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TeX
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\documentclass{lecture}
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\usetikzlibrary{math}
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\begin{document}
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\newcommand{\dv}[2]{\frac{\mathrm{d} #1}{\mathrm{d} #2}}
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\newcommand{\graph}{\operatorname{Graph}}
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\chapter{Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen}
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\section{Explizite Differentialgleichungen}
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Differentialgleichungen (DGLn) sind Gleichungen der Form
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\[
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F(t,y,y',\dots, y^{(n)}) = 0\quad\text{implizite Form}
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\] oder
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\[
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y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})\quad\text{explizite Form}
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\]
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für eine gesuchte Funktion $y = y(t),\; t\in I,\; I\subset \R$ ,,Zeitinvervall``. % $(y^{(k)} = \frac{\d[k]}{\d t^k} y)$.
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Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung sind äquivalent zu speziellen Systemen von Differentialgleichungen 1. Ordnung. Betrachte $y^{(n)} = f(t,y,y',\dots,y^{(n-1)})$ (sei $y\colon I\to \R,I\subset \R)$. Definiere Hilfsvariablen:
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\begin{align*}
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x_1 &\coloneqq y\\
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x_2 &\coloneqq y'\\
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&\vdots\\
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x_n &\coloneqq y^{(n-1)},
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\end{align*}
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also $x\in \R^n$. Ein äquivalentes System von Differentialgleichungen 1. Ordnung ist dann
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\[
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x' = \tilde{f}(t,x),\quad \tilde{f} = \begin{pmatrix}
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x_2\\x_3\\\vdots\\f(t,x)
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\end{pmatrix}
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\]
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Ein allgemeines System von Differentialgleichungen 1. Ordnung hat die Form
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\[
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x' = f(t,x),\quad x\in \R^n,\quad f\in \R^n
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\]
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Notationen: $x' = f(t,x), \dot x = f(t,x), \dv{x}{t} = f(t,x)$ (Dynamischer Prozess, der sich mit der Zeit ändert.)
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\begin{bsp}
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\begin{enumerate}
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\item einfache lineare Differentialgleichung \[x' = \alpha x,\quad \alpha \in \R\] hat die Lösung $x(t) = c\cdot e^{\alpha t}$, da \[\dv{f}{t} = c\cdot e^{\alpha t}\cdot \alpha = \alpha \cdot x(t)\]
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\item Newton: Kraft = Masse $\cdot$ Beschleunigung. \begin{align*}
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y(t)&\in \R &&\text{Ort eines Massenpunktes zur Zeit $t$}\\
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y'(t)&\in \R &&\text{Geschwindigkeit}\\
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y''(t)&\in \R &&\text{Beschleunigung}
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\end{align*}
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Kraftfunktion: $f(t,y,y') \in \R$.
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\[
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my'' = f(t,y,y')\quad \text{DGL 2. Ordnung}
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\]
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äquivalent zum System:
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\begin{align*}
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x_1'&= x_2& \text{mit } x_1 &= y,\\
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x_2'&= \frac{1}{m}f(t,x_1,x_2)& x_2&= y'
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\end{align*}
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\item Räuber-Beute-Gleichungen (Lotka-Volterra-Gleichungen)
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\begin{align*}
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N_1 &= N_1(t) &&\text{Anzahl von Beute}\\
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N_2 &= N_2(t) &&\text{Anzahl von Räuber}\\
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N_1' &= \alpha N_1 - \beta N_1N_2 &&\alpha > 0\text{ Reproduktionsrate der Beute}\\
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&&&\beta > 0\text{ Fressrate der Räuber pro Beute}\\
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|
N_2' &= -\gamma N_2 + \delta N_1N_2&&\gamma > 0\text{ Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist}\\
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& &&\delta > 0\text{ Reproduktionsrate der Räuber pro Beute}
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|
\end{align*}
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\item SIR - Modell aus Epidemiologie (z.B. Corona):
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\begin{center}
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\begin{tabular}{ccc}
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succeptible & infected & removed\\
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$S(t)$ & $I(t)$ & $R(t)$
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\end{tabular}
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\end{center}
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\begin{align*}
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N &= I + S + R\\
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\dv{S}{t} &= \nu N - \beta \frac{SI}{N}-\mu S\\
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|
\dv{I}{t} &= \beta \frac{SI}{N} - \gamma I - \mu I\\
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|
\dv{R}{t} &= \gamma I - \mu R
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\end{align*}
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Dabei sei
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\begin{align*}
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\gamma&\text{ die Rate, mit der Infizierte genesen oder sterben,}\\
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\mu&\text{ die allgemeine Sterberate pro Person,}\\
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\nu&\text{ die Geburtsrate pro Person,}\\
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\beta&
