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theo03.tex

@@ -0,0 +1,326 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\usepackage{tikz-3dplot}
+\begin{document}
+
+\section{Randbedingungen von Feldern auf Oberflächen}
+Wir definieren die Oberflächenladung (siehe Abb. \ref{abb:oberflaeche}) als
+\[
+    \sigma(\vec{r}) \coloneqq \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta S}
+.\] 
+\begin{figure}[h]
+    \label{abb:oberflaeche}
+\tdplotsetmaincoords{70}{110}
+\begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords]
+    \fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle;
+    \draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, 0.5) -- cycle ;
+    \draw[black, dotted] (-0.5, -0.5, 0) -- (0.5, -0.5, 0) -- (0.5, 0.5, 0) -- (-0.5, 0.5, 0) -- cycle ;
+    \node at (0, 0.7, 0) {$\Delta S$};
+    \node at (0, -0.2, 0) {$\sigma$};
+    \node[blue] at (0, 0.7, 0.5) {$\Delta V$};
+    \draw[blue] (-0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5)
+        -- cycle;
+    \draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5);
+    \draw[blue] (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5);
+    \draw[blue] (0.5, 0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5);
+    \draw[blue] (-0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, -0.5);
+    \draw[->] (0, 0, -1) node[left]{$E_1^{\perp}$} -- (0, 0, 0) ; 
+    \draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0, 1) node[below left]{$E_2^{\perp}$}; 
+\end{tikzpicture}
+\centering
+\caption{Senkrechte Komponenten eines elektrischen Feldes durch Oberfläche mit Oberflächenladung $\sigma$.}
+\end{figure}
+
+Für das Integrationsvolumen betrachten wir die Divergenz des elektrischen Felds:
+\begin{salign*}
+    \int_{\Delta V}^{}  \d[3]{r} \div \vec{E}
+    &\stackrel{\text{Gauß}}{=}
+    \int_{\Delta S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} \\
+    &= 4 \pi q \\
+    &= 4 \pi \int_{\Delta S}^{}  \d S \cdot \sigma \\
+    &\stackrel{\text{Vernachlässigung der Seiten}}{=} \Delta S ( E_2^{\perp} - E_1^{\perp})
+    \intertext{Damit folgt}
+    E_2^{\perp} &= E_1^{\perp} + 4 \pi \sigma
+.\end{salign*}
+
+\begin{figure}[h]
+    \label{abb:oberflaeche-2}
+\tdplotsetmaincoords{70}{110}
+\begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords]
+    \fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle;
+    \draw[blue] (0, -0.5, -0.5) -- (0, 0.5, -0.5) -- (0, 0.5, 0.5) -- (0, -0.5, 0.5) -- cycle ;
+    \node[blue] at (0, 0.7, -0.3) {$\Delta S$};
+    \node[blue] at (0, 0, 0.7) {$\Delta r$};
+    \draw[->] (-0.5, -1, -1) node[left]{$\vec{E}_1$} -- (0, 0, 0) ; 
+    \draw[dashed] (-0.5, -1, -1) -- (0, -0.8, 0);
+    \draw[->] (0, -0.8, 0) node[left]{$E_1^{\parallel}$}-- (0, 0, 0);
+    \draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0.8, 0) node[right]{$E_2^{\parallel}$};
+    \draw[dashed] (0, 0.8, 0) -- (0.5, 1, 1);
+    \draw[->] (0, 0, 0) -- (0.5, 1, 1) node[above left]{$\vec{E}_2$}; 
+\end{tikzpicture}
+\centering
+\caption{Parallele Komponenten eines elektrisches Feldes durch Oberfläche.}
+\end{figure}
+
+Es liegt Elektrostatik vor. Damit ist $\vec{E} = - \nabla \phi$, also folgt
+$\rot \vec{E} = - \rot \nabla \phi = 0$, da die Rotation von Gradientenfeldern verschwindet.
