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64024a2a3c
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 christian
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64024a2a3c | ||
 JosuaKugler
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JosuaKugler
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JosuaKugler
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JosuaKugler
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christian
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+2
-1
@@ -76,7 +76,8 @@
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\renewcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\renewcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\rot}{\operatorname{rot}}
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\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}
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% HEADERS
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% HEADERS
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%\newpagestyle{main}[\small]{
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%\newpagestyle{main}[\small]{
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+195
@@ -0,0 +1,195 @@
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\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\chapter{Phänomenologie der Maxwell-Gleichungen}
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\section{Elektrisches Feld}
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\begin{satz}[Coulomb Gesetz]
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Kraft zwischen zwei Ladungen
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\[
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F = k \frac{q_1 q_2}{| \vec{r}_1 - \vec{r}_2 |^2}
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.\]
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Im SI-System ist $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ mit
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$\epsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{As}}{\text{Vm}} = \frac{1}{4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}}
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\frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ mit A für Ampère und As $=$ C für Coulomb.
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Im Gauß-System ist $q = \frac{q^{*}}{\sqrt{4 \pi \epsilon_0} }$, so dass $k = 1$.
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\end{satz}
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw[fill] (-1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_1$};
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\draw[fill] (1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_2$};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Zwei Ladungen}
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\end{figure}
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\section{Elektrische Feldstärke}
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\begin{satz}[Coulomb Kraft]
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\[
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\vec{F} = q \vec{E}
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.\]
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\end{satz}
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\begin{satz}[Lorentz Kraft]
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\[
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\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}
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.\]
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\end{satz}
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\section{Maxwell-Gleichungen}
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Die Maxwell Gleichungen bilden die axiomatische Verbindung zwischen Feldern
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$\vec{E}, \vec{B}, \vec{D}, \vec{H}$ und den Ladungen $\rho, \vec{\jmath}$
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in Inertialsystemen (oder lokal in frei fallenden Systemen).
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\begin{enumerate}[(1)]
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\item $\div \vec{E} = \nabla \cdot \vec{E} = \partial_i E^i = 4\pi \rho$. Mithilfe der 1. Maxwell-Gleichung kann aus dem elektrischen Feld die Ladung bestimmt werden oder aus der Ladungsverteilung auf ein elektrisches Feld geschlossen werden.
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\begin{figure}[h]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0) circle (1.5cm);
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\node[fill = black, shape=circle, label=$\rho > 0$] (q) at (0,0) {};
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\foreach \a in {0,30,...,330} {\draw[->] (\a:1.5) -- (\a:2.5);}
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\end{tikzpicture}
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\caption{Die 1. Maxwell-Gleichung}
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\end{figure}
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\[
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\int_V \d[3]{r} \div \vec{E} \overset{\text{Gauß}}{=} \int_{\partial V} \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} = \underset{\text{el. Fluss}}{\Psi} = \int_V \d[3]{r} 4\pi \rho = 4\pi q
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\]
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Setzen wir eine sphärische Symmetrie voraus, so erhalten wir
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\[
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\int_{\partial V} \d{\vec S} \cdot \vec E = 4\pi r^2 \cdot |\vec E(r)| = 4\pi q \implies |E| \sim \frac{q}{r^2}.
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\]
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Damit haben wir also das Coulomb-Gesetz in Zusammenhang zu den Maxwell-Gleichungen gesetzt.
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\item $\div \vec{B} = \nabla \cdot \vec{B} = \partial_i B^i = 0$
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0) circle (1.5cm);
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\node[fill=black,label=$\rho_{\mathrm{mag}}\text{?}$, shape=circle] (q) at (0,0) {};
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\draw[->] (-2.5, 0) -- (-1.5, 0);
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\draw[->] (210:2.5) -- (210:1.5);
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\draw[->] (1.5,0) -- (2.5,0);
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\draw[->] (30:1.5) -- (30:2.5);
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\end{tikzpicture}
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\caption{Die 2. Maxwell-Gleichung}
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\end{figure}
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\[
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\d[3]{r} \div \vec{B} = \int_{ \partial V} \d{\vec{S}} \cdot \vec{B} = \underset{\text{mag. Fluß}}{\Phi} = 0
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\]
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Es gibt keine magnetische Ladung (elektromagnetische Dualität)
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\item $\rot \vec{E} = \nabla \times \vec E = -\partial_{ct} \vec B$. Die 3. Maxwell-Gleichung ist auch bekannt als Induktionsgesetz von Faraday und stellt eine Verbindung her zwischen magnetischem Fluss durch eine Fläche und induzierter Spannung auf dem Rand der Fläche. Das $-$ auf der rechten Seite führt zur Lenz-Regel.
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\foreach \x in {0,1,2} {\draw[->] (0,\x) to[bend left] (6,\x+2);}
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\node (B) at (7,2) {$\vec B, \dot{ \vec{B}} \neq 0$};
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\draw[dashed] (2,2.5) ellipse (1 and 1.5);
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\draw[thick] (2,4) arc (90:320:1 and 1.5);
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\draw[->] (1.9,4) -- (3,4.2);
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|
\draw[->] (1.1,3.2) -- (1.3,3.9);
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|
\draw[->] (1.3, 1.4) -- (0.8, 2.3);
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|
\draw[->] (1.9,1) -- (1, 1.2);
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\node (E) at (2.8,4.5) {$\vec E$};
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\node (S) at (2,1.3) {$S$};
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\node (dS) at (2,.8) {$\d{S}$};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Die 3. Maxwell-Gleichung}
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\end{figure}
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\[
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\int_S \d{S} \cdot \rot \vec E \overset{\text{Stokes}}{=} \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec E = \underset{\text{Spannung}}{U} = -\underbrace{\frac{\d}{\d{(ct)}}}_{\frac{1}{c}\frac{\d}{\d t}} \int \d{\vec S} \cdot \vec B = -\frac{\d}{\d{(ct)}} \Phi
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\]
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\item $\rot \vec B = \nabla \times \vec B = \partial_{ct} \vec E + \frac{4\pi}{c} \vec \jmath$. Die 4. Maxwell-Gleichung ist auch bekannt als Ampere-Gesetz und stellt eine Verbindung her zwischen elektrischen Fluss oder sich änderndem $\vec E$-Feld und einem magnetischen Feld auf dem Rand der Fläche.
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\foreach \x in {0,1,2} {\draw[->] (0,\x) to[bend left] (6,\x+2);}
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\node (E) at (7,2) {$\vec E, \dot{\vec{E}} \neq 0$};
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\node (j) at (7, 3) {$\vec \jmath$};
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\draw[dashed] (2,2.5) ellipse (1 and 1.5);
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\draw[thick] (2,4) arc (90:320:1 and 1.5);
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\draw[->] (1.9,4) -- (.8,3.8);
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\draw[->] (1.1,3.2) -- (.9,2.5);
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|
\draw[->] (1.1, 1.8) -- (1.6, .9);
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\draw[->] (1.9,1) -- (2.8, .9);
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\node (B) at (1,4.1) {$\vec B$};
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\node (S) at (2,3.8) {$S$};
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\node (dS) at (2,4.2) {$\d{S}$};
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\end{tikzpicture}
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\caption{Die 4. Maxwell-Gleichung}
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\end{figure}
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In integraler Form gilt also
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\[
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\int_S \d{\vec S}\cdot \rot \vec B
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\overset{\text{Stokes}}{=}
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\int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec B
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=
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\frac{\d{}}{\d{(ct)}} \int_S \underbrace{\d{\vec S} \cdot \vec E}_{=\Psi} + \frac{4\pi}{c}\underbrace{\int \d{\vec S} \cdot \vec \jmath}_{= I \text{ Strom}}.
