fix another typo

ana1.tex

@@ -333,7 +333,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}[Integration von Potenzreihen]
+\begin{korollar}[Integration von Potenzreihen]
     Es sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}$ eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho > 0$.
     Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall
     $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt
@@ -341,7 +341,7 @@ Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^
         \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}
         \Big|_{a}^{b}
     .\] 
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
     Nur die gleichmäßige Konvergenz für $| x - x_0| \le r$ ist zu beweisen: Für $|x - x_0| \le r$, $r < \rho$ gilt:

ana10.tex

@@ -126,7 +126,7 @@ Frage: Unter welchen Bedingungen konvergiert die Fixpunktiteration?
     eine Lösung $x^{*} = A^{-1}b$. Sei $g(x) \coloneqq x - \sigma (Ax - b)$ mit
     $\sigma \in \mathbb{K} \setminus \{0\} $.
 
-    Fixpunktiteration $x^{(k)} = x^{(k-1)} - \sigma (Ax^{(k-1}) - b)$, $k \in \N$ konvergiert, wenn
+    Fixpunktiteration $x^{(k)} = x^{(k-1)} - \sigma (Ax^{(k-1)} - b)$, $k \in \N$ konvergiert, wenn
     $g$ kontraktiv ist. Zum Beispiel in $\ell_2$:
     \begin{align*}
         \Vert g(x) - g(y) \Vert_2 &= \Vert x - \sigma(Ax - b) - y + \sigma(Ay -b)\Vert_2 \\

ana12.tex

@@ -4,7 +4,7 @@
 \newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
 
 \section{Totale Differenzierbarkeit}
-Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ ,,gut`` linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 (f'(x) = a)$.
+Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $x\in D$ differenzierbar, falls $f$ in $x$ ,,gut`` linear approximierbar ist, d.h. $\exists a\in \R$ mit $f(x + h) = f(x) + a\cdot h + w(h)$ wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{w(h)}{|h|} = 0 \ (f'(x) = a)$.
 
 \begin{definition}[total differenzierbar]
     Es sei $D\subset \R^n$ offen und $f\colon D \to \R^m$ eine Abbildung. $f$ heißt im Punkt $x\in D$ \underline{(total) differenzierbar}, falls es eine lineare Abbildung $A \colon \R^n \to \R^m$ gibt, sodass 
@@ -18,7 +18,7 @@ Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $
     ,\] wobei $\lim\limits_{h\to 0} \frac{\norm{\omega(h)}}{\norm{h}} = 0 \;(\Leftrightarrow (\ref{eq:diffbar}), \Leftrightarrow \omega(h) = o(\norm{h}))$. Da alle Normen auf $\R^m$ äquivalent sind, ist es gleichgültig, welche Norm man in (\ref{eq:diffbar}) verwendet.
 