+
+\begin{salign*}
+    \int_{\Delta S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \rot\vec{E}
+    &\stackrel{\text{Stokes}}{=} 
+    \int_{\partial \Delta S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{E} \\
+    &\stackrel{\text{Vernachlässigung der Höhe}}{=}
+    \Delta r (E_2^{\parallel} - E_1^{\parallel}) \\
+    &= 0
+    \intertext{Damit folgt}
+    E_2^{\parallel} &= E_1^{\parallel}
+.\end{salign*}
+
+Im Vergleich fällt auf, dass das elektrische Feld senkrecht zur Oberfläche einen Sprung macht bei
+Durchstoßen der Oberfläche, sobald die Fläche eine Oberflächenladung besitzt. Dahingegen verändert sich 
+die parallele Komponente nicht.
+
+\textbf{Wiederholung}
+
+Elektrisches Feld $\vec{E}$ und elektrostatisches Potential $\phi$. Dann ist
+\begin{salign*}
+    \vec{E}(\vec{r}) &= q_1 \frac{\vec{r} - \vec{r}_1}{| \vec{r} - \vec{r}_1|^{3}}
+    \intertext{Bei mehreren Ladungen folgt mit Superpositionsprinzip}
+    \vec{E}(\vec{r}) &= \sum_{i}^{n} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^{3}}
+    \intertext{Im Kontinuumslimes ergibt sich} 
+    \vec{E}(\vec{r}) &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^{3}}
+    \intertext{Aus 3. Maxwell Gleichung folgt im statischen Fall $\rot \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} = 0$,
+    d.h. es muss ein Potential $\phi$ geben, mit $\vec{E} = - \nabla \phi$:}
+    \vec{E}(\vec{r}) &= - \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \nabla \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    = - \nabla \underbrace{\int_{}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}}_{= \phi(\vec{r})}
+    = - \nabla \phi
+    \intertext{Aus der 1. Maxwell Gleichung ($\div \vec{E} = 4 \pi \rho$) folgt}
+    \div \vec{E} &= - \div \nabla \phi = - \Delta \phi = 4 \pi \rho \qquad \text{(Poisson-Gleichung)}
+.\end{salign*}
+
+Die Maxwell-Gleichungen beschreiben eine Kontinuums-Theorie. Wie können dann Punktladungen
+in dieser Theorie beschrieben werden? Für Punktladung an der Stelle $\vec{r}'$ ist
+\begin{salign*}
+    \rho(\vec{r}) = q \cdot \underbrace{\delta_D (\vec{r} - \vec{r}')}_{\sim \text{Volumen}^{-1}}
+.\end{salign*}
+
+Wieso hat die Dirac Funktion die Einheit eines reziproken Volumens? Das folgt aus der Normierung
+\begin{align*}
+    \int_{}^{}  \d[3]{r} \delta_D | \vec{r} - \vec{r}'| = 1
+\end{align*}
+woraus direkt
+\begin{align*}
+    \int_{}^{}  \d[3]{r} \rho{\vec{r}} = q
+\end{align*}
+folgt.
+
+\textbf{Dirac-Funktion als Kontinuumslimes des Kronecker $\delta$}
+
+\begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
+\begin{itemize}
+    \item $\sum_{i=1}^{n} \delta_{ij} = 1$
+    \item $\sum_{i=a}^{b} \delta_{ij} = \begin{cases}
+            1 & \text{falls } a \le j \le b \\
+            0 & \text{sonst}
+    \end{cases}$
+    \item $\sum_{i=1}^{n} \delta _{ij} A^{i} = A_j$
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+vs.
+\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
+\begin{itemize}
+    \item $\int_{-\infty}^{\infty}  \d x \delta_D(x - x') = 1$
+    \item $\int_{a}^{b}  \d x \delta_D(x - x') = \begin{cases}
+            1 & \text{falls }a \le x' \le b \\
+            0 & \text{sonst}
+        \end{cases}$
+    \item $\int_{-\infty}^{\infty}  \d x \varphi(x) \delta_D(x -x') = \varphi(x')$ (Faltungsintegral)
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}[default 2d plot, xtick={1.2}, xticklabels={$x'$}, ytick={1},
+            xlabel=$x$, ylabel=$\varphi(x)$, grid=none, minor tick num=0]
+            \addplot[domain=0:2,samples=90] {0.5*sin(90*x^2)};
+            \draw (1.15, 0) -- (1.15, 0.5) -- (1.25, 0.5) -- (1.25, 0);
+        \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Gestalt der Dirac Funktion}
+\end{figure}
+
+Verbindung der kontinuierlichen Welt der Maxwell-Gleichungen mit der Intuition der diskreten Punktladungen.
