \left(\implies \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{p} + \frac{p-1}{p} = 1 \right)$ und setze $\xi_i = |x_i + y_i|^{p-1}, \ i = 1,\dots,n$ und $\xi \coloneqq \left(\begin{smallmatrix}\xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{smallmatrix}\right)$. Es gilt
     $$\norm{\xi}_q^q = \sum_{i=1}^n |\xi_i|^q = \sum_{i=1}^n {\underbrace{\left( |x_i+y_i|^{p-1} \right)}_{\xi_i}}^{q = \frac{p}{p-1}} = \sum_{i=1}^n |x_i+y_i|^p = \norm{x+y}_p^p$$
     Dann
@@ -127,8 +127,8 @@ Wichtige Ungleichungen
         &\leq \underbrace{\sum_{i=1}^n|x_i|\cdot \xi_i}_{|(x,\xi)_2|} + \underbrace{\sum_{i=1}^n|y_i|\cdot \xi_i}_{|(y,\xi)_2|} \\
         & \stackrel{\text{Hölder-Ungl.}}{\leq} \qquad \norm{x}_p\cdot \norm{\xi}_q + \norm{y}_p\cdot\norm{\xi}_q \\
         &= \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{\xi}_q \\
-        & \stackrel{\text{Def. } \xi}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{\frac{p}{q}} \\
-        & \stackrel{\text{Def. } q}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{p-1} \\
+        & \stackrel{\text{Def.} \, \xi}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{\frac{p}{q}} \\
+        & \stackrel{\text{Def.} \, q}{=} \ \left(\norm{x}_p + \norm{y}_q \right) \cdot \norm{x+y}_p^{p-1} \\
         \implies \norm{x+y}_p &\leq \norm{x}_p + \norm{y}_p 
     \end{align*}
 \end{proof}
@@ -153,7 +153,7 @@ Wichtige Ungleichungen
 
 \begin{lemma}
 \label{Lemma 2.3.3.}
-    Sei $\{a^{(k)},\ k=1,\dots,n\}$ eine Orthonormalbasis des $\K^n$. Dann gibt es $\forall x\in \K^n$ eine Darstellung $$x=\sum_{k=1}^n(x,a{(k)})_2\cdot a^{(k)},\ x\in \K^n.$$
+    Sei $\{a^{(k)},\ k=1,\dots,n\}$ eine Orthonormalbasis des $\K^n$. Dann gibt es $\forall x\in \K^n$ eine Darstellung $$x=\sum_{k=1}^n(x,a^{(k)})_2\cdot a^{(k)},\ x\in \K^n.$$
     \begin{align*}
         \left(
         \begin{array}{lll}