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\]
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Setzen wir zylindrische Symmetrie voraus, so erhalten wir
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\[
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\int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec B = 4\pi r \left|\vec B(r)\right| = \frac{4\pi}{c} I \implies \left|\vec B\right| \sim \frac{1}{r}.
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\]
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\end{enumerate}
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\section{Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen}
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\begin{itemize}
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\item Die Maxwell-Gleichungen sind lineare ($\to$ Superposition),
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\item partielle (Ableitungen in $x^i$ und $ct$ $\to \nabla, \partial_{ct}$),
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\item hyperbolische Differenzialgleichungen (wird später noch erklärt).
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\begin{tikzpicture}
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\node (q) at (0,0) {$\rho, \vec \jmath$};
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\node (E) at (3,0) {$\vec E, \vec B$};
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\draw[->] (q) to[out = 30, in=150] node[above] {Quelle} (E);
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\draw[->] (E) to[out = -150, in=-30] node[below] {Lokalisierung} (q);
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\end{tikzpicture}
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|
\item Die Maxwell-Gleichungen ergeben nur Sinn in einem Bezugssystem, wir legen also ein Inertialsystem fest.
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\item Wir haben 2 $\div$-Gleichungen und 2 $\rot$-Gleichungen, also effektiv $1 + 1 + 3 + 3 = 8$ Gleichungen, wir untersuchen aber nur die Dynamik von $\vec E$- und $\vec B$-Feld ($3 + 3 = 6$ Komponenten). Sind die Maxwell-Gleichungen daher überbestimmt?
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\end{itemize}
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\section{Erhaltung der elektrischen Ladung}
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Betrachte Maxwell (1) und (4):
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\begin{salign*}
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\text{div } \vec{E} &= 4 \pi \rho \mid \partial_{ct}\\
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\text{rot } \vec{B} &= \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath} \mid \text{div }
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\intertext{Damit folgt}
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\text{div } \text{rot } \vec{B} = 0 &= \partial_{ct} \text{div } \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \text{div }
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\vec{\jmath} \\
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&= 4 \pi \partial_{ct} \rho + \frac{4\pi}{c} \text{div } \vec{\jmath}
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\intertext{Also insgesamt die sog. Kontinuitätsgleichung}
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\partial_t \rho + \text{div } \vec{\jmath} &= 0 \tageq\label{eq:cont}
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.\end{salign*}
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In Integralform ergibt sich daraus:
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\begin{salign*}
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\frac{\d}{\d t} \int_{V}^{} \d[3]{r} \rho = \frac{\d }{\d t} q = - \int_{V}^{} \d[3]{r} \text{div }
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\vec{\jmath} &\stackrel{\text{Gauß}}{=} - \int_{\partial V}^{} \d{\vec{S}} \cdot \vec{\jmath}
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.\end{salign*}
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Die Elektrodynamik ist eine Kontinuumstheorie. Ladung ist dabei eine Art ,,Fluid``.
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\section{Elektromagnetische Dualität}
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Betrachte die Maxwell-Gleichungen im Vakuum, d.h. $\rho = 0$, $\vec{\jmath} = 0$. Dann gilt
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\begin{enumerate}[(1)]
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\item $\text{div } \vec{E} = 0$
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\item $\text{div } \vec{B} = 0$
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\item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B}$
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\item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E}$
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\end{enumerate}
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Vertauschen wir $\vec E \to \vec B,\quad \vec B \to -\vec E$, so ändert sich an den Maxwell-Gleichungen im Vakuum nichts (Dualität).
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Warum existieren eigentlich keine magnetischen Ladungen?
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\begin{enumerate}[(1)]
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\item $\text{div } \vec{E} = 4 \pi \rho$
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\item $\text{div } \vec{B} = 4 \pi \rho_{m}$
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\item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}_m$
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\item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}$
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\end{enumerate}
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Es folgt also, analog zu \ref{eq:cont}, eine Kontinuitätsgleichung für die magnetische Ladung \[\partial_t \rho_m + \text{div } \vec{\jmath} = 0.\]
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\end{document}
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+195
@@ -0,0 +1,195 @@
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\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\section{Elektrodynamik in Materie}
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Elektrodynamik in Materie ist im Allgemeinen sehr kompliziert.
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Im einfachsten Fall ist die Wirkung
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\begin{enumerate}
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\item linear
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\item isotrop
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\item instantan
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\end{enumerate}
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Dann existiert eine effektive Beschreibung mithilfe von nur zwei Konstanten. Als erstes benötigen wir die Dieelektrizitätskonstante $e$ und die Permeabilitätskonstante $\mu$. Es gilt
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\begin{align*}
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\vec D &= e\cdot \vec E\\
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\vec B &= \mu \cdot H
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\end{align*}
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\begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
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\centering
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im Vakuum (in diesem Fall $e = \mu = 1$)
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\begin{align*}
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\div \vec E &= 4\pi \rho\\
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\div \vec B &= 0\\
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|
\rot \vec E &= - \partial_{ct} \vec B\\
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||||||
|
\rot \vec B &= + \partial_{ct} \frac{4\pi}{c} \vec \jmath
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||||||
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\end{align*}
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\end{minipage}
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\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
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|
\centering
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|
in Materie
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\begin{align*}
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||||||
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\div \vec D &= 4\pi \rho\\
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||||||
|
\div \vec B &= 0\\
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||||||
|
\rot \vec E &= -\partial_{ct} \vec B\\
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||||||
|
\rot \vec H &= +\partial_{ct} \vec D + \frac{4\pi}{c}\vec \jmath
|
||||||
|
\end{align*}
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||||||
|
\end{minipage}
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||||||
|
\section{elektrostatisches Potenzial}
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Dabei bedeutet elektrostatisch, dass alle Zeitableitungen 0 sind.
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\begin{figure}[h]
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|
\centering
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\begin{tikzpicture}
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\node[fill = black, shape = circle, inner sep = 3pt, label = $q_1$] (q1) at (0,2) {};
|
||||||
|
\draw[->] (0,0) -- node[pos=.5, left] {$\vec r_1$} (0,2);
|
||||||
|
\draw[->] (0,0) -- node[pos=.5, below right] {$\vec r$} (2,1);
|
||||||
|
\draw[dashed, ->] (0,2) -- node[pos=.5, above right]{$\vec r - \vec r_1$} (2,1);
|
||||||
|
\node[text width = 2cm] (beobachter) at (3.5,1) {Beobachter mit positiver Probeladung};
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
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||||||
|
\caption{Elektrisches Feld}
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\label{efeld}
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|
\end{figure}
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Für das elektrische Feld aus Abbildung~\ref{efeld} gilt daher
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\[
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|
\vec E(\vec r) = \frac{q_1}{|\vec r - \vec r_1|} \cdot \vec e_{\vec r - \vec r_1} = q_1 \cdot \frac{\vec r - \vec r_1}{\left|\vec r - \vec r_1\right|^3}.
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||||||
|
\]
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||||||
|
Bei vielen felderzeugenden Ladungen berechnen wir einfach die Superposition
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\[
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||||||
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\vec E (\vec r) = \sum_{i}^{n} q_i \frac{\vec r - \vec r_i}{\left|\vec r - \vec r_1\right|^3}.