+
+\begin{salign*}
+    \vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|^{3}}
+    = - \nabla \sum_{i} \frac{q_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|} = - \nabla \phi(\vec{r})
+.\end{salign*}
+Wie wird nun $\div \vec{E} = - \nabla \phi$ berechnet?
+\begin{salign*}
+    \Delta \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r}'|} = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}')
+.\end{salign*}
+Die $\delta_D$ Funktion ist die Kontinuumsbeschreibung von Punktladungen.
+
+\section{Differentialoperatoren und Green-Funktionen}
+
+Nach Poisson-Gleichung ist
+\begin{salign*}
+    \Delta \phi(\vec{r}) &= - 4 \pi \rho (\vec{r}) \text{, gelöst von } \phi(\vec{r}) = \int_{}^{} 
+    \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\
+    \Delta \phi &= \Delta \int_{}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    = \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \Delta \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    = \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \cdot (-4 \pi) \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho(\vec{r})
+.\end{salign*}
+Interpretation von links nach rechts: $\Delta \phi = - 4 \pi \rho$: Lokalisierung von Ladungen aus $\phi$
+heraus.
+
+\begin{figure}[h]
+    \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \draw (0,0) circle (2cm);
+            \node at (2,2) {$\phi = \text{const}$};
+            \foreach \a in {0,60,...,300} {\draw[->] (\a:2) -- (\a:1.5); };
+            \draw[fill] (0,0) circle (0.1cm);
+        \end{tikzpicture}
+        \subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho \neq 0 $}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \draw (0,0) .. controls (1.5,1) .. (4,1.5);
+            \draw (0,-1) .. controls (1.8,0) .. (4,0) coordinate (line2);
+            \node at (4,2) {$\phi = \text{const}$};
+            \draw[->] (2.5, 1.3) -- (2.2, 1.9);
+            \draw[->] (2.0, 1.1) -- (1.7, 1.7);
+            \draw[->] (2.5, 0.1) -- (2.2, 0.7);
+            \draw[->] (2.0, -0.1) -- (1.7, 0.5);
+        \end{tikzpicture}
+        \centering
+        \subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho = 0$}
+    \end{subfigure}
+\end{figure}
+
+Interpretation von rechts nach links: Achtung: Gefährlicher Unfug:
+\begin{salign*}
+    \Delta \phi &= - 4 \pi \rho \qquad  \mid \Delta^{-1} \text{ ,,inverser Differentialoperator''} \\
+    \implies \phi &= \Delta^{-1} \left[ - 4 \pi \rho \right] = \int_{}^{}  \d[3]{r'}
+    \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+.\end{salign*}
+$\int_{}^{}  \d[3]{r}' \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \left[ \ldots \right]$ ist die inverse
+Operation zu $\Delta [ \ldots ]$. In Worten der Funktionalanalysis heißt dann
+
+$\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$ die Green-Funktion des Differentialoperators $\Delta$. Für uns
+Green-Funktion immer gleich dem Potential einer Punktladung.
+
+\chapter{Potentialtheorie}
+
+Ziel: Lösen von Poisson-Problemen.
+
+\section{Green-Theoreme}
+
+Seien $\varphi, \psi$ zwei skalare Felder. Dann ist
+\begin{align*}
+    \vec{A}(\vec{r}') &= \varphi(\vec{r}') \cdot \nabla'\psi(\vec{r}')  \\
+    \div' A (\vec{r}') &= \nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi + \phi \Delta'\psi \text{ (Produktregel)} \\
+    \intertext{Mit Satz von Gauß folgt dann}
+    \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}') &= \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}'} \cdot \vec{A}(\vec{r}')
+    \qquad \d{\vec{S}} = \vec{n} \cdot \d s
+.\end{align*}
+
+Damit folgen die Green-Theoreme:
+
+\begin{satz}[1. Green-Theorem]
+    \begin{align*}
+        \int_{V}^{} \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}')
+        = \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \div'(\varphi \nabla' \psi)
+        &= \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \left[ \nabla'\varphi \cdot \nabla ' \psi + \varphi \Delta'\psi \right]  \\
+        &= \int_{\partial V}^{}  \d{S'} \varphi \cdot \underbrace{\nabla' \psi \cdot \vec{n}'}_{\frac{\partial \psi}{\partial n'}}
+    .\end{align*}
+\end{satz}
+
+Vertausche nun $\varphi$ und $\psi$ und subtrahiere zwei Kopien des ersten Green-Theorems. Dabei
+fällt $\nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi$ heraus.