     $A$ heißt das \underline{Differential} von $f$ im Punkt $x$. 
-    Schreibweise: \[\d f(x),\; \d f\bigg|_x,\; \d f_x,\; Df(x),\; Df\bigg|_x,\; Df_x,\; \d f(x)\bigg|_{x = x_0},\; Df(x_0).\]
+    Schreibweise: \[\mathrm{d} f(x),\; \mathrm{d} f\Big|_x,\; \mathrm{d} f_x,\; Df(x),\; Df\Big|_x,\; Df_x,\; \mathrm{d} f(x)\Big|_{x = x_0},\; Df(x_0).\]
 \end{definition}
 \begin{bem}
     Für $n=m=1$ ist die Definition der totalen Ableitung äquivalent zur Definition der Ableitung von Funktionen einer Variablen. 
@@ -67,9 +67,9 @@ Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $
         Also ist $f$ differenzierbar und $Df(x) = \nabla^Tf(x)$.
         \end{enumerate}
 \end{proof}
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
     stetig partiell differenzierbar $\implies$ (total) differenzierbar $\implies$ partiell differenzierbar. Die umgekehrten Implikationen gelten im Allgemeinen nicht.
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 \begin{lemma}[Richtungsableitung]\label{lemma:richtungsableitung}
     Sei $D\in \R^n$ offen, $f \colon D \to \R$ im Punkt $x\in D$ differenzierbar. Dann gilt $\forall v \in \R^n$ mit $\norm{v}_2 = 1$ existiert die Ableitung in Richtung $v$ (sog. \underline{Richtungsableitung})
     \[\pdv{f}{v}(x) \coloneqq \lim\limits_{t\searrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\] und \[\pdv{f}{v}(x) = (\nabla f(x), v)_2\]
@@ -87,11 +87,11 @@ Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $
         &= (\nabla f(x),v)_2
     \end{salign*}
 \end{proof}
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
-    Sei $\nabla f(X) \neq 0$. Dann ist der Winkel $\theta$ zwischen zwei Vektoren $v\in \R^n$ und $\nabla f(x) \in \R^n$ definiert durch \[\cos(\theta) = \frac{(\nabla f(x), v)_2}{\norm{\nabla f(x)}_2\cdot \norm{v}_2}.\]
+    Sei $\nabla f(x) \neq 0$. Dann ist der Winkel $\theta$ zwischen zwei Vektoren $v\in \R^n$ und $\nabla f(x) \in \R^n$ definiert durch \[\cos(\theta) = \frac{(\nabla f(x), v)_2}{\norm{\nabla f(x)}_2\cdot \norm{v}_2}.\]
     Damit gilt für $\norm{v}_2 = 1$ \[\pdv{f}{v}(x) \oldstackrel{\text{Lemma } \ref{lemma:richtungsableitung}}{=} (\nabla f, v)_2 = \norm{\nabla f(x)}_2 \cdot \norm{v}_2 \cdot \cos(\theta) \oldstackrel{\norm{v}_2 =1}{=} \norm{\nabla f(x)}_2 \cdot \cos(\theta)\]
-    $\pdv{f}{v}(x)$ wird maximal, wenn $\cos(\theta) = 1 \implies v$ und $\nabla f(x)$ die gleiche Richtung haben: d.h. Der Vektor $\nabla f(x)$ ist die Richtung des stärksten Anstiegs von $f$ im Punkt $x$.
+    $\pdv{f}{v}(x)$ wird maximal, wenn $\cos(\theta) = 1$, also wenn $v$ und $\nabla f(x)$ die gleiche Richtung haben: d.h. der Vektor $\nabla f(x)$ ist die Richtung des stärksten Anstiegs von $f$ im Punkt $x$.
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 \begin{bem}
     \begin{enumerate}
         \item Es gibt Funktionen, für welche alle Richtungsableitungen existieren, die aber dennoch nicht (total) differenzierbar sind.
@@ -143,8 +143,8 @@ Erinnerung (Analysis 1) $f \colon D \to \R,\; D \subset \R$, ist genau dann in $
     + \lim\limits_{\xi\to 0} \frac{\norm{\omega_f(\eta)}}{\norm{\xi}} = 0\]
 \end{proof}
 \begin{bem}[Komponentenweise für $i = 1,\dots,m$ und $j = 1, \dots, r$]
-    \[D_xh(x) = D_yf(y) D_xg(x) \Leftrightarrow \underbrace{\pdv{h_j}{x_i}(x)}_{\partial_i(f\circ g)_j} = \sum_{i = 1}^{n} \pdv{f_j}{y_k}(g_1(x)\dots, g_n(x))\cdot \pdv{g_k}{x_i}(x_1, \dots, x_m)\]
+    \[D_xh(x) = D_yf(y) D_xg(x) \Leftrightarrow \underbrace{\pdv{h_j}{x_i}(x)}_{\partial_i(f\circ g)_j} = \sum_{k = 1}^{n} \pdv{f_j}{y_k}(g_1(x),\dots, g_n(x))\cdot \pdv{g_k}{x_i}(x_1, \dots, x_m)\]
-    Spezialfall: $m = r = 1 (g \colon D_g \subset \R \to \R^n),\; f\colon D_f\in \R^n \to \R$
+    Spezialfall: $m = r = 1 \ (g \colon D_g \subset \R \to \R^n,\; f\colon D_f\subset    \R^n \to \R)$
     \[h'(x) = \dv{}{x} h(x) = \dv{}{x} f(g(x)) = \sum_{k = 1}^{n} \pdv{f}{y_k}\ (g_1(x), \dots, g_n(x))\cdot \dv{}{x} g_k (x) = (\nabla_yf(g(x)), g'(x))_2\]
 \end{bem}
 \end{document}