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||||||
|
\]
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||||||
|
Da es sich bei der Elektrodynamik um eine Kontinuumstheorie handelt, gehen wir von $q$ zu $\rho$ über. Im Kontinuumslimes erhalten wir also
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\[
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||||||
|
\vec E(\vec r) = \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \frac{\vec r - \vec r'}{\left|\vec r - \vec r'\right|^3}.
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Im folgenden wirke $\nabla$ auf $r$ und $\nabla'$ auf $r'$. Es gilt
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\frac{\vec r - \vec r'}{\left|\vec r - \vec r'\right|^3} = -\nabla \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|} = \nabla' \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}.
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Eingesetzt in die Gleichung von oben erhalten wir
|
||||||
|
\begin{align*}
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||||||
|
\vec E(\vec r) &= \int \d[3]{r'} \rho(r') \cdot \nabla'\frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
|
||||||
|
&= - \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \nabla \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
|
||||||
|
&= -\nabla \underbrace{\int \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r')}{\left|\vec r - \vec r'\right|}}_{\eqqcolon \phi(\vec r)}\\
|
||||||
|
\to \vec E(\vec r) &= -\nabla \phi(\vec r)
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
|
\begin{definition}
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||||||
|
Das elektrostatische Potenzial $\phi$ ist gegeben durch
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\[\phi(\vec r) = \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}.
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{definition}
|
||||||
|
Für die Elektrostatik gilt also $\rot \vec E = - \rot \nabla \phi = 0$. Aus den Maxwell-Gleichungen erhalten wir konsistenterweise $\rot \vec E = -\partial_{ct} \vec B = 0$.
|
||||||
|
\begin{align*}
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||||||
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W_{AB} &= q \int_A^B \d{\vec S} \cdot \vec E\;\sim \text{ Verschiebearbeit}\\
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&= q\cdot \left| \phi(\vec r_B) - \phi(\vec r_A)\right|\; \sim \text{Interpretation von $\phi$ als potentielle Energie}
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\end{align*}
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Aus
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\begin{align*}
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\vec E(\vec r) &= - \nabla \phi(\vec r)\\
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\intertext{und dem Gauß-Gesetz}
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\div \vec E &= 4 \pi \rho
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\intertext{erhalten wir}
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- \div \nabla \phi &= -\Delta \phi = 4\pi \rho
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\end{align*}
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\begin{definition}[Laplace-Operator]
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\[
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\Delta = \div \nabla = \delta^{ij}\partial_i\partial_j
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\]
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\end{definition}
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\begin{satz}[Poisson-Gleichung]
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Es gilt
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\[
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\Delta \phi = - 4\pi \rho
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\] beziehungsweise im Vakuum
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\[
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\Delta \phi = 0
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\]
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\end{satz}
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%figure äquipotentiallinien, kästchen mit fluss rein oder raus
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Wir berechnen nun $\Delta \phi$ an einem Ort $\neq 0$ im Feld einer Punktladung.
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\begin{align*}
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\phi(\vec r) &= \frac{1}{|\vec r - \vec r'|} &&\text{Potenzial einer Punktladung }\vec r'\\
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\Delta \phi &= \Delta \frac{1}{r} &&\text{sphärische Symmetrie}\\
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&= \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}\underbrace{\left(r \cdot \frac{1}{r}\right)}_{= \text{const}}\\
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&= 0
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\end{align*}
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Nun möchten wir $\Delta \phi$ bei der Punktladung berechnen. Wir erhalten
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\begin{salign*}
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\int_V \d[3]{r} \Delta \phi &\stackrel{\Delta = \div \nabla}{=} \int_{V} \d[3]{r}\div \nabla \phi\\
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&\stackrel{\text{Gauss}}{=} \int_{\partial V} \d{\vec S} \cdot \nabla \phi\\
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||||||
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&\stackrel{\text{sph. Symmetrie}}{=} \int_{\partial V} r^2\d{\Omega} \cdot \underbrace{\frac{\partial \phi}{\partial r}}_{-\frac{1}{r^2}}\\
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&= -\int_{\partial V}\d{\Omega}\\
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&= -4\pi
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\end{salign*}
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Die Gleichung
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\[
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\Delta \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|} = -4\pi \delta_D \left|\vec r - \vec r'\right|
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\]
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kombiniert beide Fälle. Dabei ist $\delta_D$ die Dirac-Funktion.
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\section{Dirac $\delta_D$-Funktion}
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Möchte man von der Ladungsdichte $\rho(\vec r)$ auf die Ladung im Volumen $V$ schließen, berechnet man einfach
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\[q = \int_V \d[3]{r}\rho(\vec r).\]
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In die andere Richtung ist es nicht offensichtlich, hier gilt
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\[
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\rho(\vec r) = q\delta_D (\vec r - \vec r')
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\]
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wenn $q$ bei $\vec r'$ liegt.
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\begin{enumerate}
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\item Für das Potenzial gilt
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\begin{salign*}
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\phi(\vec r) &= \int_V \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|},\quad \rho \to 0.
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\intertext{Dann erhalten wir}
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\Delta \phi &= \int_V \d[3]{r'} \rho(r') \Delta \frac{1}{|\vec r - \vec r'|}\\
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&= -4\pi \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \delta_D(\vec r - \vec r')
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\intertext{Es gilt $\int_V \d[3]{r'}\varphi(\vec r') \delta_D(\vec r - \vec r') = \varphi(\vec r)$ und $\int \d[3]{r'} \delta_D(\vec r - \vec r') = 1$}
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&= - 4\pi \rho(\vec r)
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\end{salign*}
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Man kann sich die Dirac $\delta$-Funktion vorstellen als
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\[
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\lim\limits_{\sigma^2 \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right).
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\]
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\item Für diskrete Ladungen gilt
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\begin{salign*}
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\phi(\vec r) &= \sum_{i} \frac{q_i}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
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||||||
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\Delta \phi(\vec r) &= \sum_{i} q_i \Delta \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
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||||||
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&= \sum_{i} q_i(-4\pi)\delta_D (\vec r - \vec r_i)\\
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||||||
|
&= -4\pi \rho(\vec r),
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\end{salign*}
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|
wobei wir die Ladungsverteilung $\rho(\vec r) = \sum_{i } q_i \delta_{D}(\vec r - \vec r_i)$ erhalten.
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\end{enumerate}
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\section{Eigenschaften der Dirac $\delta_D$-Funktion}
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\begin{enumerate}
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\item Normierung $\int_{-\infty}^\infty\d{x} \delta_D(x) = 1$
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\item Verschiebung $\int_{-\infty}^\infty\d{x}\varphi(x) \delta_D(x-a) = \varphi(a)$
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\item Skalierung $\int_{-\infty}^\infty\d{x} \delta_D(ax) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\d{y}}{a}\delta_D(y)$
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\item Ableitung $\int_{-\infty}^\infty \d{x} \varphi(x) \delta_D'(x-a) = \underbrace{\varphi(x) \delta_D(x-a)\bigg|_{-\infty}^{+\infty}}_{\to 0} - \int_{-\infty}^\infty\d{x} \varphi'(x)\delta_D(x-a) = \varphi'(a)$.
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\end{enumerate}
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\section{Potenzielle Energie einer Ladungsverteilung}
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\begin{enumerate}[(1)]
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\item Bei einer Ladung $q_1$ an der Stelle $\vec r_1$ erhalten wir das Potenzial $\phi_1 = \frac{q_1}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}$.
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\item Nun schieben wir eine Ladung $q_2$ aus dem Unendlichen an die Stelle $\vec r_2$. Dabei verrichten wir eine Arbeit $W_2 = q_2\phi_1(\vec r_2)$.
