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@@ -5,3 +5,5 @@
 *.synctex.*
 *.fls
 *.out
+*.pdf
+!analysisII.pdf

ana14.tex

@@ -294,7 +294,7 @@ Für $\mathunderline{blue}{x_0 =1,\; y_0 = 0}$ hingegen gibt es keine Umgebung v
         f'' &= -\left(\pdv{F}{y}\right)^{-1}\left(\pdv{^2F}{x^2} + 2\pdv{^2F}{y\partial x}f' + \pdv{^2F}{y^2}{f'}^2\right)
     \end{align*}
 \end{bsp}
-\vspace*{-1cm}
+
 \subsection{Umkehrabbildungen}
 Fragestellung: Sei $f \colon D\subset \R^n \to \R^n$. Existiert die Umkehrabbildung $f^{-1}: B_f \to \R^n$?
 \begin{definition}

ana15.tex

@@ -55,7 +55,7 @@ $\forall x \in U(\hat{x}) \cap S$.
     \begin{align*}
         \varphi\colon U(\hat{z}) &\to U(\hat{y}) \\
         z &\mapsto \varphi(z) = y
-    , \end{align*} s.d. $\varphi$ folgende Eigenschaften erfüllt sind
+    , \end{align*} s.d. $\varphi$ folgende Eigenschaften erfüllt
     \begin{enumerate}[(1)]
         \item $g(\varphi(z), z) = 0$ $\forall z \in U(\hat{z})$
         \item $\hat{y} = \varphi(\hat{z})$