ana13.tex

@@ -0,0 +1,151 @@
+\documentclass{lecture}
+\begin{document}
+\newcommand{\pdv}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
+\newcommand{\dv}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
+
+\section{Mittelwertsatz}
+\begin{bem}
+	Reminder:
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Ist $f: [a,b] \to \R$ differenzierbar, dann gilt (HDI):
+				\begin{salign*}
+					f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \dv{}{s} f(x+sh) \d{s} &\stackrel{\text{Kettenregel}}{=}  \int_{0}^{1} f'(x+sh) \cdot h \d{s} \\ &= \left( \int_{0}^{1} f'(x+sh) \d{s} \right) \cdot h.
+				\end{salign*}
+.		\item 	Mittelwertsatz der Differentialrechnung: $\exists \tau \in (0,1)$ sodass:
+				\begin{salign*}
+					f(x+h) - f(x) = f'(x+ \tau h) \cdot h.
+				\end{salign*}
+		\item 	Sei $A = \left(a_{i,j} \right)_{i,j = 1}^{m,n} : [a,b] \to \R^{m \times n}$. Dann sei:
+				\begin{salign*}
+					\int_{a}^{b} A(s) \d{s} \coloneqq \left( \int_{a}^{b} a_{i,j}(s) \d{s} \right)_{i,j=1}^{m,n}
+				\end{salign*}
+	\end{enumerate}
+\end{bem}
+\begin{satz}[Mittelwertsatz]
+	Seien $D \in \R^{n}$ offen, $f: D \to \R$ stetig differenzierbar, sei $x \in D$ und $h \in \R^{n}$ sodass $x + sh \in D$, für $s \in [0,1]$. Dann gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) = \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}, h \right)_{2} = \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}\right)^{T} \cdot h.
+	\end{salign*}	 	
+	Sei $f: D \to \R^{m}$ stetig differenzierbar, mit Jacobi-Matrix $J_{f}(x)$, dann gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) = \left( \int_{0}^{1} J_{f}(x + sh) \d{s} \right) h.
+	\end{salign*}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+	Sei $f: D \to \R^{m}$. Sei $g_{j}\colon [0,1] \to \R ,g_{j}(s) \coloneqq f_{j}(x+sh)$. Dann gilt:
+	\begin{salign*}
+		f_{j}(x+h) - f_{j}(x) = g_{j}(1) - g_{j}(0) & \ \ \stackrel{\text{MWS}}{=} \ \ \int_{0}^{1} g_{j}'(s) \d{s}  \ \ \ \ \stackrel{\text{Kettenregel}}{=} \ \ \ \ \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f_j}{x_{i}}(x+sh) \cdot h_{i} \d{s}.
+	\end{salign*}
+	Ist $m = 1$, so gilt:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) &= \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} \pdv{f}{x_{i}}(x+sh) \d{s} \cdot h_{i} = \sum_{i=1}^{n} \left( \int_{0}^{1} \pdv{f}{x_{i}}(x+sh) \d{s} \right) \cdot h_{i} \\ &= \left( \int_{0}^{1} \nabla f(x+sh) \d{s}, h\right)_{2}
+	\end{salign*}
+	Ist $m \geq 2$, so gilt analog zu oben:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) = \left( \int_{0}^{1} J_{f}(x+sh) \d{s} \right) \cdot h.