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\item Wir schieben eine dritte Ladung $q_3$ an die Stelle $\vec r_3$ und verrichten die Arbeit $W_3 = q_3(\phi_1(\vec r_3) + \phi_2(\vec r_3))$.\\
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$\vdots$
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|
\item[(n)] Schließlich schieben wir die Ladung $q_n$ an die Stelle $\vec r_n$ und verrichten die Arbeit $W_n = q_n\sum_{i = 1}^{n-1} \phi_i(\vec r_n)$
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\end{enumerate}
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Als Gesamtenergie ergibt sich daher
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\begin{salign*}
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W_\text{ges} &= \sum_{n = 1}^{N} W_n\\
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&= \sum_{n = 1}^{N} q_n \sum_{i = 1}^{n-1} \frac{q_i}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}\\
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&\stackrel{\text{Doppelzählung}}{=} \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_iq_n}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}
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\end{salign*}
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Gehen wir nun zum Kontinuum über, so erhalten wir
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\begin{salign*}
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W &= \frac{1}{2}\int \d[3]{r} \int \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r)\rho(\vec r')}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
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||||||
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&= \frac{1}{2} \int \d[3]{r} \rho(\vec r) \cdot \underbrace{\int \d[3]{4'} \frac{\rho(\vec r)}{\left|\vec r - \vec r'\right|}}_{= \phi(\vec r)}\\
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||||||
|
&= \frac{1}{2} \int \d[3]{r} \rho(\vec r) \cdot\phi(\vec r)\\
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||||||
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&\stackrel{\Delta \phi = -4\pi\rho}{=} - \frac{1}{8\pi}\int \d[3]{r} \Delta \phi \cdot \phi
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\intertext{Es gilt die Produktregel $\phi \nabla \phi = \phi \div \nabla \phi = \div (\phi \nabla \phi) - \nabla\phi \cdot \nabla\phi$}
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&= -\frac{1}{8\pi} \int \d[3]{r} \div (\phi\nabla \phi) + \frac{1}{8\pi}\int \d[3]{r} (\nabla \phi)^2\\
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||||||
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&= \frac{1}{8\pi} \int \d[3]{r} \left|\vec E\right|^2\\
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||||||
|
&= \int \d[3]{r} W_{\mathrm{el}}
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\end{salign*}
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|
\begin{definition}[Energiedichte]
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|
Wir definieren die Energiedichte $W_{\mathrm{el}} = \frac{1}{8\pi} |\vec E|^2$.
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|
\end{definition}
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\end{document}
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+326
@@ -0,0 +1,326 @@
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\documentclass{lecture}
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\usepackage{tikz-3dplot}
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\begin{document}
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\section{Randbedingungen von Feldern auf Oberflächen}
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Wir definieren die Oberflächenladung (siehe Abb. \ref{abb:oberflaeche}) als
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\[
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\sigma(\vec{r}) \coloneqq \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta S}
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|
.\]
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\begin{figure}[h]
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\label{abb:oberflaeche}
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\tdplotsetmaincoords{70}{110}
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|
\begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords]
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||||||
|
\fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle;
|
||||||
|
\draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, 0.5) -- cycle ;
|
||||||
|
\draw[black, dotted] (-0.5, -0.5, 0) -- (0.5, -0.5, 0) -- (0.5, 0.5, 0) -- (-0.5, 0.5, 0) -- cycle ;
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||||||
|
\node at (0, 0.7, 0) {$\Delta S$};
|
||||||
|
\node at (0, -0.2, 0) {$\sigma$};
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|
\node[blue] at (0, 0.7, 0.5) {$\Delta V$};
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||||||
|
\draw[blue] (-0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5)
|
||||||
|
-- cycle;
|
||||||
|
\draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5);
|
||||||
|
\draw[blue] (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5);
|
||||||
|
\draw[blue] (0.5, 0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5);
|
||||||
|
\draw[blue] (-0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, -0.5);
|
||||||
|
\draw[->] (0, 0, -1) node[left]{$E_1^{\perp}$} -- (0, 0, 0) ;
|
||||||
|
\draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0, 1) node[below left]{$E_2^{\perp}$};
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
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|
\centering
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|
\caption{Senkrechte Komponenten eines elektrischen Feldes durch Oberfläche mit Oberflächenladung $\sigma$.}
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\end{figure}
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Für das Integrationsvolumen betrachten wir die Divergenz des elektrischen Felds:
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\begin{salign*}
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\int_{\Delta V}^{} \d[3]{r} \div \vec{E}
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&\stackrel{\text{Gauß}}{=}
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\int_{\Delta S}^{} \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} \\
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&= 4 \pi q \\
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&= 4 \pi \int_{\Delta S}^{} \d S \cdot \sigma \\
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||||||
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&\stackrel{\text{Vernachlässigung der Seiten}}{=} \Delta S ( E_2^{\perp} - E_1^{\perp})
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||||||
|
\intertext{Damit folgt}
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E_2^{\perp} &= E_1^{\perp} + 4 \pi \sigma
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|
.\end{salign*}
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|
\begin{figure}[h]
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||||||
|
\label{abb:oberflaeche-2}
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|
\tdplotsetmaincoords{70}{110}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords]
|
||||||
|
\fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle;
|
||||||
|
\draw[blue] (0, -0.5, -0.5) -- (0, 0.5, -0.5) -- (0, 0.5, 0.5) -- (0, -0.5, 0.5) -- cycle ;
|
||||||
|
\node[blue] at (0, 0.7, -0.3) {$\Delta S$};
|
||||||
|
\node[blue] at (0, 0, 0.7) {$\Delta r$};
|
||||||
|
\draw[->] (-0.5, -1, -1) node[left]{$\vec{E}_1$} -- (0, 0, 0) ;
|
||||||
|
\draw[dashed] (-0.5, -1, -1) -- (0, -0.8, 0);
|
||||||
|
\draw[->] (0, -0.8, 0) node[left]{$E_1^{\parallel}$}-- (0, 0, 0);
|
||||||
|
\draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0.8, 0) node[right]{$E_2^{\parallel}$};
|
||||||
|
\draw[dashed] (0, 0.8, 0) -- (0.5, 1, 1);
|
||||||
|
\draw[->] (0, 0, 0) -- (0.5, 1, 1) node[above left]{$\vec{E}_2$};
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|
\end{tikzpicture}
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|
\centering
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|
\caption{Parallele Komponenten eines elektrisches Feldes durch Oberfläche.}
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\end{figure}
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Es liegt Elektrostatik vor. Damit ist $\vec{E} = - \nabla \phi$, also folgt
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$\rot \vec{E} = - \rot \nabla \phi = 0$, da die Rotation von Gradientenfeldern verschwindet.
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\begin{salign*}
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\int_{\Delta S}^{} \d{\vec{S}} \cdot \rot\vec{E}
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&\stackrel{\text{Stokes}}{=}
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\int_{\partial \Delta S}^{} \d{\vec{r}} \cdot \vec{E} \\
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||||||
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&\stackrel{\text{Vernachlässigung der Höhe}}{=}
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\Delta r (E_2^{\parallel} - E_1^{\parallel}) \\
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&= 0
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|
\intertext{Damit folgt}
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E_2^{\parallel} &= E_1^{\parallel}
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.\end{salign*}
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Im Vergleich fällt auf, dass das elektrische Feld senkrecht zur Oberfläche einen Sprung macht bei
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Durchstoßen der Oberfläche, sobald die Fläche eine Oberflächenladung besitzt. Dahingegen verändert sich
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die parallele Komponente nicht.