ana16.tex

@@ -0,0 +1,462 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\usetikzlibrary{math}
+\begin{document}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
+\newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}
+
+\chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen}
+\section{Explizite Differentialgleichungen}
+Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form
+\[
+    F(t,y,y',\dots, y^{(n)}) = 0\quad\text{implizite Form}  
+\] oder
+\[
+    y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form}
+\]
+für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ ,,Zeitinvervall``. % $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$.
+Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen:
+\begin{align*}
+    x_1 &\coloneqq y\\
+    x_2 &\coloneqq y'\\
+    &\vdots\\
+    x_n &\coloneqq y^{(n-1)},
+\end{align*}
+also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann
+\[
+    x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix}
+        x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x)
+    \end{pmatrix}
+\]
+Ein allgemeines System von Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Form
+\[
+    x' = f(t,x),\quad x\in \R^n,\quad f\in \R^n  
+\]
+Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Prozess, der sich mit der Zeit ändert.)
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item einfache lineare Differentialgleichung \[x' = \alpha x,\quad \alpha \in \R\] hat die Lösung $x(t) = c\cdot e^{\alpha t}$, da \[\dv{f}{t} = c\cdot e^{\alpha t}\cdot \alpha = \alpha \cdot x(t)\]
+        \item Newton: Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung. \begin{align*}
+            y(t)&\in \R &&\text{Ort eines Massenpunktes zur Zeit $t$}\\
+            y'(t)&\in \R &&\text{Geschwindigkeit}\\
+            y''(t)&\in \R &&\text{Beschleunigung}
+        \end{align*}
+        Kraftfunktion: $f(t,y,y') \in \R$.
+        \[
+            my'' = f(t,y,y')\quad \text{DGL 2. Ordnung}  
+        \]
+        äquivalent zum System:
+        \begin{align*}
+            x_1'&= x_2& \text{mit } x_1 &= y,\\
+            x_2'&= \frac{1}{m}f(t,x_1,x_2)& x_2&= y'
+        \end{align*}
+        \item Räuber-Beute-Gleichungen (Lotka-Volterra-Gleichungen)
+        \begin{align*}
+            N_1 &= N_1(t) &&\text{Anzahl von Beute}\\
+            N_2 &= N_2(t) &&\text{Anzahl von Räuber}\\
+            N_1' &= \alpha N_1 - \beta N_1N_2 &&\alpha > 0\text{ Reproduktionsrate der Beute}\\
+                &&&\beta > 0\text{ Fressrate der Räuber pro Beute}\\
+            N_2' &= -\gamma N_2 + \delta N_1N_2&&\gamma > 0\text{ Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist}\\
+               & &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute}
+        \end{align*}
+        \item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona):
+        \begin{center}
+            \begin{tabular}{ccc}
+                succeptible & infected & removed\\
+                $S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$
+            \end{tabular}    
+        \end{center}
+        \begin{align*}
+            N &= I + S + R\\
+            \dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\
+            \dv{I}{t} &= \beta \frac{SI}{N} - \gamma I - \mu I\\
+            \dv{R}{t} &= \gamma I - \mu R
+        \end{align*}
+        Dabei sei
+        \begin{align*}
+            \gamma&\text{ die Rate, mit der Infizierte genesen oder sterben,}\\
+            \mu&\text{ die allgemeine Sterberate pro Person,}\\
+            \nu&\text{ die Geburtsrate pro Person,}\\
+            \beta&
+                \text{ die Anzahl neuer Infektionen, die ein erster infektiöser Fall pro Zeit verursacht und}\\
+            \frac{\beta}{N}& \text{ die Transmissionsrate.}
+        \end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = 2*(\x-0.25);}]
+        \begin{axis}%
+            [%minor tick num=4,
+             %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+             %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+             axis lines=middle,
+             %enlargelimits={abs=0.2},
+             %ymax=5,
+             %ymin=0
+             width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot
+             axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+             view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up
+             xmin=0, xmax=1.1, % Axis limits
+             ymin=0, ymax=1.1,
+             domain=0:1, y domain=0:1, % Domain over which to evaluate the functions
+             xtick={0.7}, ytick={0.3525}, % Tick marks
+             xticklabels={$t_0$},
+             yticklabels={$y_0$},
+             xlabel=$t$,
+             ylabel=$y$,
+             samples=11, % How many arrows?
+             cycle list={    % Plot styles
+                     gray,
+                     quiver={
+                         u={1}, v={f(x)}, % End points of the arrows
+                         scale arrows=0.075,
+                         every arrow/.append style={
+                             -latex % Arrow tip
+                         },
+                     }\\
+                     red, samples=31, smooth, thick, no markers, domain=0:1.1\\ % The plot style for the function
+                }
+            ]
+            \addplot3 (x,y,0);
+            \addlegendentry{$f(t,y)$}
+            \addplot{(x-0.25)^2+0.15};
+            \addlegendentry{$y(t)$}
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld für DGL der Form $y' = f(t,y)$}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}[System erster Ordnung]
+    Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\ f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt 
+    \begin{equation}
+        y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$}
+    \end{equation}
+    ein System von $n$ Differentialgleichungen 1. Ordnung.
+\end{definition}
+Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n$ mit 
+\begin{enumerate}[(a)]
+    \item $\graph(y)\coloneqq \{(t,y(t))\in \R\times \R^n\mid t\in I\}\subset D$ und 
+    \item $y'(t) = f(t,y(t))\quad \forall t\in I$.
+\end{enumerate}
+\begin{bem}
+    $y = \begin{pmatrix}
+        y_1\\\vdots\\y_n
+    \end{pmatrix}$ und $f=\begin{pmatrix}