+
+\begin{satz}[2. Green-Theorem]
+    \begin{align*}
+        \int_{V}^{} \d[3]r' \left[ \varphi \cdot \nabla'\psi - \psi \nabla ' \varphi \right]
+        = \int_{\partial V}^{}  \d S' \left[ \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n'} \right]
+    .\end{align*}
+\end{satz}
+
+Nun Anwendung durch Wahl der Felder: $\psi = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$, damit
+$\Delta' \psi = - 4 \pi \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')$. Weiter sei
+$\varphi = \phi$ Potential, also $\nabla' \phi = - 4 \pi \rho(\vec{r}')$ (Poisson-Gleichung).
+
+Substitution in das 2. Green-Theorem:
+\begin{align*}
+    \int_{V}^{} \d[3]{r'} \Big[ \underbrace{\phi(\vec{r}')}_{\varphi} \cdot \underbrace{(-4 \pi) \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')}_{\Delta \psi}
+    + \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}_{\psi} \underbrace{4 \pi \rho(\vec{r}')}_{\Delta \phi} \Big]
+    &= - 4 \pi \phi(\vec{r}) + 4 \pi \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\
+    &= \int_{\partial V}^{}  \d{S'} \Big[ \phi(\vec{r}') \cdot \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} - \frac{\partial}{\partial n'} \phi(\vec{r}') \Big]
+.\end{align*}
+
+Auflösen nach $\phi$ ergibt
+
+\begin{align*}
+    \phi(\vec{r}) =
+    \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    + \frac{1}{4\pi} \int_{\partial V}^{}  \d{S'}
+    \Big[ \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \frac{\partial}{\partial n'} \phi}
+        _{ \substack{\text{Neumann-Randbedingung} \\\nabla \phi \text{ auf } \partial V}}
+        - \underbrace{\phi(\vec{r}') \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}
+        _{\substack{\text{Dirichlet-Randbedingung} \\ \phi \text{ auf } \partial V}}
+        \Big]
+.\end{align*}
+Falls $\partial V$ unendlich weit weg ist, bleibt nur der erste Term übrig. Bei der Festlegung der
+Randbedingungen, darf jeweils auf einem Flächenelement nur eine Neumann-Randbedingung oder eine
+Dirichlet-Randbedingung festgelegt werden, da sonst Probleme bezüglich der Bestimmtheit des Potentialproblems
+entstehen.
+
+\section{Eindeutigkeit der Potentiale}
+
+Seien $\phi_1, \phi_2$ Potentiale und Lösungen der Poisson-Gleichung,
+also
+\begin{align*}
+    \Delta \phi_1 = - 4\pi\rho = \Delta \phi_2 \implies \Delta (\underbrace{\phi_1 - \phi_2}_{=u}) = 0
+.\end{align*}
+Mit 1. Green-Theorem folgt
+\begin{align*}
+    \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \Big[ u \underbrace{\Delta' u}_{=0} - (\nabla' u)^2  \Big]
+    = \int_{\partial V}^{}  \d{S'} u \frac{\partial u}{\partial u'}
+.\end{align*}
+Fallunterscheidung nach Wahl der Randbedingung für Potentialproblem:
+\begin{itemize}
+    \item Neumann-Randbedingungen: $\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = \frac{\partial \phi_2}{\partial n}
+        \implies \frac{\partial u}{\partial n} = 0$ auf $\partial V$.
+    \item Dirichlet-Randbedingungen: $\phi_1 = \phi_2 \implies u = 0$ auf $\partial V$.