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\text{ die Anzahl neuer Infektionen, die ein erster infektiöser Fall pro Zeit verursacht und}\\
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|
\frac{\beta}{N}& \text{ die Transmissionsrate.}
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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|
\end{bsp}
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[declare function={f(\x) = 2*(\x-0.25);}]
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\begin{axis}%
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[%minor tick num=4,
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%grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
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%major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
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%axis lines=middle,
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%enlargelimits={abs=0.2},
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%ymax=5,
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%ymin=0
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width=0.6\textwidth, % Overall width of the plot
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axis equal image, % Unit vectors for both axes have the same length
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view={0}{90}, % We need to use "3D" plots, but we set the view so we look at them from straight up
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xmin=0, xmax=1.1, % Axis limits
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ymin=0, ymax=1.1,
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domain=0:1, y domain=0:1, % Domain over which to evaluate the functions
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xtick={0.7}, ytick={0.3525}, % Tick marks
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xticklabels={$t_0$},
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yticklabels={$y_0$},
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xlabel=$t$,
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ylabel=$y$,
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samples=11, % How many arrows?
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cycle list={ % Plot styles
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gray,
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quiver={
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u={1}, v={f(x)}, % End points of the arrows
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scale arrows=0.075,
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|
every arrow/.append style={
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|
-latex % Arrow tip
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},
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}\\
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red, samples=31, smooth, thick, no markers, domain=0:1.1\\ % The plot style for the function
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}
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]
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\addplot3 (x,y,0);
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\addlegendentry{$f(t,x)$}
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\addplot{(x-0.25)^2+0.15};
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\addlegendentry{$y(t)$}
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Veranschaulichung: Richtungsfeld für DGL der Form $y' = f(x)$}
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\end{figure}
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\begin{definition}[System erster Ordnung]
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Sei $D = I\times \Omega \subset \R\times \R^n,\ f\colon D\to \R^n$ stetig. Dann heißt
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\begin{equation}
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y'=f(t,y)\label{DGLOrd1}\tag{$\star$}
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|
\end{equation}
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ein System von $n$ Differentialgleichungen 1. Ordnung.
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\end{definition}
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Eine Lösung von \eqref{DGLOrd1} ist eine differenzierbare Funktion $y:I\to \R^n$ mit
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item $\graph(y)\coloneqq \{(t,y(t))\in \R\times \R^n\mid t\in I\}\subset D$ und
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\item $y'(t) = f(t,y(t))\quad \forall t\in I$.
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\end{enumerate}
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\begin{bem}
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$y = \begin{pmatrix}
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y_1\\\vdots\\y_n
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\end{pmatrix}$ und $f=\begin{pmatrix}
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f_1\\\vdots\\f_n
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\end{pmatrix}$ Dann ist
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\begin{align*}
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\eqref{DGLOrd1} \Leftrightarrow y_1'&= f_1(t,y_1,\dots,y_n)\\
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\vdots&\\
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y_n'&= f_n(t,y_1,\dots,y_n)
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\end{align*}
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\end{bem}
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\begin{definition}[Anfangswertaufgabe/Anfangswertproblem]
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AWA zu \eqref{DGLOrd1} ist:
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\begin{align*}
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y' &= f(t,y),\quad t\in I \\
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y(t_0) &= y_0&&\text{Anfangsbedingung}
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\end{align*}
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Gesucht wird eine differenzierbare Funktion $y\colon I\to \R^n$ derart, dass
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item $\graph(y) \subset D$
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\item $y'(t) = f(t,y(t)),\;t\in I$
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|
\item $y(t_0) = y_0$
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{satz}[DGL $\leftrightarrow$ Integralgleichung]
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Sei $D\subset \R\times \R^n,\; f\colon D\to \R^n$ stetig, $(t_0,y_0)\in D$ und $y\colon I\to \R^n$ stetig mit $\graph(y)\subset D,\; t_0\in I$. Dann gilt
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\[
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|
y\text{ löst AWA }y'=f(t,y),\;y(t_0)=y_0\Leftrightarrow y(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(s,y(s))\d s \quad \forall t\in I
|
|
\]
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|
\end{satz}
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\begin{proof}
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"$\Rightarrow$". Sei $y$ eine Lösung von AWA. Dann ist $y$ diffbar mit $y'(t) = f(t,y(t))$.
