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lecture.cls

@@ -76,7 +76,8 @@
 \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
 \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
 \renewcommand{\C}{\mathbb{C}}
-
+\newcommand{\rot}{\operatorname{rot}}
+\renewcommand{\div}{\operatorname{div}}
 % HEADERS
 
 %\newpagestyle{main}[\small]{

theo01.tex

@@ -0,0 +1,195 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\chapter{Phänomenologie der Maxwell-Gleichungen}
+
+\section{Elektrisches Feld}
+
+\begin{satz}[Coulomb Gesetz]
+    Kraft zwischen zwei Ladungen
+    \[
+        F = k \frac{q_1 q_2}{| \vec{r}_1 - \vec{r}_2 |^2}
+    .\] 
+    Im SI-System ist $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ mit
+    $\epsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{As}}{\text{Vm}} = \frac{1}{4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{9}}
+    \frac{\text{As}}{\text{Vm}}$ mit A für Ampère und As $=$ C für Coulomb.
+
+    Im Gauß-System ist $q = \frac{q^{*}}{\sqrt{4 \pi \epsilon_0} }$, so dass $k = 1$.
+\end{satz}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+\begin{tikzpicture}
+    \draw[fill] (-1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_1$};
+    \draw[fill] (1, 0) circle (0.1cm) node[below left] {$q_2$};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Zwei Ladungen}
+\end{figure}
+
+\section{Elektrische Feldstärke}
+
+\begin{satz}[Coulomb Kraft]
+    \[
+        \vec{F} = q \vec{E}
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Lorentz Kraft]
+    \[
+        \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\section{Maxwell-Gleichungen}
+
+Die Maxwell Gleichungen bilden die axiomatische Verbindung zwischen Feldern
+$\vec{E}, \vec{B}, \vec{D}, \vec{H}$ und den Ladungen $\rho, \vec{\jmath}$
+in Inertialsystemen (oder lokal in frei fallenden Systemen).
+
+\begin{enumerate}[(1)]
+        \item $\div \vec{E} = \nabla \cdot \vec{E} = \partial_i E^i = 4\pi \rho$. Mithilfe der 1. Maxwell-Gleichung kann aus dem elektrischen Feld die Ladung bestimmt werden oder aus der Ladungsverteilung auf ein elektrisches Feld geschlossen werden.
+        \begin{figure}[h]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \draw (0,0) circle (1.5cm);
+                \node[fill = black, shape=circle, label=$\rho > 0$] (q) at (0,0) {}; 
+                \foreach \a in {0,30,...,330} {\draw[->] (\a:1.5) -- (\a:2.5);}
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Die 1. Maxwell-Gleichung}
+        \end{figure}
+        \[
+            \int_V \d[3]{r} \div \vec{E} \overset{\text{Gauß}}{=} \int_{\partial V} \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} = \underset{\text{el. Fluss}}{\Psi} = \int_V \d[3]{r} 4\pi \rho = 4\pi q
+        \]
+        Setzen wir eine sphärische Symmetrie voraus, so erhalten wir
+        \[
+            \int_{\partial V} \d{\vec S} \cdot \vec E = 4\pi r^2 \cdot |\vec E(r)| = 4\pi q \implies |E| \sim \frac{q}{r^2}.
+        \]
+        Damit haben wir also das Coulomb-Gesetz in Zusammenhang zu den Maxwell-Gleichungen gesetzt.