+	\end{salign*}
+\end{proof}
+\begin{bem}
+	Für $m = 1$, d.h. $f: \R^{n} \supset D \to \R$ gilt sogar für ein bestimmtes $\tau \in (0,1)$:
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) = \int_{0}^{1} \left( \nabla^{T} f(x+sh) \cdot h \right)\d{s} = \nabla^{T} f(x+\tau h) \cdot h.
+	\end{salign*}
+	Für $m \geq 2$ im Allgemeinen aber (da $\tau \in [0,1]$ nicht für alle Komponenten gleich gewählt werden kann):
+	\begin{salign*}
+		f(x+h) - f(x) \neq J_{f}(x + \tau h) \cdot h.
+	\end{salign*}
+\end{bem}
+\begin{lemma} 
+    \label{lemma:dreieck-integrale}
+	Seien $v: [a,b] \to \R^{n}$ und $A: [a,b] \to \R^{m \times n}$ stetig. Dann gilt:
+	\begin{salign*}
+		\norm{\int_{a}^{b} v(s) \d{s} }_{2} \leq \int_{a}^{b} \norm{v(s)}_{2} \d{s}, && \norm{\int_{a}^{b} A(s) \d{s} }_{2} \leq \int_{a}^{b} \norm{A(s)}_{2} \d{s}
+	\end{salign*}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+	Sei $u \in \R^{n}$, $u = \int_{a}^{b} v(s) \d{s} = \begin{pmatrix}
+            \int_{a}^{b} v_{1}(s) \d{s} \\ \vdots \\ \int_{a}^{b} v_{n}(s) \d{s}
+        \end{pmatrix}$ und $K = \norm{u}_{2}$. Dann gilt:
+        \begin{salign*}
+        		K^{2} &\stackrel{\ell_{2} \text{Norm}}{=} \left(u,u\right)_{2} = \left( \int_{a}^{b} v(s) \d{s}, u\right)_{2} = \int_{a}^{b} \left(v(s), u\right)_{2} \d{s} \\
+        		&\stackrel{\text{CSU}}{\leq} \int_{a}^{b} \norm{v(s)}_{2} \cdot \norm{u}_{2} \d{s} = K \cdot \int_{a}^{b} \norm{v(s)}_{2} \d{s} \\ \hfill \\
+        		\implies \ & K = \norm{\int_{a}^{b} v(s) \d{s} }_{2} \leq \int_{a}^{b} \norm{v(s)}_{2} \d{s}.
+        \end{salign*}
+        Der Beweis für $A(s)$ folgt ganz analog mit $u = \int_{a}^{b} A(s) \d{s} \in \R^{m \times n}$. 
+\end{proof}
+\begin{definition}
+	$D \subset \mathbb{K}^{n}$ heißt \underline{konvex}, genau dann wenn: für alle $x,x' \in D$ und für alle $\lambda \in [0,1]$ gilt $\lambda \cdot x + (1-\lambda)x' \in D$. \\
+	Geometrisch: für zwei Punkte in $D$ liegt die Verbindungsstrecke der beiden Punkte stets ganz in $D$.
+\end{definition}
+\begin{korollar}
+	Seien $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{n}$ stetig differenzierbar. Sei $x \in D$ und $\varepsilon > 0$ sodass $K_{\varepsilon}(x) \subset D$. Dann gilt:
+	\begin{salign*}
+		\norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall y \in K_{\varepsilon}
+	\end{salign*}
+	mit $M \coloneqq \sup_{z \in K_{\varepsilon}(x)} \norm{J_{f}(z)}_{2}$, das heißt $f$ ist lokal Lipschitz-stetig. \\
+	Sei $D$ konvex, dann gilt 
+	\begin{salign*}
+		\norm{f(y) - f(x)}_{2} \leq M \cdot \norm{y-x}_{2} \ \ \ \ \ \forall x,y \in D