+\end{itemize}
+Damit verschwindet die rechte Seite immer und es folgt
+\begin{align*}
+    \int_{V}^{} \d[3]{r'} \underbrace{(\nabla ' u)^2}_{\ge 0} = 0
+.\end{align*}
+Also folgt bereits $\nabla' u = 0$, also $\phi_2 = \phi_1 + \text{const}$.
+Bei Dirichlet-Randbedingungen folgt damit, wegen $u = 0$ auf $\partial V$, dass $\phi_1 = \phi_2$.
+
+\section{Green-Funktionen}
+
+\begin{align*}
+    \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \text{ mit }
+    G(\vec{r} - \vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + F(\vec{r}, \vec{r}')
+.\end{align*}
+
+$F(\vec{r}, \vec{r}')$ hat die Eigenschaft $\Delta F(\vec{r}, \vec{r}') = 0$: Vakuum. Erfüllen
+von Randbedingungen (,,Spiegelladungen'').
+
+\begin{align*}
+    \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') &= - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \qquad 
+    \mid \cdot \rho(\vec{r}), \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \\
+    \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') \cdot \rho(\vec{r}')
+    &= \Delta \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = \Delta \phi \\
+    &= -4 \pi \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \rho (\vec{r}') \cdot \delta_D(\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho
+.\end{align*}
+
+Green-Funktionen sind für lineare Feldgleichungen $\implies$ Superpositionsprinzip.
+
+\end{document}

theo04.tex

@@ -0,0 +1,223 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\usepackage{tikz-cd}
+\usetikzlibrary{quotes,angles,babel}
+
+\begin{document}
+
+\newcommand\irregularcircle[2]{% radius, irregularity
+  \pgfextra {\pgfmathsetmacro\len{(#1)+rand*(#2)}}
+  +(0:\len pt)
+  \foreach \a in {10,20,...,350}{
+    \pgfextra {\pgfmathsetmacro\len{(#1)+rand*(#2)}}
+    -- +(\a:\len pt)
+  } -- cycle
+}
+
+\section{Systematische Konstruktion von Green-Funktionen}
+
+\begin{salign*}
+    \Delta \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= (-4\pi) \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \qquad 
+    \mid \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \\
+    \intertext{Durch Superposition der Coulomb-Felder der Einzelladungen folgt damit}
+    \Delta \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    &= \Delta \phi = -4 \pi \int_{V}^{}  \d[3]r' \rho(\vec{r}') \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')
+    = - 4 \pi \rho(\vec{r})
+.\end{salign*}
+Jetzt: Green-Funktionen für andere Differentialoperatoren, z.B.: $\Delta - m^2$ oder
+$\square = \partial_{ct}^2 - \Delta$.
+
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Lösung der Feldgleichung: algebraisch statt differentiell. Dafür: Fourier-Transformation
+        \begin{align*}
+            \Delta \phi &= - 4 \pi \rho \qquad \text{Poisson-Gleichung} \\
+            \rho(\vec{r}) &= \int_{}^{}  \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \rho(\vec{k}) \exp(i\vec{k}\vec{r})
+            \xrightleftharpoons[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}}
+            \rho(\vec{k}) = \int \d[3]{r} \rho(\vec{r}) \exp(- i \vec{k} \vec{r}) \\
+            \phi(\vec{r}) &= \int_{}^{}  \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k}) \exp(i\vec{k}\vec{r})
+            \xrightleftharpoons[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}}
+            \phi(\vec{k}) = \int \d[3]{r} \phi(\vec{r}) \exp(- i \vec{k} \vec{r})
+            \intertext{Die Fouriertransformation angewendet auf die Poisson-Gleichung ergibt dann}
+            \Delta \phi(\vec{r}) &= \Delta \int_{}^{}  \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k})
+            \exp(i \vec{k} \vec{r}) = \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k})(ik)^2
+            \exp(i \vec{k}\vec{r}) = \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} (-4\pi) \rho(\vec{k})
