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\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\chapter{Differenzierbare Funktionen in \texorpdfstring{$\R^{n}$}{R\unichar{"207F}}}
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Betrachte die Abbildung $f \colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{n}$. Die Stetigkeitsdefinition von $f$ entspricht
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der Stetigkeit von $f$ in $\R$. Aber: Differenzierbarkeit einer Funktion $g\colon I \subseteq \R \to \R$,
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\[
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g'(x_0) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
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.\] Für $h \in \R^{n}$ \underline{nicht sinnvoll}.
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\section{Partielle Differenzierbarkeit}
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\begin{definition}[Partielle Ableitung]
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Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$.
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\begin{itemize}
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\item $f$ heißt
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im Punkt $x \in D$ partiell differenzierbar nach $i$-ter Koordinatenrichtung, falls der
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Grenwert
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\[
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\partial_i f(x) \coloneqq \lim_{h \to 0} \frac{f\left( x + h \cdot e^{(i)} \right) - f(x)}{h}
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.\] existiert mit $e^{(i)} \coloneqq $ $i$-te Spalte der $n \times n$ Einheitsmatrix.
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Schreibweise auch $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)$ oder $\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$.
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\item $f$ heißt partiell differenzierbar in $x \in D$, falls $\partial_i f(x)$ für alle $1 \le i \le n$
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existieren.
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\item Sind $\partial_i f(x)$ $\forall i$ stetig, dann heißt $f$ stetig partiell differenzierbar.
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\item Falls $f \colon D \subseteq \R^{n} \to \R^{m}$, dann heißt $f$ (stetig) partiell differenzierbar,
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falls alle Komponentenfunktionen $f_j$ $(1 \le j \le m)$ (stetig) partiell differenzierbar
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in $x \in D$ sind, d.h. wenn $\partial_i f_j(x)$ $\forall i=1,\ldots,n$, $j = 1,\ldots,m$ existieren.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{bem}[Interpretation als gewöhnliche Ableitung]
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Sei $f(x) = f(x_1, \ldots, x_n)$. Definiere $\tilde{f}(\xi) = f(x_1, \ldots, x_{i-1}, \xi, x_{i+1}, \ldots, x_n)$, d.h. $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n$ fest. Dann ist
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\[
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\partial_i f(x) = \frac{\d{\tilde{f}(\xi)}}{\d\xi}
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.\]
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D.h. für partielle Ableitungen
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gelten analoge Regeln, wie für die gewöhnliche Ableitung, insbesondere Produktregel, Quotientenregel
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und auch Kettenregel.
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\end{bem}
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\begin{bsp}
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Die Funktion
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\[
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r(x) \coloneqq \Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}
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.\] ist in $D = \R^{n} \setminus \{0\} $ stetig partiell differenzierbar mit den partiellen
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Ableitungen
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\begin{align*}
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\partial_i r (x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)
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\quad \qquad \stackrel{\text{gew. Kettenregel}}{=} \quad \qquad
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\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} } 2x_i
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= \frac{x_i}{\Vert x \Vert_2}
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.\end{align*}
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Sei $F\colon \R_+ \to \R$ beliebige differenzierbare Funktion. Dann ist $f(x) = F(r(x))$ auf
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$\R^{n} \setminus \{0\} $ definiert und partiell differenzierbar.
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\begin{align*}
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\partial_i f(x) = \frac{\d F(r(x))}{\d y} \partial_i r(x) = F'(r(x)) \frac{x_i}{\Vert x\Vert_{2}}
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= F'(r(x)) \frac{x_i}{r(x)}
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.\end{align*}
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\end{bsp}
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\begin{bem}
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Für $n =1$ gilt: $f$ differenzierbar $\implies$ $f$ stetig. Für $n > 1$ und $f$ partiell
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differenzierbar, folgt i.A. nicht, dass $f$ stetig ist.
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\end{bem}
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\begin{satz}
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Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$. Für $x \in D$ gelte: $\exists K_r(x) \subseteq D$,
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s.d. die partiellen Ableitungen $\partial_i f(y)$, $i = 1, \ldots, n$ beschränkt sind $\forall y \in K_r(x)$,
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d.h.