+        f_1\\\vdots\\f_n
+    \end{pmatrix}$ Dann ist 
+    \begin{align*}
+        \eqref{DGLOrd1} \Leftrightarrow y_1'&= f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\
+        \vdots&\\
+        y_n'&= f_n(t,y_1,\dots,y_n)
+    \end{align*}
+\end{bem}
+\begin{definition}[Anfangswertaufgabe/Anfangswertproblem]
+    AWA zu \eqref{DGLOrd1} ist:
+    \begin{align*}
+        y' &= f(t,y),\quad t\in I \\
+        y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung}
+    \end{align*}
+    Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass 
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $\graph(y) \subset D$
+        \item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$
+        \item $y(t_0) = y_0$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{satz}[DGL $\leftrightarrow$ Integralgleichung]
+    Sei $D\subset \R\times \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ stetig, $(t_0,y_0)\in D$ und $y\colon I\to \R^n$ stetig mit $\graph(y)\subset D,\; t_0\in I$. Dann gilt
+    \[
+        y\text{ löst AWA }y'=f(t,y),\;y(t_0)=y_0\Leftrightarrow y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\d s \quad \forall t\in I 
+    \]
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    "$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$.
+    \[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\]
+    "$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ (c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA.
+\end{proof}
+\section{Anfangswertaufgaben: Existenz von Lösungen}
+\begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\
+    Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder
+    \[
+        D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\}
+    \]
+    Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\]
+\end{satz}
+%\begin{figure}[h]
+%    \begin{tikzpicture}
+%        \begin{axis}%
+%            [grid=none,
+%             minor tick num=4,
+%             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+%             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+%             axis lines=middle,
+%             %enlargelimits={abs=0.2},
+%             ymax=5, ymin=-1.5,
+%             xmin=2, xmax=7,
+%             xtick={5}, ytick={2},
+%             xticklabels={$t_0$},
+%             yticklabels={$y_0$},
+%             xlabel=$t$,
+%             ylabel=$x$,
+%            ]
+%            \draw (4,1) rectangle (6,3);
+%            \node at (5.8,1.3) {$D$};
+%            \addplot[domain=1:10,samples=50,smooth,red] {2^(x-3)-2};
+%            \addlegendentry{$y(t)$}
+%          \end{axis}
+%    \end{tikzpicture}
+%\end{figure}
+Reminder:
+\begin{enumerate}
+    \item Gleichmäßige Stetigkeit: \[f\colon D\to \R,\; D\subset \R^n\] ist gleichmäßig stetig in $D$, falls $\forall \epsilon > 0,\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall x,x_0\in D$ gilt \[\norm{x-x_0}< \delta \implies \norm{f(x)-f(x_0)}< \epsilon\]
+    \item Gleichgradige Stetigkeit: Sei $\mathcal{F} \subset C[a,b]$. Dann ist $\mathcal{F}$ gleichgradig stetig, falls $\forall \epsilon> 0\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall f\in \mathcal{F}$ gilt \[\forall t,t'\in [a,b],\; |t-t'| <\delta \implies \norm{f(t)-f(t')}<\epsilon\]
+    \item Satz von Arzela-Ascoli:
+         Sei $(f_n)_{n\in \N}$ eine Folge in $C[a,b]$, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h. 
+         \[\sup_{n\in \N} \norm{f_n}_\infty < \infty\] und 
+         \[\forall\epsilon > 0,\;\exists \delta > 0,\forall n\in \N\colon\; \max_{\substack{t,t'\in [a,b]\\|t-t'|\le \delta}} \norm{f_n(t)-f_n(t')} < \epsilon.\]
+        Dann existiert eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \N}$, welche gegen $f\in C[a,b]$ konvergiert, d.h. \[\norm{f_{n_k} - f}_\infty \to 0\]
+    \item Dreiecksungleichung für Integrale. Sei $y\colon [a,b] \to\R^n$ stetig, $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm auf $\R^n$. Dann 
+    \[\norm{\int_a^by(t)\d t} \le \int_a^b\norm{y(t)} \d t,\] hier:
+    \[\int_a^by(t)\d t\coloneqq \begin{pmatrix}
+        \int_a^by_1(t)\d t\\
+        \vdots\\
+        \int_a^by_n(t)\d t
+    \end{pmatrix}\in \R^n\]
+\end{enumerate}
+\begin{proof} (Satz von Peano)\\
+    Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\
+    O.B.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$.
+    \[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\]
+    Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize}
+        \item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$.
+        \item Für $n\ge 1$, berechne $y_n^h=y_{n-1}^h + hf(t_{n-1},y_{n-1}^h)$. 
+    \end{itemize}
+    Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$
+    \[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\]
+    \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[declare function={
+                    g(\x) = 0.5*exp(\x-2); % base function for y(t)
+                    f(\x) = 0.5*exp(\x-2); % derivative
+                    %g(\x) = 0.5*(\x-2.7)^3 - 2*(\x-2.7)^2; % base function for y(t)
+                    %f(\x) = 1.5*(\x-2.7)^2 - 4*(\x-2.7); % derivative
+                }]
+            \def\h{1} % step length (accuracy of approximation)
+            \def\torig{2} % y_0
+            \def\yorig{1} % t_0
+            \begin{axis}%
+                [grid=none,
+                 grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 ymax=10, ymin=-1.5,
+                 restrict y to domain=-2:12,
+                 xmin=-1, xmax=7,
+                 xtick={2,3,4,5},
+                 ytick=\empty,
+                 xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},
+                 xlabel=$t$,
+                 ylabel=$y$,
+                 legend pos=outer north east
+                ]
+                \def\d{0}
+                \def\t{0}
+                \foreach \i/\colour [remember=\d as \dlast (initially \yorig),
+                                     remember=\t as \tlast (initially \torig)]
+                                    in {0/green,1/blue,2/orange,3/pink} {
+                    \tikzmath{\t=\tlast+\h;\d=g(\tlast)+\dlast+\h*f(\tlast)-g(\t);}
+                    \colour
+                    \edef\temp{\noexpand