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\textbf{Wiederholung}
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Elektrisches Feld $\vec{E}$ und elektrostatisches Potential $\phi$. Dann ist
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\begin{salign*}
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\vec{E}(\vec{r}) &= q_1 \frac{\vec{r} - \vec{r}_1}{| \vec{r} - \vec{r}_1|^{3}}
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|
\intertext{Bei mehreren Ladungen folgt mit Superpositionsprinzip}
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\vec{E}(\vec{r}) &= \sum_{i}^{n} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^{3}}
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||||||
|
\intertext{Im Kontinuumslimes ergibt sich}
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||||||
|
\vec{E}(\vec{r}) &= \int_{}^{} \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^{3}}
|
||||||
|
\intertext{Aus 3. Maxwell Gleichung folgt im statischen Fall $\rot \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} = 0$,
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|
d.h. es muss ein Potential $\phi$ geben, mit $\vec{E} = - \nabla \phi$:}
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\vec{E}(\vec{r}) &= - \int_{}^{} \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \nabla \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
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= - \nabla \underbrace{\int_{}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}}_{= \phi(\vec{r})}
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= - \nabla \phi
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|
\intertext{Aus der 1. Maxwell Gleichung ($\div \vec{E} = 4 \pi \rho$) folgt}
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\div \vec{E} &= - \div \nabla \phi = - \Delta \phi = 4 \pi \rho \qquad \text{(Poisson-Gleichung)}
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.\end{salign*}
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Die Maxwell-Gleichungen beschreiben eine Kontinuums-Theorie. Wie können dann Punktladungen
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in dieser Theorie beschrieben werden? Für Punktladung an der Stelle $\vec{r}'$ ist
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\begin{salign*}
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\rho(\vec{r}) = q \cdot \underbrace{\delta_D (\vec{r} - \vec{r}')}_{\sim \text{Volumen}^{-1}}
|
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|
.\end{salign*}
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Wieso hat die Dirac Funktion die Einheit eines reziproken Volumens? Das folgt aus der Normierung
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\begin{align*}
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\int_{}^{} \d[3]{r} \delta_D | \vec{r} - \vec{r}'| = 1
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||||||
|
\end{align*}
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|
woraus direkt
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\begin{align*}
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\int_{}^{} \d[3]{r} \rho{\vec{r}} = q
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|
\end{align*}
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|
folgt.
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\textbf{Dirac-Funktion als Kontinuumslimes des Kronecker $\delta$}
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\begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
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\begin{itemize}
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|
\item $\sum_{i=1}^{n} \delta_{ij} = 1$
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|
\item $\sum_{i=a}^{b} \delta_{ij} = \begin{cases}
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|
1 & \text{falls } a \le j \le b \\
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0 & \text{sonst}
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\end{cases}$
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|
\item $\sum_{i=1}^{n} \delta _{ij} A^{i} = A_j$
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|
\end{itemize}
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|
\end{minipage}
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|
vs.
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|
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
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|
\begin{itemize}
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|
\item $\int_{-\infty}^{\infty} \d x \delta_D(x - x') = 1$
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||||||
|
\item $\int_{a}^{b} \d x \delta_D(x - x') = \begin{cases}
|
||||||
|
1 & \text{falls }a \le x' \le b \\
|
||||||
|
0 & \text{sonst}
|
||||||
|
\end{cases}$
|
||||||
|
\item $\int_{-\infty}^{\infty} \d x \varphi(x) \delta_D(x -x') = \varphi(x')$ (Faltungsintegral)
|
||||||
|
\end{itemize}
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||||||
|
\end{minipage}
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|
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|
\begin{figure}[h]
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|
\centering
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|
\begin{tikzpicture}
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|
\begin{axis}[default 2d plot, xtick={1.2}, xticklabels={$x'$}, ytick={1},
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||||||
|
xlabel=$x$, ylabel=$\varphi(x)$, grid=none, minor tick num=0]
|
||||||
|
\addplot[domain=0:2,samples=90] {0.5*sin(90*x^2)};
|
||||||
|
\draw (1.15, 0) -- (1.15, 0.5) -- (1.25, 0.5) -- (1.25, 0);
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\caption{Gestalt der Dirac Funktion}
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|
\end{figure}
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Verbindung der kontinuierlichen Welt der Maxwell-Gleichungen mit der Intuition der diskreten Punktladungen.
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|
\begin{salign*}
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||||||
|
\vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|^{3}}
|
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= - \nabla \sum_{i} \frac{q_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|} = - \nabla \phi(\vec{r})
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.\end{salign*}
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Wie wird nun $\div \vec{E} = - \nabla \phi$ berechnet?
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\begin{salign*}
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\Delta \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r}'|} = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}')
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.\end{salign*}
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Die $\delta_D$ Funktion ist die Kontinuumsbeschreibung von Punktladungen.
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\section{Differentialoperatoren und Green-Funktionen}
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Nach Poisson-Gleichung ist
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\begin{salign*}
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\Delta \phi(\vec{r}) &= - 4 \pi \rho (\vec{r}) \text{, gelöst von } \phi(\vec{r}) = \int_{}^{}
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\d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\
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\Delta \phi &= \Delta \int_{}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
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= \int_{}^{} \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \Delta \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
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= \int_{}^{} \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \cdot (-4 \pi) \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho(\vec{r})
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.\end{salign*}
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Interpretation von links nach rechts: $\Delta \phi = - 4 \pi \rho$: Lokalisierung von Ladungen aus $\phi$
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heraus.
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\begin{figure}[h]
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\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0) circle (2cm);
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\node at (2,2) {$\phi = \text{const}$};
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\foreach \a in {0,60,...,300} {\draw[->] (\a:2) -- (\a:1.5); };
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\draw[fill] (0,0) circle (0.1cm);
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\end{tikzpicture}
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\subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho \neq 0 $}
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\end{subfigure}
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\begin{subfigure}{0.5\textwidth}
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\begin{tikzpicture}
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\draw (0,0) .. controls (1.5,1) .. (4,1.5);
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\draw (0,-1) .. controls (1.8,0) .. (4,0) coordinate (line2);
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\node at (4,2) {$\phi = \text{const}$};
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|
\draw[->] (2.5, 1.3) -- (2.2, 1.9);
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|
\draw[->] (2.0, 1.1) -- (1.7, 1.7);
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|
\draw[->] (2.5, 0.1) -- (2.2, 0.7);
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|
\draw[->] (2.0, -0.1) -- (1.7, 0.5);
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|
\end{tikzpicture}
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|
\centering
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|
\subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho = 0$}
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\end{subfigure}
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\end{figure}
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Interpretation von rechts nach links: Achtung: Gefährlicher Unfug:
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\begin{salign*}
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\Delta \phi &= - 4 \pi \rho \qquad \mid \Delta^{-1} \text{ ,,inverser Differentialoperator''} \\
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\implies \phi &= \Delta^{-1} \left[ - 4 \pi \rho \right] = \int_{}^{} \d[3]{r'}
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\frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
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.\end{salign*}
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$\int_{}^{} \d[3]{r}' \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \left[ \ldots \right]$ ist die inverse
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Operation zu $\Delta [ \ldots ]$. In Worten der Funktionalanalysis heißt dann
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$\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$ die Green-Funktion des Differentialoperators $\Delta$. Für uns
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Green-Funktion immer gleich dem Potential einer Punktladung.
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\chapter{Potentialtheorie}
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Ziel: Lösen von Poisson-Problemen.