+        \item $\div \vec{B} = \nabla \cdot \vec{B} = \partial_i B^i = 0$
+        \begin{figure}[ht]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \draw (0,0) circle (1.5cm);
+                \node[fill=black,label=$\rho_{\mathrm{mag}}\text{?}$, shape=circle] (q) at (0,0) {};
+                \draw[->] (-2.5, 0) -- (-1.5, 0);
+                \draw[->] (210:2.5) -- (210:1.5);
+                \draw[->] (1.5,0) -- (2.5,0);
+                \draw[->] (30:1.5) -- (30:2.5);
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Die 2. Maxwell-Gleichung}
+        \end{figure}
+        \[
+            \d[3]{r} \div \vec{B} = \int_{ \partial V} \d{\vec{S}} \cdot \vec{B} = \underset{\text{mag. Fluß}}{\Phi} = 0
+        \]
+        Es gibt keine magnetische Ladung (elektromagnetische Dualität)
+        \item $\rot \vec{E} = \nabla \times \vec E = -\partial_{ct} \vec B$. Die 3. Maxwell-Gleichung ist auch bekannt als Induktionsgesetz von Faraday und stellt eine Verbindung her zwischen magnetischem Fluss durch eine Fläche und induzierter Spannung auf dem Rand der Fläche. Das $-$ auf der rechten Seite führt zur Lenz-Regel.
+        \begin{figure}[ht]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \foreach \x in {0,1,2} {\draw[->] (0,\x) to[bend left] (6,\x+2);}
+                \node (B) at (7,2) {$\vec B, \dot{ \vec{B}} \neq 0$};
+                \draw[dashed] (2,2.5) ellipse (1 and 1.5);
+                \draw[thick] (2,4) arc (90:320:1 and 1.5);
+                \draw[->] (1.9,4) -- (3,4.2);
+                \draw[->] (1.1,3.2) -- (1.3,3.9);
+                \draw[->] (1.3, 1.4) -- (0.8, 2.3);
+                \draw[->] (1.9,1) -- (1, 1.2);
+                \node (E) at (2.8,4.5) {$\vec E$};
+                \node (S) at (2,1.3) {$S$};
+                \node (dS) at (2,.8) {$\d{S}$};
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Die 3. Maxwell-Gleichung}
+        \end{figure}
+        \[
+            \int_S \d{S} \cdot \rot \vec E \overset{\text{Stokes}}{=} \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec E = \underset{\text{Spannung}}{U} = -\underbrace{\frac{\d}{\d{(ct)}}}_{\frac{1}{c}\frac{\d}{\d t}} \int \d{\vec S} \cdot \vec B = -\frac{\d}{\d{(ct)}} \Phi
+        \]
+        \item $\rot \vec B = \nabla \times \vec B = \partial_{ct} \vec E + \frac{4\pi}{c} \vec \jmath$. Die 4. Maxwell-Gleichung ist auch bekannt als Ampere-Gesetz und stellt eine Verbindung her zwischen elektrischen Fluss oder sich änderndem $\vec E$-Feld und einem magnetischen Feld auf dem Rand der Fläche. 
+        \begin{figure}[ht]
+            \centering
+            \begin{tikzpicture}
+                \foreach \x in {0,1,2} {\draw[->] (0,\x) to[bend left] (6,\x+2);}
+                \node (E) at (7,2) {$\vec E, \dot{\vec{E}} \neq 0$};
+                \node (j) at (7, 3) {$\vec \jmath$};
+                \draw[dashed] (2,2.5) ellipse (1 and 1.5);
+                \draw[thick] (2,4) arc (90:320:1 and 1.5);
+                \draw[->] (1.9,4) -- (.8,3.8);
+                \draw[->] (1.1,3.2) -- (.9,2.5);
+                \draw[->] (1.1, 1.8) -- (1.6, .9);
+                \draw[->] (1.9,1) -- (2.8, .9);
+                \node (B) at (1,4.1) {$\vec B$};
+                \node (S) at (2,3.8) {$S$};
+                \node (dS) at (2,4.2) {$\d{S}$};
+            \end{tikzpicture}
+            \caption{Die 4. Maxwell-Gleichung}
+        \end{figure}
+        In integraler Form gilt also
+        \[
+            \int_S \d{\vec S}\cdot \rot \vec B 
+            \overset{\text{Stokes}}{=} 
+            \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec B 
+            = 
+            \frac{\d{}}{\d{(ct)}} \int_S \underbrace{\d{\vec S} \cdot \vec E}_{=\Psi} + \frac{4\pi}{c}\underbrace{\int \d{\vec S} \cdot \vec \jmath}_{= I \text{ Strom}}.