+                        \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,\colour] {g(x) + \dlast - g(\torig)};
+                    }
+                    \temp
+                    \if\i3
+                        \edef\temp{\noexpand
+                            \draw[dashed,->] (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) 
+                                -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)});
+                        }
+                    \else
+                        \edef\temp{\noexpand
+                            \draw (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                -- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};
+                        }
+                    \fi
+                    \temp
+                    \edef\temp{\noexpand
+                        \draw[dashed,\colour] (\tlast, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) -- (0, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[label=left:$y_{\i}$](){};
+                    }
+                    \temp
+                    \edef\temp{\noexpand\addlegendentry{$y(t,t_{\i},y_{\i})$};}
+                    \temp
+                }
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Eulersches Polygonzugverfahren, Steigung der Tangenten ist $f(t,y)$}
+    \end{figure}
+    \begin{enumerate}[1)]
+        \item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^h)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt 
+        \[
+            \underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k]  
+        \]
+        Nach Konstruktion gilt für $t\in [t_{k-1},t_k]$:
+        \begin{align*}
+            y^h(t)-y_0 &= y^h(t)-y_{k-1}^h + y_{k-1}^h - y_{k-2}^h+ \dots + y_1^h-y_0^h\\
+            &= y^k(t)-y_{k-1}^h + \sum_{i = 1}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h)\\
+            &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = 1}^{k-1}h\cdot f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+            \implies \norm{y^h(t)-y_0}&\le (t-t_{k-1})\norm{f(t_{k-1},y_{k-1}^h)} + h \sum_{i = 1}^{k-1}\norm{f(t_{i-1},y_{i-1}^h)}\\
+            &\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\
+            &= (t-t_0)\cdot M\\
+            &\le T\cdot M\\
+            &= \min \left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\}\cdot M\\
+            &\le \beta
+        \end{align*}
+        Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$.
+        \item \begin{enumerate}[(a)]
+            \item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, \ t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.
+                \begin{figure}[h]
+                    \centering
+                    \begin{tikzpicture}[declare function={f1(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) + 10/(\x+2);
+                        f2(\x) = 0.5*(2)^(\x-1);
+                        f3(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 10/(\x+2);
+                        f4(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 20/(\x+2);}]
+                        \begin{axis}%
+                            [grid=none,
+                             %minor tick num=4,
+                             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                             axis lines=middle,
+                             %enlargelimits={abs=0.2},
+                             ymax=10, ymin=-1.5,
+                             xmin=1, xmax=6,
+                             xtick={2,3,4,5},
+                             ytick={1},
+                             xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},
+                             yticklabels={$y_0$},
+                             xlabel=$t$,
+                             ylabel=$x$,
+                            ]
+                            \addplot[domain=0:10,samples=50,smooth] {f2(x)};
+                            \draw (2,{f2(2)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                (3,{f2(3)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                (4,{f2(4)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
+                                (5,{f2(5)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};
+                            \draw[dashed,red] (2.4, {f2(2.4)}) -- (2.4, 0)
+                                node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t$}](){};
+                            \draw[dashed,red] (4.7, {f2(4.7)}) -- (4.7, 0)
+                                node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t'$}](){};
+                            \draw[dashed,blue] (3.2, {f2(3.2)}) -- (3.2, 0)
+                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};
+                            \draw[dashed,blue] (3.8, {f2(3.8)}) -- (3.8, 0)
+                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t'$}](){};
+                            \draw[dashed,black] (2, {f2(2)}) -- (0, {f2(2)})
+                                node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};
+                            %\draw[dashed,blue] (3, {f2(3)}) -- (0, {f2(3)}) node[label=left:$y_1$](){};
+                            %\draw[dashed,orange] (4, {f3(4)}) -- (0, {f3(4)}) node[label=left:$y_2$](){};
+                            %\draw[dashed,pink] (5, {f4(5)}) -- (0, {f4(5)}) node[label=left:$y_3$](){};
+                          \end{axis}
+                    \end{tikzpicture}
+                    \caption{Blau: erster Fall, Rot: zweiter Fall}
+                \end{figure}
+            \begin{itemize}
+                \item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$:
+                \begin{align*}
+                    y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
+                        &\quad - (y_{k-1}^h + (t'-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h))\\
+                    &= (t-t') f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
+                    \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} &\le |t-t'| \cdot M
+                \end{align*}
+                \item $t_j<t_k$: \begin{align*}
+                    y^h(t)-y^h(t') &= y^h(t) -y_{k-1}^h + y_{k-2}^h - \dots -y_{j-1}^h + y_{j-1}^h-y^h(t')\\