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\section{Green-Theoreme}
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Seien $\varphi, \psi$ zwei skalare Felder. Dann ist
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\begin{align*}
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\vec{A}(\vec{r}') &= \varphi(\vec{r}') \cdot \nabla'\psi(\vec{r}') \\
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\div' A (\vec{r}') &= \nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi + \phi \Delta'\psi \text{ (Produktregel)} \\
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\intertext{Mit Satz von Gauß folgt dann}
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\int_{V}^{} \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}') &= \int_{\partial V}^{} \d{\vec{S}'} \cdot \vec{A}(\vec{r}')
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\qquad \d{\vec{S}} = \vec{n} \cdot \d s
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.\end{align*}
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Damit folgen die Green-Theoreme:
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\begin{satz}[1. Green-Theorem]
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\begin{align*}
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\int_{V}^{} \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}')
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= \int_{V}^{} \d[3]{r'} \div'(\varphi \nabla' \psi)
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&= \int_{V}^{} \d[3]{r'} \left[ \nabla'\varphi \cdot \nabla ' \psi + \varphi \Delta'\psi \right] \\
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||||||
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&= \int_{\partial V}^{} \d{S'} \varphi \cdot \underbrace{\nabla' \psi \cdot \vec{n}'}_{\frac{\partial \psi}{\partial n'}}
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.\end{align*}
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\end{satz}
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Vertausche nun $\varphi$ und $\psi$ und subtrahiere zwei Kopien des ersten Green-Theorems. Dabei
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fällt $\nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi$ heraus.
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\begin{satz}[2. Green-Theorem]
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\begin{align*}
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\int_{V}^{} \d[3]r' \left[ \varphi \cdot \nabla'\psi - \psi \nabla ' \varphi \right]
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= \int_{\partial V}^{} \d S' \left[ \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n'} \right]
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.\end{align*}
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\end{satz}
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Nun Anwendung durch Wahl der Felder: $\psi = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$, damit
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$\Delta' \psi = - 4 \pi \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')$. Weiter sei
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$\varphi = \phi$ Potential, also $\nabla' \phi = - 4 \pi \rho(\vec{r}')$ (Poisson-Gleichung).
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Substitution in das 2. Green-Theorem:
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\begin{align*}
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\int_{V}^{} \d[3]{r'} \Big[ \underbrace{\phi(\vec{r}')}_{\varphi} \cdot \underbrace{(-4 \pi) \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')}_{\Delta \psi}
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+ \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}_{\psi} \underbrace{4 \pi \rho(\vec{r}')}_{\Delta \phi} \Big]
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&= - 4 \pi \phi(\vec{r}) + 4 \pi \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\
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||||||
|
&= \int_{\partial V}^{} \d{S'} \Big[ \phi(\vec{r}') \cdot \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} - \frac{\partial}{\partial n'} \phi(\vec{r}') \Big]
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.\end{align*}
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Auflösen nach $\phi$ ergibt
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\begin{align*}
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\phi(\vec{r}) =
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\int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
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||||||
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+ \frac{1}{4\pi} \int_{\partial V}^{} \d{S'}
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||||||
|
\Big[ \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \frac{\partial}{\partial n'} \phi}
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_{ \substack{\text{Neumann-Randbedingung} \\\nabla \phi \text{ auf } \partial V}}
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- \underbrace{\phi(\vec{r}') \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}
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_{\substack{\text{Dirichlet-Randbedingung} \\ \phi \text{ auf } \partial V}}
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\Big]
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.\end{align*}
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Falls $\partial V$ unendlich weit weg ist, bleibt nur der erste Term übrig. Bei der Festlegung der
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Randbedingungen, darf jeweils auf einem Flächenelement nur eine Neumann-Randbedingung oder eine
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Dirichlet-Randbedingung festgelegt werden, da sonst Probleme bezüglich der Bestimmtheit des Potentialproblems
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entstehen.
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\section{Eindeutigkeit der Potentiale}
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Seien $\phi_1, \phi_2$ Potentiale und Lösungen der Poisson-Gleichung,
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also
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\begin{align*}
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\Delta \phi_1 = - 4\pi\rho = \Delta \phi_2 \implies \Delta (\underbrace{\phi_1 - \phi_2}_{=u}) = 0
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.\end{align*}
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Mit 1. Green-Theorem folgt
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\begin{align*}
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\int_{V}^{} \d[3]{r'} \Big[ u \underbrace{\Delta' u}_{=0} - (\nabla' u)^2 \Big]
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= \int_{\partial V}^{} \d{S'} u \frac{\partial u}{\partial u'}
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||||||
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.\end{align*}
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Fallunterscheidung nach Wahl der Randbedingung für Potentialproblem:
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\begin{itemize}
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\item Neumann-Randbedingungen: $\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = \frac{\partial \phi_2}{\partial n}
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\implies \frac{\partial u}{\partial n} = 0$ auf $\partial V$.
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|
\item Dirichlet-Randbedingungen: $\phi_1 = \phi_2 \implies u = 0$ auf $\partial V$.
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\end{itemize}
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Damit verschwindet die rechte Seite immer und es folgt
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\begin{align*}
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\int_{V}^{} \d[3]{r'} \underbrace{(\nabla ' u)^2}_{\ge 0} = 0
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.\end{align*}
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Also folgt bereits $\nabla' u = 0$, also $\phi_2 = \phi_1 + \text{const}$.
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Bei Dirichlet-Randbedingungen folgt damit, wegen $u = 0$ auf $\partial V$, dass $\phi_1 = \phi_2$.
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\section{Green-Funktionen}
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\begin{align*}
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\Delta G(\vec{r}, \vec{r}') = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \text{ mit }
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G(\vec{r} - \vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + F(\vec{r}, \vec{r}')
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.\end{align*}
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$F(\vec{r}, \vec{r}')$ hat die Eigenschaft $\Delta F(\vec{r}, \vec{r}') = 0$: Vakuum. Erfüllen
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von Randbedingungen (,,Spiegelladungen'').
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\begin{align*}
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\Delta G(\vec{r}, \vec{r}') &= - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \qquad
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\mid \cdot \rho(\vec{r}), \int_{V}^{} \d[3]{r'} \\
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\int_{V}^{} \d[3]{r'} \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') \cdot \rho(\vec{r}')
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&= \Delta \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = \Delta \phi \\
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||||||
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&= -4 \pi \int_{V}^{} \d[3]{r'} \rho (\vec{r}') \cdot \delta_D(\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho
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.\end{align*}
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|
Green-Funktionen sind für lineare Feldgleichungen $\implies$ Superpositionsprinzip.
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\end{document}
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+223
@@ -0,0 +1,223 @@
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\documentclass{lecture}
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\usepackage{tikz-cd}
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\usetikzlibrary{quotes,angles,babel}
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\begin{document}
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\newcommand\irregularcircle[2]{% radius, irregularity
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\pgfextra {\pgfmathsetmacro\len{(#1)+rand*(#2)}}
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+(0:\len pt)
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\foreach \a in {10,20,...,350}{
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|
\pgfextra {\pgfmathsetmacro\len{(#1)+rand*(#2)}}
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-- +(\a:\len pt)
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} -- cycle
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}
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\section{Systematische Konstruktion von Green-Funktionen}
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\begin{salign*}
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\Delta \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= (-4\pi) \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \qquad
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\mid \int_{}^{} \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \\
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\intertext{Durch Superposition der Coulomb-Felder der Einzelladungen folgt damit}
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\Delta \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
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&= \Delta \phi = -4 \pi \int_{V}^{} \d[3]r' \rho(\vec{r}') \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')
|
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= - 4 \pi \rho(\vec{r})
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.\end{salign*}
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Jetzt: Green-Funktionen für andere Differentialoperatoren, z.B.: $\Delta - m^2$ oder
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$\square = \partial_{ct}^2 - \Delta$.