+            \exp(i \vec{k} \vec{r})
+        .\end{align*}
+        Durch Integrandenvergleich folgt
+        \begin{align*}
+            \Delta \phi = - 4 \pi \rho \text{ im Fourier-Raum: } -k^2 \phi(\vec{k}) = - 4 \pi \rho(\vec{k})
+        .\end{align*}
+        Wir erhalten also eine algebraische Gleichung im Fourier-Raum, die sehr leicht gelöst werden kann:
+        \begin{align*}
+            \phi(\vec{k}) = \frac{4\pi}{k^2}\rho(\vec{k})
+        .\end{align*}
+        Damit ergibt sich folgendes Diagramm
+        \[
+        \begin{tikzcd}
+            \phi(\vec{k}) \arrow{r}{\cdot \frac{k^2}{4\pi}} \arrow[swap]{d}{\mathcal{F}^{-1}}
+            & \rho(\vec{k}) \\
+            \phi(\vec{r}) \arrow{r}{\Delta } & \arrow{u}{\mathcal{F}} \rho(\vec{r})
+\end{tikzcd}
+        .\] Damit folgt als Lösung der Poisson-Gleichung:
+        \[
+            \phi(\vec{r}) = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{4\pi}{k^2} \mathcal{F}[ \rho(\vec{r})] \right] 
+        .\] 
+        Fourier-Transformationen sind numerisch extrem effizient berechenbar mithilfe von
+        ,,fast Fourier-transform''.
+    \item Faltungen im Realraum sind Produkte im Fourier-Raum.
+        \begin{align*}
+            \varphi \otimes \psi (\vec{r}) &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}}
+            \left[ \varphi(\vec{k}) \cdot \psi(\vec{k}) \right] \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\
+            &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}}
+                \int_{}^{}  \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}') \exp(- i \vec{k} \vec{r}')
+                \int_{}^{}  \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'') \exp(- i \vec{k} \vec{r}) \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\
+            &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}')
+            \int_{}^{}  \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'')
+            \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \exp[i \vec{k}(\vec{r} - \vec{r}' - \vec{r}'')]
+            \intertext{In einer ebenen Welle ist nur eine Frequenz enthalten, deren Spektrum aufgrund
+                von Normierung divergieren muss. Die Fouriertransformierte der ebenen Welle ist also
+            wieder die Dirac-Funktion}
+            &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}')
+            \int_{}^{}  \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'')
+            \delta_D((\vec{r} - \vec{r}') - \vec{r}'') \\
+            &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}') \psi(\vec{r} - \vec{r}')
+        .\end{align*}
+        Wir erhalten also tatsächlich eine Faltung zwischen $\varphi$ und $\psi$.
+    \item Berechnung der Fourier-Transformierten der Green-Funktion
+        Idee: $\frac{4\pi}{k^2}$ ist die Green-Funktion von $\Delta (\sim -k^2)$ im Fourier-Raum.
+        \begin{align*}
+            \phi(\vec{r}) = \underbrace{\int_{}^{}  \d[3]{r'} G(\vec{r}, \vec{r}') \rho(\vec{r}')}_{\text{Faltung}}
+            \xrightarrow{\text{Fourier}}
+            \phi(\vec{k}) = \underbrace{G(\vec{k}) \cdot \rho(\vec{k})}_{\text{Produkt}}
+        .\end{align*}
+        Zu zeigen:
+        \begin{align*}
+            G(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \xleftarrow{\mathcal{F}^{-1}}
+            G(\vec{k}) = \frac{4\pi}{k^2}
+        .\end{align*}
+        Es ist
+        \begin{align*}
+            G &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} G(\vec{k}) \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\
+            \intertext{Da $G(\vec{k})$ sphärisch symmetrisch, verwenden wir Kugelkoordinaten. Mit
+            $\mu \coloneqq \cos \sphericalangle(\vec{k}, \vec{r})$ ist $\vec{k} \cdot \vec{r} = kr \mu$.