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\[\implies \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \d s= \int_{t_0}^t y'(s)\d s \oldstackrel{\text{HDI}}{=} y(t) - y(t_0) = y(t)-y_0.\]
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|
"$\Leftarrow$". Sei die Integralgleichung erfüllt. Falls $t = t_0\implies y(t_0) = y_0 \implies$ (c). Aus dem HDI folgt komponentenweise $y'(t) = f(t,y(t)) \implies y$ löst AWA.
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\end{proof}
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\section{Anfangswertaufgaben: Existenz von Lösungen}
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\begin{satz}[Existenzsatz von Peano]\ \\
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Die Funktion $f(t,x)$ sei stetig auf dem $(n+1)$-dimensionalen Zylinder
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\[
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D = \{(t,x)\in \R\times \R^n\mid |t-t_0| \le \alpha,\; \norm{x-y_0}\le \beta\}
|
|
\]
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|
Dann existiert eine Lösung $y(t)$ von AWA auf dem Intervall $I \coloneqq [t_0-T,t_0+T]$ mit \[T \coloneqq \min_{y(t)}\left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\},\; M\coloneqq \max_{(t,x)\in D}\norm{f(t,x)}\]
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|
\end{satz}
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%\begin{figure}[h]
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% \begin{tikzpicture}
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% \begin{axis}%
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|
% [grid=none,
|
|
% minor tick num=4,
|
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% grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
|
% major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
|
% axis lines=middle,
|
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% %enlargelimits={abs=0.2},
|
|
% ymax=5, ymin=-1.5,
|
|
% xmin=2, xmax=7,
|
|
% xtick={5}, ytick={2},
|
|
% xticklabels={$t_0$},
|
|
% yticklabels={$y_0$},
|
|
% xlabel=$t$,
|
|
% ylabel=$x$,
|
|
% ]
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|
% \draw (4,1) rectangle (6,3);
|
|
% \node at (5.8,1.3) {$D$};
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% \addplot[domain=1:10,samples=50,smooth,red] {2^(x-3)-2};
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|
% \addlegendentry{$y(t)$}
|
|
% \end{axis}
|
|
% \end{tikzpicture}
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%\end{figure}
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Reminder:
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\begin{enumerate}
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\item Gleichmäßige Stetigkeit: \[f\colon D\to \R,\; D\subset \R^n\] ist gleichmäßig stetig in $D$, falls $\forall \epsilon > 0,\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall x,x_0\in D$ gilt \[\norm{x-x_0}< \delta \implies \norm{f(x)-f(x_0)}< \epsilon\]
|
|
\item Gleichgradige Stetigkeit: Sei $\mathcal{F} \subset C[a,b]$. Dann ist $\mathcal{F}$ gleichgradig stetig, falls $\forall \epsilon> 0\;\exists \delta > 0$, sodass $\forall f\in \mathcal{F}$ gilt \[\forall t,t'\in [a,b],\; |t-t'| <\delta \implies \norm{f(t)-f(t')}<\epsilon\]
|
|
\item Satz von Arzela-Ascoli:
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Sei $(f_n)_{n\in \N}$ eine Folge in $C[a,b]$, die gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig ist, d.h.