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\[
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\sup_{y \in K_r(x)} | \partial_i f(y) | \le M, \quad i = 1, \ldots, n
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.\] Dann gilt $f$ stetig in Punkt $x$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei $n = 2$ und $y = (y_1, y_2) \in K_r(x)$. Es ist
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\begin{salign*}
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f(y_1, y_2) - f(x_1, x_2) &= f(y_1, y_2) - f(x_1, y_2) + f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2)
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\intertext{Mit $y_2$ fest, folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
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$\exists \xi = \xi(y_2)$ zwischen $y_1$ und $x_1$, also}
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f(y_1, y_2) - f(x_1, y_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_1 f(\xi, y_2) (y_1 - x_1)
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\intertext{Analog für $x_1$ fest und $\eta(x_1)$ zwischen $y_2$ und $x_2$}
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f(x_1, y_2) - f(x_1, x_2) &\stackrel{\text{MWS}}{=} \partial_2 f(x_1, \eta) (y_2 - x_2)
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\intertext{Dann folgt}
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|f(y) - f(x)| &\le \underbrace{|\partial_1 f(\xi, y_2)|}_{\le M} |y_1 - x_1|
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+ \underbrace{|\partial_2 f(x_2, \eta)|}_{\le M} |y_2 - x_2| \\
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&\le M (|y_1 - x_1| + |y_2 - x_2|) \\
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&= M \Vert y - x \Vert_1
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.\end{salign*}
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Sei $\epsilon \in (0, r]$ beliebig, dann gilt für $\delta \coloneqq \frac{\epsilon}{M}$
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\[
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\Vert y -x \Vert_1 \le \delta \implies | f(y) - f(y) | \le \epsilon
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.\] Also $f$ stetig in $x$ und wegen $|f(y) - f(x)| \le M \Vert y - x \Vert_1$ sogar Lipschitz-stetig.
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Für $n > 2$ analog.
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\end{proof}
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\begin{definition}
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Sei $f\colon D \subseteq \R^{n} \to \R$ partiell differenzierbar mit $\partial_i f \colon D \to \R$.
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\begin{itemize}
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\item Falls $\partial_i f$ partiell differenzierbar sind, dann heißt $f$ zweimal
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partiell differenzierbar mit den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung
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\[
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\partial_i \partial_j f(x) \coloneqq \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}
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\coloneqq \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \right)
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.\]
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\item $f$ heißt $k$-mal stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen
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$k$-ter Ordnung von $f$ existieren und stetig sind.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{bem}
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Im Allgemeinen ist $\partial_i \partial_j f(x) \neq \partial_j \partial_i f(x)$!
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\end{bem}
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\begin{satz}[Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge]
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Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und $f\colon D \to \R$ zweimal stetig differenzierbar in
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einer Umgebung $K_r(x) \subseteq D$ eines Punktes $x \in D$. Dann gilt
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\[
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\partial_i \partial_j f(x) = \partial_j \partial_i f(x), \qquad \forall i,j=1,\ldots,n
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.\] Allgemein: Für eine $k$-mal stetig partiell differenzierbare Funktion ist die Reihenfolge
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der partiellen Ableitungen vertauschbar.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}[1)]
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\item Sei $n = 2$ und
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\[
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A \coloneqq \underbrace{f(x_1 + h_1, x_2 + h_2) - f(x_1 + h_1, x_2)}_{= \varphi(x_1 + h_1)}
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- \underbrace{f(x_1, x_2 + h_2) + f(x_1, x_2)}_{= \varphi(x_1)}
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.\] Definiere $\varphi(x) \coloneqq f(x, x_2 + h_2) - f(x, x_2)$. Dann ist
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$A = \varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1)$. Mit dem MWS bezügl. $x_1$ folgt
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\begin{salign*}
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\varphi(x_1 + h_1) - \varphi(x_1) &= \varphi'(x_1 + \theta_1) \cdot h_1, \quad \theta_1 \in (0, h_1)
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\intertext{Für $\varphi'$ gilt}
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\varphi'(x_1) &= \partial_1 f(x_1, x_2 + h_2) - \partial_1 f(x_1, x_2) \\
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&\stackrel{\text{MWS bezügl. } x_2}{=}
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\partial_2 (\partial_1 f(x_1, x_2 + \theta_1')) \cdot h_2, \quad \theta_1' \in (0, h_2)
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\intertext{Dann folgt}
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\varphi'(x_1 + \theta_1) &= \partial_2 (\partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1')) h_2
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.\end{salign*}
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Und damit ist
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\begin{salign*}
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A &= \varphi'(x_1 + \theta_1) h_1 = \partial_2 (\partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1'))
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\cdot h_1 \cdot h_2
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\intertext{Analog definiere $\psi(x) \coloneqq f(x_1 + h_1, x) - f(x_1, x)$, dann}
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A &= \psi(x_2 + h_2) - \psi(x_2) \\
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&\stackrel{\text{wie oben}}{=} h_2 \psi'(x_2 + \theta_2) \\
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&= h_1 \cdot h_2 \partial_1
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(\partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')), \quad \theta_2 \in (0, h_1),
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\theta_2' \in (0, h_2)
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.\end{salign*}
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Also folgt
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\[
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\partial_2 \partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1') = \frac{A}{h_1 \cdot h_2}
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= \partial_1 \partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')
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.\]
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Die partiellen Ableitungen $\partial_2 \partial_1 f$ und
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$\partial_1 \partial_2 f$ sind stetig in $K_r(x)$, also gilt
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für $h_1, h_2 \to 0$, d.h. $x_1 + \theta_1 \to x_1, x_2 + \theta_1' \to x_2, \ldots$
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\begin{salign*}
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\partial_2 \partial_1 f(x_1 + \theta_1, x_2 + \theta_1') &\xrightarrow{h_1, h_2 \to 0}
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\partial_2 \partial_1 f(x) \\
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\partial_1 \partial_2 f(x_1 + \theta_2, x_2 + \theta_2')
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&\xrightarrow{h_1, h_2 \to 0} \partial_1 \partial_2 f(x)
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.\end{salign*}
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Also $\partial_1 \partial_2 f(x) = \partial_2 \partial_1 f(x)$. Für $n > 2$ analog.