+        Damit folgt:}
+            G &= \int_{0}^{\infty}\frac{k^2 \d k}{(2\pi)^{3}} \int_{-1}^{1}  \d{\mu}
+            \underbrace{\int_{0}^{2\pi}  \d{\varphi}}_{=2\pi} \frac{4\pi}{k^2}\exp(ikr\mu) \\
+            &= \int_{0}^{\infty}\frac{4\pi}{(2\pi)^2} \d k \cdot \int_{-1}^{1}  \d \mu \exp(-ikr \mu) \\
+            &= \int_{0}^{\infty}\frac{4\pi}{(2\pi)^2} \d k \cdot \frac{\exp(-ikr) - \exp(ikr)}{-ikr} \\
+            &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty}  \d k \frac{\sin(kr)}{kr} \\
+            &= \frac{2}{\pi} \frac{1}{r} \underbrace{\int_{0}^{\infty}  \d{(kr)} \frac{\sin(kr)}{kr}}_{= \frac{\pi}{2} \text{ siehe Funktheo}}
+        .\end{align*}
+\end{enumerate}
+
+\section{Multipolentwicklung}
+
+Betrachte eine komplizierte Ladungsverteilung. Von sehr weit weg, geht das elektrische Feld in ein
+Coulomb-Feld über, das heißt Details in der Ladungsverteilung werden weniger relevant.
+
+\begin{figure}[h]
+    \begin{tikzpicture}
+        \draw (1, 2) \irregularcircle{1cm}{3mm};
+        \node at (2.7,3) {$\rho \neq 0$};
+        \draw[->] (0,0) coordinate (origin) -- (1,2) coordinate (r1) node[above right]{$\vec{r}'$};
+        \draw[->] (origin) -- (4,1) coordinate (r2) node[above right]{$\vec{r}$};
+        \pic [draw, ->, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle = r2--origin--r1};
+        \node at (3, 0.1) {$\mu \coloneqq \cos \alpha$};
+    \end{tikzpicture}
+    \centering
+    \caption{Komplizierte Ladungsverteilung}
+\end{figure}
+
+\begin{align*}
+    \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= \frac{1}{\sqrt{(\vec{r} - \vec{r}'})^2}
+    = \frac{1}{\sqrt{r^2 - 2r r' \mu + r'^2} } = \frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \frac{r'}{r} \mu + \left( \frac{r'}{r} \right)^2} }
+    \intertext{Annahme, dass $r \gg r' \sim $ Beobachter weit weg im Vergleich zur Ausdehnung von $\rho$.}
+    \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &=
+    \frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty} \left( \frac{r'}{r} \right)^{l} \underbrace{P_l(\mu)}_{\text{Legendre-Polynome}}
+    = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{r'^{l}}{r^{l+1}} P_l(\mu)
+.\end{align*}
+Für die Legendre-Polynome gilt:
+\[
+    \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \mu x + x^2} } = \sum_{l=0}^{\infty} P_l(\mu) x^{l}
+.\] Durch die Operation $\frac{\d[l]{}}{\d{x^l}}$ und anschließendes Setzen von $x=0$ erhalten wir das
+$l$-te Legendre Polynom. Damit folgt
+\begin{align*}
+    P_0(\mu) =  1, P_1(\mu) = \mu, P_2(\mu) = \frac{1}{3} (3 \mu^2 -1), P_3(\mu) = \frac{1}{2} (5\mu^{3} - 3\mu^2)
+.\end{align*}
+alternativ Formel von Rodriguez:
+\[
+    P_l(\mu) = \frac{1}{2^{l}l!} \frac{\d[l]{}}{\d \mu^{l}}(\mu^2 -1)^{l}
+.\] 
+
+Kugelflächenfunktionen $Y_{lm}(\theta, \varphi) \xrightarrow{} P_l(\cos \alpha)$ Legendre-Polynome.