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\[\sup_{n\in \N} \norm{f_n}_\infty < \infty\] und
|
|
\[\forall\epsilon > 0,\;\exists \delta > 0,\forall n\in \N\colon\; \max_{\substack{t,t'\in [a,b]\\|t-t'|\le \delta}} \norm{f_n(t)-f_n(t')} < \epsilon.\]
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|
Dann existiert eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \N}$, welche gegen $f\in C[a,b]$ konvergiert, d.h. \[\norm{f_{n_k} - f}_\infty \to 0\]
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\item Dreiecksungleichung für Integrale. Sei $y\colon [a,b] \to\R^n$ stetig, $\norm{\cdot}$ irgendeine Norm auf $\R^n$. Dann
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\[\norm{\int_a^by(t)\d t} \le \int_a^b\norm{y(t)} \d t,\] hier:
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\[\int_a^by(t)\d t\coloneqq \begin{pmatrix}
|
|
\int_a^by_1(t)\d t\\
|
|
\vdots\\
|
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\int_a^by_n(t)\d t
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|
\end{pmatrix}\in \R^n\]
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\end{enumerate}
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\begin{proof} (Satz von Peano)\\
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Idee: Konstruiere eine Folge stetiger Funktionen (Eulersches Polygonzugverfahren). Aus dem Satz von Arzela-Ascoli folgt dann, dass es eine Teilfolge gibt, die gegen eine Lösung von AWA konvergiert.\\
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O.B.d.A. betrachte Halbintervall $I = [t_0,t_0+T]$. Sei $h>0$ Schrittweitenparameter $(h\to 0)$. Wähle eine äquidistante Unterteilung des Intervalls $I$.
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\[t_0 < t_1 < \dots < t_N = t_0 + T,\quad h = |t_k-t_{k-1}|\]
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Eulersches Polygonzugverfahren:\begin{itemize}
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\item Starte mit $y_0^h \coloneqq y_0$.
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\item Für $n\ge 1$, berechne $y_n^h=y_{n-1}^h + hf(t_{n-1},y_{n-1}^h)$.
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|
\end{itemize}
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Definiere die stückweise lineare Funktion $y^h(t)$
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\[y^h(t)\coloneqq y_{n-1}^h + (t-t_{n-1})f(t_{n-1},y_{n-1}^h),\quad t\in [t_{n-1},t_n],\quad \forall n\ge 1\]
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\begin{tikzpicture}[declare function={
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g(\x) = 0.5*exp(\x-2); % base function for y(t)
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|
f(\x) = 0.5*exp(\x-2); % derivative
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|
%g(\x) = 0.5*(\x-2.7)^3 - 2*(\x-2.7)^2; % base function for y(t)
|
|
%f(\x) = 1.5*(\x-2.7)^2 - 4*(\x-2.7); % derivative
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}]
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\def\h{1} % step length (accuracy of approximation)
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\def\torig{2} % y_0
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\def\yorig{1} % t_0
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\begin{axis}%
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[grid=none,
|
|
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
|
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
|
axis lines=middle,
|
|
ymax=10, ymin=-1.5,
|
|
restrict y to domain=-2:12,
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xmin=-1, xmax=7,
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xtick={2,3,4,5},
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ytick=\empty,
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xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},
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|
xlabel=$t$,
|
|
ylabel=$y$,
|
|
legend pos=outer north east
|
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]
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\def\d{0}
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|
\def\t{0}
|
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\foreach \i/\colour [remember=\d as \dlast (initially \yorig),
|
|
remember=\t as \tlast (initially \torig)]
|
|
in {0/green,1/blue,2/orange,3/pink} {
|
|
\tikzmath{\t=\tlast+\h;\d=g(\tlast)+\dlast+\h*f(\tlast)-g(\t);}
|
|
\colour
|
|
\edef\temp{\noexpand
|
|
\addplot[domain=0:10,samples=50,smooth,\colour] {g(x) + \dlast - g(\torig)};
|
|
}
|
|
\temp
|
|
\if\i3
|
|
\edef\temp{\noexpand
|
|
\draw[dashed,->] (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)})
|
|
-- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)});
|
|
}
|
|
\else
|
|
\edef\temp{\noexpand
|
|
\draw (\tlast,{g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
|