+	\end{salign*}
+	mit $M \coloneqq \sup_{z \in D} \norm{J_{f}(z)}_{2}$, das heißt $f$ ist auf $D$ Lipschitz-stetig.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Aus Lemma \ref{lemma:dreieck-integrale} folgt:
+	\begin{salign*}
+        \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+sh) h \d{s} }_{2} &\leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh) h}_{2} \d{s} \\ & \leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \norm{h}_{2} \d{s} \\ &\leq \sup_{0<s<1} \norm{J_{f}(x+sh)}_{2} \cdot \norm{h}_{2} \\ \hfill \\ \implies \ & \norm{f(x+h) - f(x)}_{2} = \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+sh)h \d{s}}_{2} \leq M \cdot \norm{x+h-x}_{2}.
+	\end{salign*}
+	Sei $D$ nun konvex. Für $x,y \in D$ gilt dann: $$z = ty + (1-t)x = x + t(y-x) \in D, \ \ \ \ \ t \in [0,1].$$
+	Sei $g(t) \coloneqq f(x+ t(y-x))$ für $t \in [0,1]$. Dann gilt für $i \in \{1,...,m\}$:
+	\begin{salign*}
+		f_{i}(y) - f_{i}(x) = g_{i}(1) - g_{i}(0) = \int_{0}^{1} g_{i}'(s) \d{s} = \int_{0}^{1} \sum_{j=1}^{n} \pdv{f_{i}(x+s(y-x))}{x_{j}}(y_{i}-x_{i}) \d{s}.
+	\end{salign*}
+	Und damit in Vektorform:
+	\begin{salign*}
+		\norm{f(y) - f(x)}_{2} &= \norm{\int_{0}^{1} J_{f}(x+s(y-x)) \cdot (y-x) \d{s}}_{2} \\ 
+        &\stackrel{\text{Lemma \ref{lemma:dreieck-integrale}}}{\leq} \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+s(y-x)) \cdot (y-x)}_{2} \d{s} \\
+		&\leq \int_{0}^{1} \norm{J_{f}(x+s(y-x))}_{2} \cdot \norm{y-x}_{2} \d{s} \\ 
+		&\leq \sup_{0<s<1} \norm{J_{f}(x+s(y-x))}_{2} \cdot \norm{y-x}_{2} \\
+		&\stackrel{D \ \text{konvex}}{\leq} \sup_{z \in D} \norm{J_{f}(z)}_{2} \cdot \norm{y-x}_{2} \\
+        &= M \cdot \norm{y-x}_{2}.
+	\end{salign*}	
+\end{proof}
+\begin{bem}
+	Obige Lipschitz-Konstante liefert eine Abschätzung für die Ableitungen/Jacobi-Matrix von $f$. 
+\end{bem}
+
+\section{Taylor-Entwicklung}
+\begin{bem}
+	Reminder - Höhere Ableitungen:
+	\begin{enumerate}[(1)]
+		\item 	Sei $D \subset \R^{n}$ offen, $f: D \to \R^{m}$ partiell differenzierbar. Seien alle partiellen Ableitungen $$\partial_{i}f: D \to \R^{m}, \ \partial_{i}f = \begin{pmatrix}
+			\partial_{i} f_{1} \\ \vdots \\ \partial_{i}f_{m}
+		\end{pmatrix}, \ \ \ \partial_{i}f = \pdv{}{x_{i}} f$$ wieder partiell differenzierbar. Dann ist $f$ zweimal differenzierbar auf $D$ \ (mit Ableitungen $\partial_{j}\partial_{i}f, \ i,j \in \{1,...,n\}$). \\ Allgemein: (induktiv) $f: D \to \R^{m}$ ist $(k+1)$-mal partiell differenzierbar, wenn $f$ $k$-mal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen $k$-ter Ordnung $\partial_{i_{k}}\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f$