+\begin{align*}
+    P_l(\mu) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^{l} Y_{lm}(\theta, \varphi) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')
+    \qquad \text{(Additionstheorem)}
+.\end{align*}
+
+\begin{figure}[h]
+    \begin{tikzpicture}
+        \draw[->] (0,0) coordinate (origin) -- (1,2) coordinate (r1) node[above right]{$\vec{r}' = (r', \theta', \varphi')$};
+        \draw[->] (origin) -- (4,1) coordinate (r2) node[above right]{$\vec{r} = (r, \theta, \varphi)$};
+        \pic [draw, ->, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle = r2--origin--r1};
+    \end{tikzpicture}
+    \centering
+    \caption{Situation}
+\end{figure}
+
+Damit erhalten wir
+\begin{align*}
+    \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r'^{l}}{r^{l+1}}
+    \cdot Y_{lm}(\theta, \varphi) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')
+    \intertext{Damit folgt}
+    \phi(\vec{r}) &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{lm} (\theta, \varphi) \cdot 
+    \underbrace{\int_{}^{}  \d[3]{r'} r'^{l} \rho(\vec{r'}) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')}
+    _{= q_{lm} \text{ Multipolmomente}} \\
+    \phi(\vec{r}) &= \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{lm}(\theta, \phi) \cdot q_{lm}
+.\end{align*}
+Mutipolmomente
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Information über die Ladungsverteilung: Größe, Stärke und Form
+    \item Einfluss nimmt mit $\frac{1}{r^{l+1}}$ ab. Dominierender Term $\frac{1}{r}$-Term bei großem
+        Abstand
+\end{enumerate}
+
+Monopol $l=0$, also nur $1$ Koeffizient, $m = 0$ $\sim $ Gesamtladung.
+\begin{align*}
+    q_{00} = \int \d[3]{r'} r'^{0} \rho(\vec{r}') \cdot \underbrace{Y_{00}^{*}(\theta, \varphi)}_{\frac{1}{\sqrt{4\pi} }} = \frac{q}{\sqrt{4\pi} }
+.\end{align*}
+
+Dipol $l=1$, also $3$ Koeffizienten, $m \in \{-1, 0, 1\} $.
+\begin{align*}
+    q_{1m} = \int_{}^{}  \d[3]{r'}\rho(\vec{r}') r' Y_{1m}^{*}(\theta', \varphi') \sim \text{ Ladung } \times  
+    \text{ Abstand}
+.\end{align*}
+
+Quadrupol $l=2$, also $5$ Koeffizienten, $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} $.
+\begin{align*}
+    q_{2m} = \int \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') r'^2 Y_{2m}^{*}(\theta', \varphi') \sim \text{ Ladung } \times \text{ Fläche}
+.\end{align*}
+Oktupol $l=3$\\
+Hexadekupol $l=4$
+
+Hermitizität:
+\begin{align*}
+    Y_{lm}^{*}(\theta, \varphi) &= (-1)^{m} Y_{l,-m}(\theta, \varphi)
+    \intertext{Damit folgt}
+    q_{lm}^{*} &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} r'^{l} \rho(\vec{r}') Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')
+    = (-1)^{m} \int_{}^{}  \d[3]{r'}r'^{l} \rho(\vec{r}') Y_{l, -m}(\theta', \varphi') \\
+    &= (-1)^{m} q_{l, -m}
+.\end{align*}
+Für reelle Ladungsverteilungen existieren also $(l+1)$ unabhängige Multipole.
+
+\section{Kugelflächenfunktionen: sphärisch harmonische Funktionen}
+
+\begin{align*}
+    \Delta \exp(- i \vec{k} \vec{r}) &= - k^2 \exp(\pm i\vec{k}\vec{r})
+    \implies (\Delta + k^2) \exp(\pm i\vec{k}\vec{r}) = 0 \qquad (\text{ Helmholtz-Differentialgleichung}) \\
+    \Delta_{\theta, \varphi} Y_{lm}(\theta, \varphi) &= - l(l+1) Y_{lm}(\theta, \varphi) \implies
+    (\Delta_{\theta, \varphi} + l(l+1)) Y_{lm}(\theta, \varphi) = 0
+.\end{align*}
+
+\end{document}

theoIII.tex

@@ -3,6 +3,9 @@
 \usepackage{standalone}
 \usepackage{tikz}
 \usepackage{subcaption}
+\usepackage{tikz-cd}
+\usepackage{tikz-3dplot}
+\usetikzlibrary{quotes,angles,babel}
 
 \title{Theoretische Physik 3: Elektrodynamik}
 \author{Prof. Dr. Bjoern Malte Schäfer\\[5mm]
@@ -24,5 +27,7 @@ Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidel
 
 \input{theo01.tex}
 \input{theo02.tex}
+\input{theo03.tex}
+\input{theo04.tex}
 
 \end{document}