|
-- (\t,{g(\t) + \d - g(\torig)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};
|
|
}
|
|
\fi
|
|
\temp
|
|
\edef\temp{\noexpand
|
|
\draw[dashed,\colour] (\tlast, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) -- (0, {g(\tlast) + \dlast - g(\torig)}) node[label=left:$y_{\i}$](){};
|
|
}
|
|
\temp
|
|
\edef\temp{\noexpand\addlegendentry{$y(t,t_{\i},y_{\i})$};}
|
|
\temp
|
|
}
|
|
\end{axis}
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\caption{Eulersches Polygonzugverfahren, Steigung der Tangenten ist $f'(t,y)$}
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|
\end{figure}
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\begin{enumerate}[1)]
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|
\item \textbf{z.Z.} dass dieses Verfahren durchführbar ist, d.h. $\graph(y^h)\subset D$. Sei $(t,y^h(t))\subset D$ für $t_0 \le t\le t_{k-1}$. Dann gilt
|
|
\[
|
|
\underbrace{(y^h(t))'}_{\coloneqq \dv{y^h(t)}{t}} \equiv f(t_{k-1},y_{k-1}^h),\quad t\in [t_{k-1},t_k]
|
|
\]
|
|
Nach Konstruktion gilt für $t\in [t_{k-1},t_k]$:
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|
\begin{align*}
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|
y^h(t)-y_0 &= y^h(t)-y_{k-1}^h + y_{k-1}^h - y_{k-2}^h+ \dots + y_1^h-y_0^h\\
|
|
&= y^k(t)-y_{k-1}^h + \sum_{i = 1}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h)\\
|
|
&= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = 1}^{k-1}h\cdot f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
|
|
\implies \norm{y^h(t)-y_0}&\le (t-t_{k-1})\norm{f(t_{k-1},y_{k-1}^h)} + h \sum_{i = 1}^{k-1}\norm{f(t_{i-1},y_{i-1}^h)}\\
|
|
&\le (t-t_{k-1})\cdot M + \underbrace{h(k-1)}_{=t_{k-1}-t_0} \cdot M\\
|
|
&= (t-t_0)\cdot M\\
|
|
&\le T\cdot M\\
|
|
&= \min \left\{\alpha,\frac{\beta}{M}\right\}\cdot M\\
|
|
&\le \beta
|
|
\end{align*}
|
|
Also ist $(t,y^h(t))\in D$ für $t_{k-1} \le t\le t_k$. Mit Annahme folgt $(t,y^h(t))\in D$ für $t_0\le t\le t_k \implies \graph(y^h)\subset D$.
|
|
\item \begin{enumerate}[(a)]
|
|
\item \textbf{z.Z.} dass die Funktionenfamilie $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig ist. Seien dafür $t,t'\in I, \ t'\le t$ beliebig mit $t\in [t_{k-1},t_k],\; t'\in [t_{j-1},t_j]$ für ein $t_j\le t_k$.
|
|
\begin{figure}[h]
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|
\centering
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|
\begin{tikzpicture}[declare function={f1(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) + 10/(\x+2);
|
|
f2(\x) = 0.5*(2)^(\x-1);
|
|
f3(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 10/(\x+2);
|
|
f4(\x) = 0.5*(2)^(\x-1) - 20/(\x+2);}]
|
|
\begin{axis}%
|
|
[grid=none,
|
|
%minor tick num=4,
|
|
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
|
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
|
axis lines=middle,
|
|
%enlargelimits={abs=0.2},
|
|
ymax=10, ymin=-1.5,
|
|
xmin=1, xmax=6,
|
|
xtick={2,3,4,5},
|
|
ytick={1},
|
|
xticklabels={$t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_3$},
|
|
yticklabels={$y_0$},
|
|
xlabel=$t$,
|
|
ylabel=$x$,
|
|
]
|
|
\addplot[domain=0:10,samples=50,smooth] {f2(x)};
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\draw (2,{f2(2)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
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(3,{f2(3)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
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(4,{f2(4)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {}
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(5,{f2(5)}) node[circle,fill,inner sep=0.5pt] {};
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\draw[dashed,red] (2.4, {f2(2.4)}) -- (2.4, 0)
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node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t$}](){};
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\draw[dashed,red] (4.7, {f2(4.7)}) -- (4.7, 0)
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node [label={[label distance=-0.8mm]below:$t'$}](){};
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\draw[dashed,blue] (3.2, {f2(3.2)}) -- (3.2, 0)
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node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};
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\draw[dashed,blue] (3.8, {f2(3.8)}) -- (3.8, 0)
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node [label={[label distance=-1mm]below:$t'$}](){};
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\draw[dashed,black] (2, {f2(2)}) -- (0, {f2(2)})
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node [label={[label distance=-1mm]below:$t$}](){};
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%\draw[dashed,blue] (3, {f2(3)}) -- (0, {f2(3)}) node[label=left:$y_1$](){};
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%\draw[dashed,orange] (4, {f3(4)}) -- (0, {f3(4)}) node[label=left:$y_2$](){};