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\begin{enumerate}[(1)]
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\item Lösung der Feldgleichung: algebraisch statt differentiell. Dafür: Fourier-Transformation
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\begin{align*}
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\Delta \phi &= - 4 \pi \rho \qquad \text{Poisson-Gleichung} \\
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\rho(\vec{r}) &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \rho(\vec{k}) \exp(i\vec{k}\vec{r})
|
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|
\xrightleftharpoons[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}}
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|
\rho(\vec{k}) = \int \d[3]{r} \rho(\vec{r}) \exp(- i \vec{k} \vec{r}) \\
|
||||||
|
\phi(\vec{r}) &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k}) \exp(i\vec{k}\vec{r})
|
||||||
|
\xrightleftharpoons[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}}
|
||||||
|
\phi(\vec{k}) = \int \d[3]{r} \phi(\vec{r}) \exp(- i \vec{k} \vec{r})
|
||||||
|
\intertext{Die Fouriertransformation angewendet auf die Poisson-Gleichung ergibt dann}
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\Delta \phi(\vec{r}) &= \Delta \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k})
|
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\exp(i \vec{k} \vec{r}) = \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k})(ik)^2
|
||||||
|
\exp(i \vec{k}\vec{r}) = \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} (-4\pi) \rho(\vec{k})
|
||||||
|
\exp(i \vec{k} \vec{r})
|
||||||
|
.\end{align*}
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|
Durch Integrandenvergleich folgt
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\begin{align*}
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\Delta \phi = - 4 \pi \rho \text{ im Fourier-Raum: } -k^2 \phi(\vec{k}) = - 4 \pi \rho(\vec{k})
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|
.\end{align*}
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|
Wir erhalten also eine algebraische Gleichung im Fourier-Raum, die sehr leicht gelöst werden kann:
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\begin{align*}
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\phi(\vec{k}) = \frac{4\pi}{k^2}\rho(\vec{k})
|
||||||
|
.\end{align*}
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Damit ergibt sich folgendes Diagramm
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\[
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\begin{tikzcd}
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\phi(\vec{k}) \arrow{r}{\cdot \frac{k^2}{4\pi}} \arrow[swap]{d}{\mathcal{F}^{-1}}
|
||||||
|
& \rho(\vec{k}) \\
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||||||
|
\phi(\vec{r}) \arrow{r}{\Delta } & \arrow{u}{\mathcal{F}} \rho(\vec{r})
|
||||||
|
\end{tikzcd}
|
||||||
|
.\] Damit folgt als Lösung der Poisson-Gleichung:
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|
\[
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||||||
|
\phi(\vec{r}) = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{4\pi}{k^2} \mathcal{F}[ \rho(\vec{r})] \right]
|
||||||
|
.\]
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|
Fourier-Transformationen sind numerisch extrem effizient berechenbar mithilfe von
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,,fast Fourier-transform''.
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\item Faltungen im Realraum sind Produkte im Fourier-Raum.
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\begin{align*}
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\varphi \otimes \psi (\vec{r}) &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}}
|
||||||
|
\left[ \varphi(\vec{k}) \cdot \psi(\vec{k}) \right] \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\
|
||||||
|
&= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}}
|
||||||
|
\int_{}^{} \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}') \exp(- i \vec{k} \vec{r}')
|
||||||
|
\int_{}^{} \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'') \exp(- i \vec{k} \vec{r}) \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\
|
||||||
|
&= \int_{}^{} \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}')
|
||||||
|
\int_{}^{} \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'')
|
||||||
|
\int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \exp[i \vec{k}(\vec{r} - \vec{r}' - \vec{r}'')]
|
||||||
|
\intertext{In einer ebenen Welle ist nur eine Frequenz enthalten, deren Spektrum aufgrund
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von Normierung divergieren muss. Die Fouriertransformierte der ebenen Welle ist also
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wieder die Dirac-Funktion}
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&= \int_{}^{} \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}')
|
||||||
|
\int_{}^{} \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'')
|
||||||
|
\delta_D((\vec{r} - \vec{r}') - \vec{r}'') \\
|
||||||
|
&= \int_{}^{} \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}') \psi(\vec{r} - \vec{r}')
|
||||||
|
.\end{align*}
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|
Wir erhalten also tatsächlich eine Faltung zwischen $\varphi$ und $\psi$.
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|
\item Berechnung der Fourier-Transformierten der Green-Funktion
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Idee: $\frac{4\pi}{k^2}$ ist die Green-Funktion von $\Delta (\sim -k^2)$ im Fourier-Raum.
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\begin{align*}
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\phi(\vec{r}) = \underbrace{\int_{}^{} \d[3]{r'} G(\vec{r}, \vec{r}') \rho(\vec{r}')}_{\text{Faltung}}
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\xrightarrow{\text{Fourier}}
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\phi(\vec{k}) = \underbrace{G(\vec{k}) \cdot \rho(\vec{k})}_{\text{Produkt}}
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|
.\end{align*}
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|
Zu zeigen:
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\begin{align*}
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G(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \xleftarrow{\mathcal{F}^{-1}}
|
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|
G(\vec{k}) = \frac{4\pi}{k^2}
|
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|
.\end{align*}
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|
Es ist
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\begin{align*}
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G &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} G(\vec{k}) \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\
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\intertext{Da $G(\vec{k})$ sphärisch symmetrisch, verwenden wir Kugelkoordinaten. Mit
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$\mu \coloneqq \cos \sphericalangle(\vec{k}, \vec{r})$ ist $\vec{k} \cdot \vec{r} = kr \mu$.
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Damit folgt:}
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G &= \int_{0}^{\infty}\frac{k^2 \d k}{(2\pi)^{3}} \int_{-1}^{1} \d{\mu}
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\underbrace{\int_{0}^{2\pi} \d{\varphi}}_{=2\pi} \frac{4\pi}{k^2}\exp(ikr\mu) \\
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||||||
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&= \int_{0}^{\infty}\frac{4\pi}{(2\pi)^2} \d k \cdot \int_{-1}^{1} \d \mu \exp(-ikr \mu) \\
|
||||||
|
&= \int_{0}^{\infty}\frac{4\pi}{(2\pi)^2} \d k \cdot \frac{\exp(-ikr) - \exp(ikr)}{-ikr} \\
|
||||||
|
&= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \d k \frac{\sin(kr)}{kr} \\
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&= \frac{2}{\pi} \frac{1}{r} \underbrace{\int_{0}^{\infty} \d{(kr)} \frac{\sin(kr)}{kr}}_{= \frac{\pi}{2} \text{ siehe Funktheo}}
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.\end{align*}
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\end{enumerate}
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\section{Multipolentwicklung}
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Betrachte eine komplizierte Ladungsverteilung. Von sehr weit weg, geht das elektrische Feld in ein
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Coulomb-Feld über, das heißt Details in der Ladungsverteilung werden weniger relevant.
