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theo01.tex

@@ -66,7 +66,7 @@ in Inertialsystemen (oder lokal in frei fallenden Systemen).
             \int_{\partial V} \d{\vec S} \cdot \vec E = 4\pi r^2 \cdot |\vec E(r)| = 4\pi q \implies |E| \sim \frac{q}{r^2}.
         \]
         Damit haben wir also das Coulomb-Gesetz in Zusammenhang zu den Maxwell-Gleichungen gesetzt.
-        \item $\div \vec{B} = \nabla \times \vec{B} = \partial_i B^i = 0$
+        \item $\div \vec{B} = \nabla \cdot \vec{B} = \partial_i B^i = 0$
         \begin{figure}[ht]
             \centering
             \begin{tikzpicture}

theo02.tex

@@ -77,7 +77,7 @@ Eingesetzt in die Gleichung von oben erhalten wir
    \[\phi(\vec r) = \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}.
    \]
 \end{definition}
-Für die Elektrostatik gilt also $\rot \vec E = - \rot \vec \phi = 0$. Aus den Maxwell-Gleichungen erhalten wir konsistenterweise $\rot \vec E = -\partial_{ct} \vec B = 0$. 
+Für die Elektrostatik gilt also $\rot \vec E = - \rot \nabla \phi = 0$. Aus den Maxwell-Gleichungen erhalten wir konsistenterweise $\rot \vec E = -\partial_{ct} \vec B = 0$. 
 \begin{align*}
     W_{AB} &= q \int_A^B \d{\vec S} \cdot \vec E\;\sim \text{ Verschiebearbeit}\\
     &= q\cdot \left| \phi(\vec r_B) - \phi(\vec r_A)\right|\; \sim \text{Interpretation von $\phi$ als potentielle Energie}
@@ -108,7 +108,7 @@ Aus
 Wir berechnen nun $\Delta \phi$ an einem Ort $\neq 0$ im Feld einer Punktladung.
 \begin{align*}
     \phi(\vec r) &= \frac{1}{|\vec r - \vec r'|} &&\text{Potenzial einer Punktladung }\vec r'\\
-    \Delta \phi &= \Delta \frac{1}{r}\\
+    \Delta \phi &= \Delta \frac{1}{r} &&\text{sphärische Symmetrie}\\
     &= \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}\underbrace{\left(r \cdot \frac{1}{r}\right)}_{= \text{const}}\\
     &= 0
 \end{align*}
@@ -137,9 +137,9 @@ wenn $q$ bei $\vec r'$ liegt.
 \begin{enumerate}
     \item Für das Potenzial gilt
     \begin{salign*}
-        \phi(\vec r) &= \int_V \d[3]{R'} \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'},\quad \rho \to 0.
+        \phi(\vec r) &= \int_V \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|},\quad \rho \to 0.
     \intertext{Dann erhalten wir}
-    \Delta \phi &= \int_V \d[3]{r'} \Delta \frac{1}{|\vec r - \vec r'|}\\
+    \Delta \phi &= \int_V \d[3]{r'} \rho(r') \Delta \frac{1}{|\vec r - \vec r'|}\\
     &= -4\pi  \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \delta_D(\vec r - \vec r')
     \intertext{Es gilt $\int_V \d[3]{r'}\varphi(\vec r') \delta_D(\vec r - \vec r') = \varphi(\vec r)$ und $\int \d[3]{r'} \delta_D(\vec r - \vec r') = 1$}
     &= - 4\pi \rho(\vec r)
@@ -153,15 +153,15 @@ wenn $q$ bei $\vec r'$ liegt.
         \phi(\vec r) &= \sum_{i} \frac{q_i}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
         \Delta \phi(\vec r) &= \sum_{i} q_i \Delta \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
         &= \sum_{i} q_i(-4\pi)\delta_D (\vec r - \vec r_i)\\
-        &= -4\pi \rho(\vec r)\\
-        &= \sum_{i}q_i \delta_D(\vec r - \vec r_i)
+        &= -4\pi \rho(\vec r),
     \end{salign*} 
+    wobei wir die Ladungsverteilung $\rho(\vec r) = \sum_{i } q_i \delta_{D}(\vec r - \vec r_i)$ erhalten.
 \end{enumerate}
 \section{Eigenschaften der Dirac $\delta_D$-Funktion}
 \begin{enumerate}
-    \item Normierung $\int_-\infty^\infty\d{x} \delta_D(x) = 1$
+    \item Normierung $\int_{-\infty}^\infty\d{x} \delta_D(x) = 1$
     \item Verschiebung $\int_{-\infty}^\infty\d{x}\varphi(x) \delta_D(x-a) = \varphi(a)$
-    \item Skalierung $\int_{-\infty}^\infty\d{x} \delta_D(ax) = \int_{-\infty}^\infty \d{y}\delta_D(y)$
+    \item Skalierung $\int_{-\infty}^\infty\d{x} \delta_D(ax) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\d{y}}{a}\delta_D(y)$
     \item Ableitung $\int_{-\infty}^\infty \d{x} \varphi(x) \delta_D'(x-a) = \underbrace{\varphi(x) \delta_D(x-a)\bigg|_{-\infty}^{+\infty}}_{\to 0} - \int_{-\infty}^\infty\d{x} \varphi'(x)\delta_D(x-a) = \varphi'(a)$.
 \end{enumerate}
 \section{Potenzielle Energie einer Ladungsverteilung}