+        \ ($i_{k},...,i_{1} \in \{1,...,n\}$) partiell differenzierbar sind.
+		\item 	$f: D \to \R^{m}$ ist $k$-mal stetig partiell differenzierbar, wenn $f$ \ $k$-mal differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der $k$-ten Ordnung stetig sind ($f \in C^{k}(D,\R^{m})$).
+		\item 	Es gilt:
+				\begin{salign*}
+					f \in C^{1}(D,\R^{m}) \ \ \ &\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f: D \to \R^{m} \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,...,n\} \\
+					&\Longleftrightarrow \ \ \ \partial_{i}f_{k}: D \to \R \ \text{ist stetig} \ \forall i \in \{1,...,n\}, k \in \{1,...,m\} \\
+					&\Longleftrightarrow \ \ \ f \ \text{ist total differenzierbar in} \ D \ \text{und} \ x \mapsto J_{f}(x) = (\partial_{i}f_{k})_{i,k} \ \text{stetig}
+				\end{salign*}
+		\item 	Ist $f \in C^{k}(D,\R^{m})$, dann sind die Ableitungen der $k-1$-ten Ordnung $\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f: D \to \R^{m}$ total differenzierbar, weil stetig partiell differenzierbar. Also ist $\partial_{i_{k-1}}...\partial_{i_{1}}f$ stetig und damit sind alle Ableitungen $k-1$-ter Ordnung stetig. Ananolg folgt induktiv, dass alle Ableitungen $j$-ter Ordnung mit $j\leq k$ stetig auf $D$ sind.
+		\item 	Seien $D \subset \R^{m}$ offen, $f: D \to \R^{m}$. Existieren $\partial_{i}f, \partial_{j}f$ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ auf $D$ \ ($i,j \in \{1,...,n\}$) \ und $\partial_{j}\partial_{i}f$ stetig in $a \in D$. Dann existiert $\partial_{i}\partial_{j}f$ und es gilt $$ \partial_{i}\partial_{j}f(a) = \partial_{j}\partial_{i}f(a).$$
+		\item 	Seien $D \subset \R^{m}$ und $f \in C^{k}(D, \R^{m})$. Sei $\pi \in \mathcal{S}_{k}$ eine Permutation, dann gilt: $$ \partial_{i_{k}}...\partial_{i_{1}}f = \partial_{i_{\pi(k)}}...\partial_{i_{\pi(1)}}f, \ \ \ \ \ \ \ \forall i_{1},...,i_{k} \in \{1,...,n\}.$$
+	\end{enumerate}
+	Reminder - Taylor-Entwicklung in $\R$:
+	\begin{enumerate}[(1)]
+        \item 	Sei $f: (a,b) \to \R$ \ $(r+1)$-mal stetig differenzierbar. Dann gilt:
+				\begin{salign*}
+					f(x+h) = \sum_{k=0}^{r}  \frac{f^{(k)}(x)}{k!} h^{k} + R_{r+1}^{f}(x,h).
+				\end{salign*}
+		\item 	Für das Restglied in Lagrange-Form gilt ($\theta \in (0,1)$):
+				\begin{salign*}
+					R_{r+1}^{f}(x,h) = \frac{f^{(r+1)}(x+\theta h) }{(r+1)!} h^{r + 1}.
+				\end{salign*}
+		\item 	Für das Restglied in Integral-Form:
+				\begin{salign*}
+					R_{r+1}^{f}(x,h) = \frac{h^{r+1}}{r!} \int_{0}^{1} f^{(r+1)}(x+th)(1-t)^{r} \d{t}
+				\end{salign*}
+	\end{enumerate}
+\end{bem}
+\end{document}