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%\draw[dashed,pink] (5, {f4(5)}) -- (0, {f4(5)}) node[label=left:$y_3$](){};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Blau: erster Fall, Rot: zweiter Fall}
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\end{figure}
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\begin{itemize}
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\item $t,t' \in [t_{k-1},t_k]$:
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\begin{align*}
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y^h(t)-y^h(t')&= y_{k-1}^h + (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
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&\quad - (y_{k-1}^h + (t'-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h))\\
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&= (t-t') f(t_{k-1},y_{k-1}^h)\\
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\implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} &\le |t-t'| \cdot M
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\end{align*}
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\item $t_j<t_k$: \begin{align*}
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y^h(t)-y^h(t') &= y^h(t) -y_{k-1}^h + y_{k-2}^h - \dots -y_{j-1}^h + y_{j-1}^h-y^h(t')\\
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&= y^h(t) - y_{k-1}^h + \sum_{i = j}^{k-1}(y_i^h-y_{i-1}^h) + y_{j-1}^h -y^h(t')\\
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&= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
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&\quad + (t_{j-1} -t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
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&= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + \sum_{i = j+1}^{k-1}hf(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
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&\quad +hf(t_{j-1},y_{j-1}^h) + (t_{j-1}-t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)\\
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&= (t-t_{k-1})f(t_{k-1},y_{k-1}^h) + h\sum_{i = j+1}^{k-1}f(t_{i-1},y_{i-1}^h)\\
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&\quad + (\underbrace{h + t_{j-1}}_{t_j} - t')f(t_{j-1},y_{j-1}^h)
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\end{align*}
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Daraus folgt
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\[\norm{y^h(t)-y^h(t')}\le (t-t_{k-1})M + (t_{k-1}-t_j)M + (t_j-t')M\\
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= |t-t'|M\]
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\end{itemize}
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Wählt man für ein beliebiges $\epsilon > 0$ also $\delta = \frac{\epsilon}{M}$, so gilt $\forall h$
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\[|t-t'| < \delta \implies \norm{y^h(t)-y^h(t')} < \epsilon\]
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Daher ist $\{y^h\}_{h>0}$ gleichgradig stetig (sogar gleichgradig Lipschitz-stetig).
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\item \textbf{z.Z.} $y^h$ ist gleichmäßig beschränkt. Es gilt $\forall t\in [t_0,t_0+T]$
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\begin{align*}
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\norm{y^h(t)} &= \norm{y^h(t) - \smash[b]{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}} + y_0}
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\vphantom{\underbrace{y_0}_{\mathclap{y^h(t_0) = y_0}}}
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\\
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&\le \underbrace{\norm{y^h(t)-y_0}}_{\text{siehe 1)}} + \norm{y_0}\\
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&\le M\cdot T + \norm{y_0}
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\end{align*}
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Also ist $y^h$ gleichmäßig beschränkt.
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\end{enumerate}
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Nach dem Satz von Arzela-Ascoli existiert eine Nullfolge $(h_i)_{i\in \N}$ und eine stetige Funktion $y\colon I\to \R^n$ so dass
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\[\max_{t\in I} \norm{y^{h_i} - y(t)} \xrightarrow{i\to \infty} 0\]
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Offenbar ist $\graph(y)\subset D$.
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\item \textbf{z.Z.} $y(t)$ erfüllt die Differentialgleichung $y'(t) = f(t,y(t))$ oder äquivalent dazu: $y(t)$ erfüllt die Integralgleichung \[y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s,y(s))\d s\]
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\end{document}
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