+                    &= y^h(t) - y_{k-1}^h + \sum_{i = j}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h) + y_{j-1}^h -y^h(t')\\
+                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+                    &\quad + (t_{j-1} -t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
+                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j+1}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+                    &\quad +hf(t_{j-1},y_{j-1}^h) + (t_{j-1}-t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
+                    &= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + h\sum_{i = j+1}^{k-1}f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
+                    &\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{t_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)
+                \end{align*}
+                Daraus folgt 
+                \[\norm{y^h(t)-y^h(t')}\le (t-t_{k-1})M + (t_{k-1}-t_j)M + (t_j-t')M\\
+                = |t-t'|M\]
+            \end{itemize}
+                Wählt man für ein beliebiges $\epsilon > 0$ also $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$ 
+                \[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\]
+                Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig).
+            \item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$
+            \begin{align*}
+                \norm{y^h(t)} &= \norm{y^h(t) - \smash[b]{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} + y_0}
+                \vphantom{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}}
+                \\
+                &\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\
+                &\le M\cdot T + \norm{y_0}
+            \end{align*}
+            Also ist $y^h$ gleichmäßig beschränkt.
+        \end{enumerate}
+        Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass
+        \[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\]
+        Offenbar ist $\graph(y)\subset D$.
+        \item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\]
+
+            Sei dazu $t \in [t_{k-1}, t_k] \subseteq I$, $y^{i}(t) \coloneqq y^{h_i}(t)$. Für
+            ein $i$ gilt
+            \begin{salign*}
+                y^{i}(t) \stackrel{\text{\ \ \ \ }}{=}& y_{k-1}^{i} + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                         =& y_{k-2}^{i} + (t_{k-1} - t_{k-2})f(t_{k-2}, y_{k-2}^{i})
+                         + (t - t_{k-1}) f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                        \vdots \; & \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} (t_j - t_{j-1}) f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})
+                         + (t-t_{k-1})f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) \d s
+                         + \int_{t_{k-1}}^{t} f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) \d s \\
+                         &+ \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \\
+                         =& y_0 + \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} (f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i})
+                         - f(s, y^{i}(s)) \d s \\
+                         &+ \int_{t_{k-1}}^{t} (f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s))) \d s
+                         + \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s
+                         \tageq \label{eq:peano:1}
+            .\end{salign*}
+            Die Funktionen der Folge $(y^{i})_{i \in \N}$ sind gleichgradig stetig, d.h.
+            $\forall i$, $\forall \epsilon' > 0$, $\exists \delta _{\epsilon'}$ s.d.
+            \[
+                |t-t'| < \delta_{\epsilon'} \implies \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'
+            .\]
+            Da $D$ kompakt, ist die stetige Funktion $f(t,x)$ auch gleichmäßig stetig. Damit folgt
+            $\forall \epsilon > 0$, $\exists \epsilon' < \epsilon$, $\exists \delta_{\epsilon'}$, s.d.
+            \[
+                |t-t'| < \delta_{\epsilon'}, \Vert y^{i}(t) - y^{i}(t') \Vert < \epsilon'
+                \implies \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(t', y^{i}(t')) \Vert < \epsilon
+            .\] Falls $h_i$ hinreichend klein folgt damit $\forall k$
+            \[
+                \max_{s \in [t_{k-1}, t_k]} \Vert f(t, y^{i}(t)) - f(s, y^{i}(s) \Vert \le \epsilon
+                \tageq \label{eq:peano:2}
+            .\] Damit folgt
+            \begin{salign*}
+                \left\Vert y^{i}(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y^{i}(s)) \d s \right\Vert
+                \kern -1mm \stackrel{\ref{eq:peano:1}}{=}&
+                \Bigg\Vert \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j}
+                \left( f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right)  \d s \\
+                &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \left( f(t_{k-1} y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \right) \d s
+                \Bigg\Vert \\
+                \le& \sum_{j=1}^{k-1} \int_{t_{j-1}}^{t_j} \Vert f(t_{j-1}, y_{j-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\
+                &+ \int_{t_{k-1}}^{t} \Vert f(t_{k-1}, y_{k-1}^{i}) - f(s, y^{i}(s)) \Vert \d s \\
+                \stackrel{\ref{eq:peano:2}}{\le}& \sum_{j=1}^{k-1} \epsilon \int_{t_{j-1}}^{t_j}  \d s
+                + \epsilon \int_{t_{k-1}}^{t}  \d s \\
+                =& \epsilon |t - t_0|
+                \intertext{Damit folgt}
+                \Bigg\Vert \underbrace{y^{i}(t)}_{\xrightarrow{i \to \infty} y(t)} - y_0
+                - \int_{t_0}^{t} \underbrace{f(s, y^{i}(s))}_{\xrightarrow{i \to \infty} f(s, y(s))} \d s
+                \Bigg\Vert
+                \kern -1mm \le& \epsilon |t-t_0|
+                \intertext{Also folgt}
+                \left\Vert y(t) - y_0 - \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s \right\Vert \kern -1mm\le& \epsilon |t-t_0|
+            .\end{salign*}
+            Da $\epsilon$ beliebig ist, folgt damit
+            \[
+                y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s)) \d s 
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\end{document}