ana4.tex

@@ -132,9 +132,9 @@
 	Widerspruch zu $x \in S_{1}$, also $m>0$. Dann für $x \neq 0$ ist Vektor $\frac{x \ }{\norm{x}_{\infty}} \in S_{1}$ und $m \leq \frac{\norm{x} \ }{\norm{x}_{\infty}}$ (nach Definition von $m$) und $0 < m \cdot \norm{x}_{\infty} \leq \norm{x}, \ x \in \K^{n}$.
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
 	Auf $K^{n}$ sind alle Konvergenzen in irgendeiner Norm äquivalent zur Konvergenz in der $\ell_{\infty}$-Norm. (= komponentenweiser Konvergenz)
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{bem}
 	Obiger Satz gilt nicht für unendlich dimensionale Räume (wie z.B. $C[a,b]$ oder $R[a,b]$). Die endliche Dimension von $K^{n}$ ist entscheidend.
@@ -180,12 +180,12 @@ Bezeichnung: $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm.
 	\end{enumerate}
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
 	\begin{enumerate}[1)]
 		\item	Endliche Schnitte und beliebige Vereinigung von offenen Mengen sind wieder offen.
 		\item 	(Beobachtung) Durchschnitt von unendlich vielen offenen Mengen braucht nicht offen zu sein. Z.B. $$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}} \left]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}\right[ = [0,1]$$ ist nicht offen, da $K_{\varepsilon}(0) \not\subset [0,1], \forall \varepsilon > 0$.
 	\end{enumerate}
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{definition}[Abgeschlossene Menge]
     Eine Teilmenge $A \subset \K^{n}$ heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement $A^{c} \coloneqq \K^{n} \setminus A$ offen ist.

ana5.tex

@@ -302,10 +302,10 @@
     In unendlich dimensionalen Banach-Räumen wie z.B.: $C[a,b]$ ist dies nicht möglich.
 \end{bem}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
     Jede abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge in $\mathbb{K}^{n}$ ist
     ebenfalls kompakt.
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
     Sei $M \subset \mathbb{K}^{n}$ kompakt und $A \subset M$ abgeschlossen. Wegen

ana6.tex

@@ -49,7 +49,7 @@
     \end{align*}
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
     \begin{enumerate}[a)]
         \item Ein Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)$ auf $V$ über $\K$ erzeugt eine Norm durch $\norm{x} \coloneqq \sqrt{(x,x)}, \ x \in V$. Falls ein normierter Raum $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ vollständig ist, so heißt das Paar $\left(V, (\cdot,\cdot)\right)$ \underline{Hilbert-Raum}.
         \item Das euklidische Skalarprodukt $(\cdot,\cdot)_2$ auf $\K^n$
@@ -58,7 +58,7 @@
             $$\norm{x}_2 \coloneqq \sqrt{(x,x)_2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.$$
             $\left(\K^n, (\cdot,\cdot)_2\right)$ ist ein Hilbert-Raum.
         \end{enumerate}
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
     Normeigenschaften Definitheit und Homogenität folgen aus \ref{def:definitheit}-\ref{def:linear}. Die Dreicksungleichung folgt aus der Schwarz-Ungleichung.

ana8.tex

@@ -37,11 +37,11 @@
     Damit folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
+\begin{korollar}
     Sei $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ regulär und
     $\tilde A \in \mathbb{K}^{n \times n}$ s.d. $\Vert A - \tilde A\Vert < \frac{1}{\Vert A^{-1} \Vert}$. Dann
     ist $\tilde A$ regulär.
-\end{korrolar}
+\end{korollar}
 
 \begin{proof}
     Es ist $\tilde A = \tilde A + A - A = (\tilde A - A) + A = A

analysisII.tex

@@ -35,5 +35,6 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 \input{ana10.tex}
 \input{ana11.tex}
 \input{ana12.tex}
+\input{ana13.tex}
 
 \end{document}

lecture.cls

@@ -49,7 +49,7 @@
 \theoremstyle{definition}
 \newmdtheoremenv{satz}{Satz}[chapter]
 \newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma}
-\newmdtheoremenv{korrolar}[satz]{Korrolar}
+\newmdtheoremenv{korollar}[satz]{Korollar}
 \newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition}
 
 \newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}
@@ -222,7 +222,7 @@
   }
   % replace all relations with align characters (&) and add the needed padding
   \regex_replace_all:nnN
-  { (\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}(\[.*?\])?{.*?}{.*?}|\c{stackrel}(\[.*?\])?{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&|>&|&>|<&|&<) }
+  { (\c{leq}&|&\c{leq}|\c{geq}&|&\c{geq}|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}(\[.*?\])?{.*?}{.*?}|\c{stackrel}(\[.*?\])?{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&|>&|&>|<&|&<) }
       { \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} }
       \l__lec_text_tl
   \l__lec_text_tl