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\begin{figure}[h]
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\begin{tikzpicture}
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\draw (1, 2) \irregularcircle{1cm}{3mm};
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\node at (2.7,3) {$\rho \neq 0$};
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\draw[->] (0,0) coordinate (origin) -- (1,2) coordinate (r1) node[above right]{$\vec{r}'$};
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\draw[->] (origin) -- (4,1) coordinate (r2) node[above right]{$\vec{r}$};
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\pic [draw, ->, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle = r2--origin--r1};
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\node at (3, 0.1) {$\mu \coloneqq \cos \alpha$};
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\end{tikzpicture}
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\centering
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\caption{Komplizierte Ladungsverteilung}
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\end{figure}
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\begin{align*}
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\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= \frac{1}{\sqrt{(\vec{r} - \vec{r}'})^2}
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= \frac{1}{\sqrt{r^2 - 2r r' \mu + r'^2} } = \frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \frac{r'}{r} \mu + \left( \frac{r'}{r} \right)^2} }
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\intertext{Annahme, dass $r \gg r' \sim $ Beobachter weit weg im Vergleich zur Ausdehnung von $\rho$.}
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\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &=
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\frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty} \left( \frac{r'}{r} \right)^{l} \underbrace{P_l(\mu)}_{\text{Legendre-Polynome}}
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= \sum_{l=0}^{\infty} \frac{r'^{l}}{r^{l+1}} P_l(\mu)
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.\end{align*}
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Für die Legendre-Polynome gilt:
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\[
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\frac{1}{\sqrt{1 - 2 \mu x + x^2} } = \sum_{l=0}^{\infty} P_l(\mu) x^{l}
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.\] Durch die Operation $\frac{\d[l]{}}{\d{x^l}}$ und anschließendes Setzen von $x=0$ erhalten wir das
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$l$-te Legendre Polynom. Damit folgt
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\begin{align*}
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P_0(\mu) = 1, P_1(\mu) = \mu, P_2(\mu) = \frac{1}{3} (3 \mu^2 -1), P_3(\mu) = \frac{1}{2} (5\mu^{3} - 3\mu^2)
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.\end{align*}
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alternativ Formel von Rodriguez:
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\[
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P_l(\mu) = \frac{1}{2^{l}l!} \frac{\d[l]{}}{\d \mu^{l}}(\mu^2 -1)^{l}
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.\]
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Kugelflächenfunktionen $Y_{lm}(\theta, \varphi) \xrightarrow{} P_l(\cos \alpha)$ Legendre-Polynome.
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\begin{align*}
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P_l(\mu) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^{l} Y_{lm}(\theta, \varphi) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')
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\qquad \text{(Additionstheorem)}
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.\end{align*}
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\begin{figure}[h]
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\begin{tikzpicture}
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\draw[->] (0,0) coordinate (origin) -- (1,2) coordinate (r1) node[above right]{$\vec{r}' = (r', \theta', \varphi')$};
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\draw[->] (origin) -- (4,1) coordinate (r2) node[above right]{$\vec{r} = (r, \theta, \varphi)$};
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\pic [draw, ->, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle = r2--origin--r1};
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\end{tikzpicture}
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\centering
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\caption{Situation}
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\end{figure}
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Damit erhalten wir
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\begin{align*}
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\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r'^{l}}{r^{l+1}}
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\cdot Y_{lm}(\theta, \varphi) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')
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\intertext{Damit folgt}
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\phi(\vec{r}) &= \int_{}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
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= \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{lm} (\theta, \varphi) \cdot
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\underbrace{\int_{}^{} \d[3]{r'} r'^{l} \rho(\vec{r'}) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')}
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_{= q_{lm} \text{ Multipolmomente}} \\
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\phi(\vec{r}) &= \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{lm}(\theta, \phi) \cdot q_{lm}
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.\end{align*}
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Mutipolmomente
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\begin{enumerate}[(1)]
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\item Information über die Ladungsverteilung: Größe, Stärke und Form
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\item Einfluss nimmt mit $\frac{1}{r^{l+1}}$ ab. Dominierender Term $\frac{1}{r}$-Term bei großem
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Abstand
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\end{enumerate}
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Monopol $l=0$, also nur $1$ Koeffizient, $m = 0$ $\sim $ Gesamtladung.
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\begin{align*}
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q_{00} = \int \d[3]{r'} r'^{0} \rho(\vec{r}') \cdot \underbrace{Y_{00}^{*}(\theta, \varphi)}_{\frac{1}{\sqrt{4\pi} }} = \frac{q}{\sqrt{4\pi} }
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.\end{align*}
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Dipol $l=1$, also $3$ Koeffizienten, $m \in \{-1, 0, 1\} $.
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\begin{align*}
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q_{1m} = \int_{}^{} \d[3]{r'}\rho(\vec{r}') r' Y_{1m}^{*}(\theta', \varphi') \sim \text{ Ladung } \times
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\text{ Abstand}
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.\end{align*}
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Quadrupol $l=2$, also $5$ Koeffizienten, $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} $.
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\begin{align*}
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q_{2m} = \int \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') r'^2 Y_{2m}^{*}(\theta', \varphi') \sim \text{ Ladung } \times \text{ Fläche}
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.\end{align*}
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Oktupol $l=3$\\
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Hexadekupol $l=4$
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Hermitizität:
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\begin{align*}
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Y_{lm}^{*}(\theta, \varphi) &= (-1)^{m} Y_{l,-m}(\theta, \varphi)
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\intertext{Damit folgt}
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q_{lm}^{*} &= \int_{}^{} \d[3]{r'} r'^{l} \rho(\vec{r}') Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')
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= (-1)^{m} \int_{}^{} \d[3]{r'}r'^{l} \rho(\vec{r}') Y_{l, -m}(\theta', \varphi') \\
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&= (-1)^{m} q_{l, -m}
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.\end{align*}
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Für reelle Ladungsverteilungen existieren also $(l+1)$ unabhängige Multipole.
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\section{Kugelflächenfunktionen: sphärisch harmonische Funktionen}
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\begin{align*}
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\Delta \exp(- i \vec{k} \vec{r}) &= - k^2 \exp(\pm i\vec{k}\vec{r})
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\implies (\Delta + k^2) \exp(\pm i\vec{k}\vec{r}) = 0 \qquad (\text{ Helmholtz-Differentialgleichung}) \\
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\Delta_{\theta, \varphi} Y_{lm}(\theta, \varphi) &= - l(l+1) Y_{lm}(\theta, \varphi) \implies
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(\Delta_{\theta, \varphi} + l(l+1)) Y_{lm}(\theta, \varphi) = 0
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.\end{align*}
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\end{document}
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BIN
Binary file not shown.
+33
@@ -0,0 +1,33 @@
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\documentclass{lecture}
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\usepackage{standalone}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{subcaption}
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\usepackage{tikz-cd}
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\usepackage{tikz-3dplot}
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\usetikzlibrary{quotes,angles,babel}
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\title{Theoretische Physik 3: Elektrodynamik}
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\author{Prof. Dr. Bjoern Malte Schäfer\\[5mm]
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Mitschrift von \\[1mm]
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Christof Gehrig (\href{mailto:christof.gehrig@stud.uni-heidelberg.de}{christof.gehrig@stud.uni-heidelberg.de})\\
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|
Josua Kugler (\href{mailto:josua.kugler@stud.uni-heidelberg.de}{josua.kugler@stud.uni-heidelberg.de})\\
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|
Christian Merten (\href{mailto:christian.merten@stud.uni-heidelberg.de}{christian.merten@stud.uni-heidelberg.de})\\
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|
Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidelberg.de})\\
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}
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\date{Wintersemester 2020/21}
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\renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}
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\begin{document}
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\newgeometry{right=15mm, left=15mm}
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\maketitle
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\restoregeometry
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\tableofcontents
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\input{theo01.tex}
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\input{theo02.tex}
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\input{theo03.tex}
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\input{theo04.tex}
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Reference in New Issue
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