ana17.tex

@@ -0,0 +1,273 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{bem}[Bedeutung des Existenzsatz von Peano]
+    Für die lokale Lösbarkeit des Systems $y' = f(t,y)$ reicht
+    die Stetigkeit der rechten Seite. Aber auch wenn $f(t,y)$ auf einem
+    Streifen $[a,b] \times \R^{n}$ stetig ist, kann nicht erwartet werden, dass die Lösung
+    der AWA im Intervall $[a,b]$ definiert ist.
+
+    Zum Beispiel: $y' = 1 + y^2$. $f(t,y) = 1 + y^2$ ist stetig auf $\R \times \R$. Als Lösung
+    folgt $y = \tan(t + c)$, denn
+    \begin{align*}
+        y' = \frac{1}{\cos^2(t+c)} = \frac{\cos^2(t+c) + \sin^2(t+c)}{\cos^2(t+c)}
+        = 1 + \tan^2(t+c) = 1 + y^2
+    .\end{align*}
+    Das heißt Lösungen sind nur in Intervallen der Länge $\pi$ definiert. Der Satz von Peano
+    macht eine Aussage über die Größe des Existenzintervalls (die nur von Stetigkeitseigenschaften
+    von $f(t,x)$ abhängig ist).
+\end{bem}
+\begin{figure}[h]
+    \label{fig:tan-dgl-solution}
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}%
+            [default 2d plot,
+             ymax=4,
+             ymin=-4,
+             xmin=-4,
+             xmax=4,
+             xtick={-3.14, -1.57, 0, 1.57, 3.14},
+             xticklabels={$\pi$, $-\frac{\pi}{2}$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$}
+            ]
+            \addplot[domain=1.58:4.70,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+            \addplot[domain=-1.56:1.56,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+            \addplot[domain=-4.72:-1.58,samples=100,smooth,red] {tan(deg(x))};
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Lösung $y = \tan(t+c)$ nur in Intervallen der Länge $\pi$ definiert.}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}[Fortsetzungssatz]
+    Sei $f(t,x)$ stetig auf $D \subseteq \R \times \R^{n}$, $D$ abgeschlossen und $(t_0, y_0) \in D$.
+    Sei weiter $y(t)$ Lösung der AWA für $t \in [t_0 - T, t_0 + T]$.
+
+    Dann ist $y$ nach rechts und links auf ein maximales Existenzintervall $I_{\text{max}} = (t_0 - T^{*}, t_0 + T^{*})$
+    bis zum Rand von $D$ (stetig diff'bar) fortsetzbar.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Wiederholte Anwendung des Satz von Peano (siehe R.R. S. 111).
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Die maximal fortgesetzten Lösungen nach links und rechts laufen bis der Graph von $y$ an
+    den Rand von $D$ stößt. Dabei ist es möglich, dass
+    \[
+        \text{Graph}(y) = \{ (t, y(t)) , t \in I_{\text{max}}\}
+    \] unbeschränkt ist, weil $t \to t_0 + T^{*} = \infty$ oder
+    $\Vert y(t) \Vert \xrightarrow{t \to t_0 + T^{*}} \infty$.
+
+    \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = tan(deg(\x-2));}]
+            \begin{axis}%
+                [default 2d plot,
+                 grid=none,
+                 ymax=4,
+                 ymin=-4,
+                 xmin=0,
+                 xmax=4,
+                 xtick=\empty, ytick=\empty,
+                ]
+                \addplot[domain=0.56:3.56,samples=100,smooth,red] {f(x)};
+                \draw[dashed] (0.56, 5) -- (0.56, -5);
+                \draw[dashed] (3.45, 5) -- (3.45, -5);
+                \draw (2.56, {f(2.56)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (2.56, {f(2.56)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=10mm, minimum height=7mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (2.85, {f(2.85)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (2.85, {f(2.85)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=9mm, minimum height=7mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.02, {f(3.02)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (3.02, {f(3.02)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=6mm, minimum height=6mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.12, {f(3.12)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (3.12, {f(3.12)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=5mm, minimum height=5mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.18, {f(3.18)}) node[fill,inner sep=1pt]{};
+                \draw (3.18, {f(3.18)}) node[draw,shape=rectangle,minimum width=4mm, minimum height=4mm,
+                    anchor=center] {};
+                \draw (3.65, -4) node{$\partial D$};
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Schrittweise Fortsetzung einer Lösung bis zum Rand von $D$}
+    \end{figure}
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}[Globale Existenz]
+    Sei $f(t,x)$ auf ganz $\R \times \R^{n}$ definiert und stetig. Seien alle lokalen Lösungen
+    $y(t)$ beschränkt durch eine stetige Funktion $\rho\colon \R \to \R$ mit
+    \[
+        \Vert y(t) \Vert \le \rho(t), \quad t \in [t_0 - T, t_0 + T]
+    .\] Dann ist $y$ fortsetzbar auf ganz $\R$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Wegen der Schranke, kann keine lokale Lösung auf einem beschränkten Zeitintervall
+    einen unbeschränkten Graphen haben. Also ist $y$ fortsetzbar auf ganz $\R$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Regularitätssatz]
+    Sei $y$ eine Lösung der AWA $y' = f(t,y)$ auf dem Intervall $I$ und
+    sei $f \in C^{m}(D)$ mit $m \ge 1$. Dann gilt $y \in C^{m+1}(I)$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Da $y(t)$ Lösung, folgt
+    \[
+        y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s)) \d s, \quad t \in I
+    .\] Sei nun $f \in C^{1}(D)$. Dann ist $y$ zweimal stetig differenzierbar
+    mit
+    \begin{align*}
+        y''(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t, y(t))
+        = \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} f(t, y(t))}_{\text{stetig}}
+        + \underbrace{\frac{\partial}{\partial y} f(t, y(t))}_{\text{stetig}}
+        \underbrace{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}_{= f \text{ also stetig}}
+    .\end{align*}
+    Durch Wiederholung dieses Arguments folgt $y \in C^{m+1}$ falls $f \in C^{m}(D)$ ist.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    Was kann passieren, falls $f(t,x)$ nicht stetig ist? Beispiel: Coulomb Reibung. Sei
+    $c > 0$ und $v(0) = v_0$.
+    \begin{align*}
+        \dot{s} &= v \\
+        \dot{v} &= -c \cdot \text{sign}(v)
+    .\end{align*}