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\item Sei $f$ k-mal stetig differenzierbar. Dann folgt durch Induktion nach $k$
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\[
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\partial_1 \ldots \partial_k f(x) = \partial_{i_1} \ldots \partial_{i_k} f(x)
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.\] für jede Permutation ($i_1, \ldots, i_k)$ von $(1 \ldots k)$.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{definition}[Begriffe der Vektoranalysis]\
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\begin{itemize}
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\item \underline{Gradient}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen und
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$f \colon D \to \R$ eine partiell differenzierbare Funktion. Der Vektor
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\[
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\text{grad} f(x) \coloneqq \nabla f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f(x) \\ \vdots \\ \partial_n f(x) \end{pmatrix} \in \R^{n}
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\] heißt der Gradient von $f$ in $x \in D$.
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\item \underline{Hesse-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R$
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eine zweimal partiell differenzierbare Funktion. Die Matrix
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\[
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H_f(x) \coloneqq \nabla^2 f(x) \coloneqq (\partial_i \partial_j f(x))_{i,j=1}^{n} \in \R^{n \times n}
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\] heißt Hesse-Matrix von $f$ im Punkt $x \in D$.
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\item \underline{Jacobi-Matrix}: Sei $D \subseteq \R^{n}$ offen, $f\colon D \to \R^{m}$
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eine partiell differenzierbare Vektorfunktion. Die Matrix
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\[
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J_f(x) \coloneqq \begin{pmatrix} \partial_1 f_1 & \cdots &\partial_n f_1 \\
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\vdots & \ddots & \vdots \\
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\partial_1 f_m & \cdots & \partial_n f_m
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\end{pmatrix} \in \R^{m \times n}
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.\] heißt Funktionalmatrix oder auch Jacobimatrix von $f$ in $x \in D$.
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Schreibweise: $J_f(x) = f'(x) = \left( \nabla f(x) \right)^{T}$.
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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$r(x) = \Vert x \Vert_2$.
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\[
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\nabla r(x) = \begin{pmatrix} \vdots \\ \partial_i r(x) \\ \vdots \end{pmatrix}
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= \begin{pmatrix} \vdots \\ \frac{x_i}{r(x)} \\ \vdots \end{pmatrix} \in \R^{n}
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.\] Für die Hesse-Matrix $\nabla ^2 r(x) = \left( \partial_j \frac{x_i}{r(x)} \right)_{i,j=1}^{n}$ folgt
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\[
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\partial_j \left( \frac{x_i}{r(x)}\right)
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= \begin{cases}
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\frac{r(x) - x_i \frac{x_i}{r(x)}}{r(x)^2} = \frac{1}{r(x)} - \frac{x_i^2}{r(x)^3} & i = j \\
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- \frac{x_i \frac{x_j}{r(x)}}{r(x)^2} = - \frac{x_i x_j}{r(x)^{3}} & i \neq j
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\end{cases}
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.\] Diese Hesse-Matrix ist die Jacobi-Matrix der Vektorfunktion $v(x) = \frac{x}{r(x)} = \begin{pmatrix} \vdots \\ \frac{x_i}{r(x)} \\ \vdots \end{pmatrix} $.
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\end{bsp}
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\end{document}
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