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+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\chapter{Phänomenologie der Maxwell-Gleichungen}
+
+\section{Elektrisches Feld}
+
+\begin{satz}[Colomb Gesetz]
+    Kraft zwischen zwei Ladungen
+    \[
+        F = k \frac{q_1 q_2}{| \vec{r}_1 - \vec{r}_2 |^2}
+    .\] 
+    Im SI-System ist $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ mit
+    $\epsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{As}}{\text{Vm}} = \frac{1}{4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}}
+    \frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ mit A für Ampère und As $=$ C für Coulomb.
+
+    Im Gauß-System ist $q = \frac{q^{*}}{\sqrt{4 \pi \epsilon_0} }$, so dass $k = 1$.
+\end{satz}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+\begin{tikzpicture}
+    \draw[fill] (-1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_1$};
+    \draw[fill] (1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_2$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Zwei Ladungen}
+\end{figure}
+
+\section{Elektrische Feldstärke}
+
+\begin{satz}[Coulomb Kraft]
+    \[
+        \vec{F} = q \vec{E}
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Lorentz Kraft]
+    \[
+        \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\section{Maxwell-Gleichungen}
+
+Die Maxwell Gleichungen bilden die axiomatische Verbindung zwischen Feldern
+$\vec{E}, \vec{B}, \vec{D}, \vec{H}$ und den Ladungen $\rho, \vec{\jmath}$
+in Inertialsystemen (oder lokal in frei fallenden Systemen).
+
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item
+        \begin{salign*}
+            \text{div } \vec{E} &= \nabla \cdot \vec{E} = \partial_i E^{i} = 4 \pi \rho
+            \intertext{Integralform}
+            \int_{V}^{} \text{div } \vec{E} \d[3]{x} &\stackrel{\text{Gauß}}{=}
+            \int_{\partial V}^{} \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} = \underbrace{\Psi}_{\text{elektrischer Fluss}}
+            = \int_{V}^{} 4 \pi\rho \d[3]{r}  = \underbrace{4 \pi q}_{\text{Ladung}}
+            \intertext{Im Fall von sphärischer Symmetrie gilt}
+            \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} &= 4 \pi r^2 | \vec{E}(r) | = 4 \pi q 
+            \implies |E| \sim \frac{q}{r^2}
+        .\end{salign*}
+    \item
+        \begin{salign*}
+            \text{div } \vec{B} &= \nabla \times \vec{B} = \partial_i B^{i} = 0
+            \intertext{Integralform}
+            \int_{V}^{}  \d[3]{r} \text{div } \vec{B} &= \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{B}
+            = \underbrace{\Phi}_{\text{magnetischer Fluss}} = 0
+        .\end{salign*}
+        Es gibt keine magnetische Ladung, es gilt also immer $\rho_m = 0$. Elektromagnetische Dualität.
+    \item Faraday-Induktionsgesetz
+        \begin{salign*}
+            \text{rot } \vec{E} &= \nabla \times \vec{E} = \underbrace{-}_{\text{Lenz-Regel}} \partial_{ct} \vec{B}
+            \intertext{Integralform}
+            \int_{S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \text{rot } \vec{E}
+            &\stackrel{\text{Stokes}}{=} \int_{\partial S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{E}
+            = \underbrace{U}_{\text{Spannung}}
+            = - \frac{\d}{\d (ct)} \int_{}^{}  \d{\vec{S}} \cdot  \vec{B} = - \frac{\d}{\d (ct)} \Phi 
+        .\end{salign*}
+    \item Ampère-Gesetz
+        \begin{salign*}
+            \text{rot } \vec{B} &= \nabla \times \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}
+            \intertext{Integralform}
+            \int_{S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{B} &\stackrel{\text{Stokes}}{=}
+            \int_{\partial S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{B}
+            = \frac{\d }{\d ct} \underbrace{\int_{S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{E}  }_{\Psi}
+            + \frac{4\pi}{c} \underbrace{\int_{}^{}  \d{\vec{S}}  \cdot  \vec{\jmath}}_{I \text{ Strom}}
+            \intertext{Im Fall von zylindrischer Symmetrie gilt:}
+            \int_{\partial S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{B} &=
+            4 \pi r | \vec{B}(r)| = \frac{4 \pi}{c} I \implies | \vec{B} | \sim \frac{1}{r}
+        .\end{salign*}
+\end{enumerate}
+
+\section{Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen}
+
+\begin{itemize}
+    \item linear ($\to$ Superposition)
+    \item partiell
+    \item hyperbolisch
+    \item Inertialsystem
+    \item Überbestimmtheit?
+\end{itemize}
+
+\section{Erhaltung aus elektrischer Ladung}
+
+Betrachte Maxwell (1) und (4):
+
+\begin{salign*}
+    \text{div } \vec{E} &= 4 \pi \rho  \mid  \partial_{ct}\\
+    \text{rot } \vec{B} &= \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}  \mid  \text{div }
+    \intertext{Damit folgt}
+        \text{div } \text{rot } \vec{B} = 0 &= \partial_{ct} \text{div } \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \text{div }
+        \vec{\jmath} \\
+        &= 4 \pi \partial_{ct} \rho + \frac{4\pi}{c} \text{div } \vec{\jmath}
+    \intertext{Also insgesamt die sog. Kontinuitätsgleichung}
+    \partial_t \rho + \text{div } \vec{\jmath} &= 0 \tageq\label{eq:cont}
+.\end{salign*}
+In Integralform ergibt sich daraus:
+\begin{salign*}
+    \frac{\d}{\d t} \int_{V}^{}  \d[3]{r} \rho = \frac{\d }{\d t} q = - \int_{V}^{}  \d[3]{r} \text{div }
+    \vec{\jmath} &\stackrel{\text{Gauß}}{=} - \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{\jmath} 
+.\end{salign*}
+Die Elektrodynamik ist eine Kontinuumstheorie. Ladung ist dabei eine Art ,,Fluid``.
+
+\section{Elektromagnetische Dualität}
+
+Betrachte die Maxwell-Gleichungen im Vakuum, d.h. $\rho = 0$, $\vec{\jmath} = 0$. Dann gilt
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item $\text{div } \vec{E} = 0$
+    \item $\text{div } \vec{B} = 0$
+    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B}$
+    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E}$
+\end{enumerate}
+
+Vertauschung $\vec{E} \longrightarrow \vec{B}$, $\vec{B} \longrightarrow - \vec{E}$: Dualität
+
+Warum existieren eigentlich keine magnetischen Ladungen?
+
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item $\text{div } \vec{E} = 4 \pi \rho$
+    \item $\text{div } \vec{B} = 4 \pi \rho_{m}$
+    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}_m$
+    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}$
+\end{enumerate}
+
+Es folgt also direkt $\partial_t \rho_m + \text{div } \vec{\jmath} = 0$ analog zu \ref{eq:cont}.
+
+\end{document}

theoIII.tex

@@ -22,4 +22,6 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 
 \tableofcontents
 
+\input{theo1.tex}
+
 \end{document}