+    Lösung: $v(t) = v_0 - ct$. Lösungen der DGL existieren ab $t = \frac{v_0}{c}$ nicht.
+    Abhilfe: Philipov Regel (siehe Literatur).
+    \begin{figure}[h]
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = -2;}]
+            \begin{axis}%
+                [%minor tick num=4,
+                 %grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                 %major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                 axis lines=middle,
+                 legend pos=outer north east,
+                 %enlargelimits={abs=0.2},
+                 %ymax=5,
+                 %ymin=0
+                 width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot
+                 axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
+                 view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up
+                 xmin=0, xmax=2, % Axis limits
+                 ymin=-1.1, ymax=1.1,
+                 domain=0:2, y domain=-1:1, % Domain over which to evaluate the functions
+                 xtick=\empty, ytick={1}, % Tick marks
+                 xticklabels={$t_0$},
+                 yticklabels={$v_0$},
+                 xlabel=$t$,
+                 ylabel=$v$,
+                 samples=7, % How many arrows?
+                ]
+                \addplot3[
+                    y domain=1:0.1,
+                    gray,
+                    quiver={
+                        u={1}, v={-2}, % End points of the arrows
+                        scale arrows=0.1,
+                        every arrow/.append style={
+                            -latex % Arrow tip
+                        },
+                    }] (x,y+0.1,0);
+                \addplot3[
+                    forget plot,
+                    y domain=-1:-0.1,
+                    gray,
+                    quiver={
+                        u={1}, v={2}, % End points of the arrows
+                        scale arrows=0.1,
+                        every arrow/.append style={
+                            -latex % Arrow tip
+                        },
+                    }] (x, y-0.1,0);
+                \addlegendentry{$f(t,v) = - c \cdot \text{sign}(v)$}
+                \addplot[blue, domain=0:1] {2 - 2*x};
+                \addlegendentry{$v^{(1)}(t) = - c + v_0^{(1)}$}
+                \addplot[forget plot, blue, domain=0:0.5] {1 - 2*x};
+                \addplot[red, domain=0:0.75] {-1.5 + 2*x};
+                \addlegendentry{$v^{(2)}(t) = + c + v_0^{(2)}$}
+              \end{axis}
+        \end{tikzpicture}
+        \caption{Mögliche Lösungen der DGL $\dot{v} = - c \cdot \text{sign}(v)$ mit
+        $v_0^{(1)} > 0$ und $v_0^{(2)} < 0$. Ab $t = \frac{v_0}{c}$ existiert keine Lösung.}
+    \end{figure}
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Uneindeutigkeit von AWA]
+    Sei $y' = f(t,y) \coloneqq \sqrt{|y(t)|}$ mit $y(t_0) = y_0$. Es
+    ist $f(t,y)$ stetig auf $\R \times \R$.
+
+    Für $y_0 \ge 0$ gilt $\forall t_0 \in \R$:
+    \begin{align*}
+        y(t) &= \frac{(t-t_0 + 2 \sqrt{y_0})^2}{4} \qquad t_0 - 2 \sqrt{y_0} \le t < \infty
+        \intertext{Für $y_0 \le 0$ gilt $\forall t_0 \in \R$:}
+        y(t) &= - \frac{(t-t_0 - 2 \sqrt{-y_0})^2}{4} \qquad -\infty < t \le t_0 + 2 \sqrt{-y_0}
+        \intertext{Für $y_0 = 0$ ist jedoch $\forall t_0 \in \R$ auch}
+        y(t) &= 0
+    .\end{align*}
+    eine Lösung der AWA.
+
+    Falls $y_0 > 0$ oder $y_0 < 0$ ist $y(t; t_0, y_0)$ eindeutig bestimmt, aber für $y(t_0) = 0$
+    existieren unendlich viele Lösungen.
+    
+    \begin{figure}[h]
+        \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}%
+                    [default 2d plot,
+                     grid=none,
+                     ymax=10,
+                     ymin=-10,
+                     xmin=-10,
+                     xmax=20,
+                     xtick={6}, ytick={4,-4},
+                     yminorticks=false,
+                     minor tick style={draw=none},
+                     xticklabels={$t_0$}, yticklabels={$y_0$, $y_0$}
+                    ]
+                    \addplot[domain=2:10,samples=100,smooth,red] {((x-6+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-10:10,samples=100,smooth,blue] {-((x-6-4)^2)/4};
+                    \addplot[dashed,domain=10:20,samples=100,smooth,red] {((-(x-6)+4)^2)/4};
+                    \addplot[dashed,domain=-10:2,samples=100,smooth,blue] {-((x-6+4)^2)/4};
+                  \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Lösungen für $y_0 > 0$ (rot) bzw. $y_0 < 0$ (blau) und ihre Fortsetzungen.}
+        \end{subfigure}
+        \begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}%
+                    [default 2d plot,
+                     grid=none,
+                     ymax=10,
+                     ymin=-10,
+                     xmin=-10,
+                     xmax=20,
+                     xtick={6}, ytick=\empty,
+                     xticklabels={$t_0$}
+                    ]
+                    \addplot[domain=-2:14,samples=100,smooth,orange] {0};
+                    \addplot[domain=14:20,samples=100,smooth,orange] {((x-18+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:-2,samples=100,smooth,orange] {-((x+6-4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=2:10,samples=100,smooth,blue] {0};
+                    \addplot[domain=10:20,samples=100,smooth,blue] {((x-14+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:2,samples=100,smooth,blue] {-((x+2-4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=4:8,samples=100,smooth,red] {0};
+                    \addplot[domain=8:20,samples=100,smooth,red] {((x-12+4)^2)/4};
+                    \addplot[domain=-20:4,samples=100,smooth,red] {-((x-4)^2)/4};
+                    %\addplot[dashed,domain=10:20,samples=100,smooth,red] {((-(x-6)+4)^2)/4};
+                    %\addplot[dashed,domain=-10:2,samples=100,smooth,blue] {-((x-6+4)^2)/4};
+                  \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Für $y_0 = 0$ existieren beliebig viele zusammengesetzte Lösungen.}
+        \end{subfigure}
+        \caption{Zur Uneindeutigkeit von AWA}
+    \end{figure}
+
+    Beobachtung: $f(t,x)$ ist stetig auf $\R \times \R$, aber $f(t,x)$ ist nicht Lipschitz stetig
+    in $(t,0)$ $\forall t \in \R$.
+\end{bsp}
+
+\end{document}

ana5.tex

@@ -70,8 +70,7 @@
         \item Für $K_1(0)$ gilt
             \begin{align*}
                 \partial K_1(0) &= \partial \{x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert < 1\} \\
-                                &= \;\; \{ x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert = 1 \} \\
+                                &= \;\; \{ x \in \R^{n}  \mid \Vert x \Vert = 1 \} \quad \quad \text{\glqq Einheitssphäre\grqq}
-                                & \quad \quad \text{\grqq Einheitssphäre\glqq}
             .\end{align*}
         \item $\Q \subset \R$, $\partial \Q = \R$, weil in jeder Umgebung eines Punktes in
             $\Q$, gibt es rationale und irrationale Zahlen. Der Rand von $\R$ ist leer.

analysisII.tex

@@ -38,5 +38,7 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 \input{ana13.tex}
 \input{ana14.tex}
 \input{ana15.tex}
+\input{ana16.tex}
+\input{ana17.tex}
 
 \end{document}

lecture.cls

@@ -26,9 +26,20 @@
 \RequirePackage{wasysym}
 \RequirePackage{environ}
 \RequirePackage{stackrel}
+\RequirePackage{subcaption}
 
-\usetikzlibrary{quotes, angles}
+\usetikzlibrary{quotes, angles, math}
-\pgfplotsset{compat=1.15} % or \pgfplotsset{compat=newest}
+\pgfplotsset{
+    compat=1.15,
+    default 2d plot/.style={%
+        grid=both,
+        minor tick num=4,
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+        axis lines=middle,
+        enlargelimits={abs=0.2}
+    },
+}
 
 \geometry{
     bottom=35mm
@@ -250,3 +261,5 @@
 
 \ExplSyntaxOff
 
+% add one equation tag to the current line to otherwise unnumbered environment
+\newcommand{\tageq}{\stepcounter{equation}\tag{\theequation}}