+        \]
+        Setzen wir zylindrische Symmetrie voraus, so erhalten wir
+        \[
+            \int_{\partial S} \d{\vec r} \cdot \vec B = 4\pi r \left|\vec B(r)\right| = \frac{4\pi}{c} I \implies \left|\vec B\right| \sim \frac{1}{r}.
+        \]
+\end{enumerate}
+
+\section{Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen}
+
+\begin{itemize}
+    \item Die Maxwell-Gleichungen sind lineare ($\to$ Superposition),
+    \item partielle (Ableitungen in $x^i$ und $ct$ $\to \nabla, \partial_{ct}$),
+    \item hyperbolische Differenzialgleichungen (wird später noch erklärt).
+    \begin{tikzpicture}
+        \node (q) at (0,0) {$\rho, \vec \jmath$};
+        \node (E) at (3,0) {$\vec E, \vec B$};
+        \draw[->] (q) to[out = 30, in=150] node[above] {Quelle} (E);
+        \draw[->] (E) to[out = -150, in=-30] node[below] {Lokalisierung} (q);
+    \end{tikzpicture}
+    \item Die Maxwell-Gleichungen ergeben nur Sinn in einem Bezugssystem, wir legen also ein Inertialsystem fest.
+    \item Wir haben 2 $\div$-Gleichungen und 2 $\rot$-Gleichungen, also effektiv $1 + 1 + 3 + 3 = 8$ Gleichungen, wir untersuchen aber nur die Dynamik von $\vec E$- und $\vec B$-Feld ($3 + 3 = 6$ Komponenten). Sind die Maxwell-Gleichungen daher überbestimmt?
+\end{itemize}
+
+\section{Erhaltung der elektrischen Ladung}
+
+Betrachte Maxwell (1) und (4):
+
+\begin{salign*}
+    \text{div } \vec{E} &= 4 \pi \rho  \mid  \partial_{ct}\\
+    \text{rot } \vec{B} &= \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}  \mid  \text{div }
+    \intertext{Damit folgt}
+        \text{div } \text{rot } \vec{B} = 0 &= \partial_{ct} \text{div } \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \text{div }
+        \vec{\jmath} \\
+        &= 4 \pi \partial_{ct} \rho + \frac{4\pi}{c} \text{div } \vec{\jmath}
+    \intertext{Also insgesamt die sog. Kontinuitätsgleichung}
+    \partial_t \rho + \text{div } \vec{\jmath} &= 0 \tageq\label{eq:cont}
+.\end{salign*}
+In Integralform ergibt sich daraus:
+\begin{salign*}
+    \frac{\d}{\d t} \int_{V}^{}  \d[3]{r} \rho = \frac{\d }{\d t} q = - \int_{V}^{}  \d[3]{r} \text{div }
+    \vec{\jmath} &\stackrel{\text{Gauß}}{=} - \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{\jmath} 
+.\end{salign*}
+Die Elektrodynamik ist eine Kontinuumstheorie. Ladung ist dabei eine Art ,,Fluid``.
+
+\section{Elektromagnetische Dualität}
+
+Betrachte die Maxwell-Gleichungen im Vakuum, d.h. $\rho = 0$, $\vec{\jmath} = 0$. Dann gilt
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item $\text{div } \vec{E} = 0$
+    \item $\text{div } \vec{B} = 0$
+    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B}$
+    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E}$
+\end{enumerate}
+Vertauschen wir $\vec E \to \vec B,\quad \vec B \to -\vec E$, so ändert sich an den Maxwell-Gleichungen im Vakuum nichts (Dualität).
+Warum existieren eigentlich keine magnetischen Ladungen?
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item $\text{div } \vec{E} = 4 \pi \rho$
+    \item $\text{div } \vec{B} = 4 \pi \rho_{m}$
+    \item $\text{rot } \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}_m$
+    \item $\text{rot } \vec{B} = \partial_{ct} \vec{E} + \frac{4 \pi}{c} \vec{\jmath}$
+\end{enumerate}
+Es folgt also, analog zu \ref{eq:cont}, eine Kontinuitätsgleichung für die magnetische Ladung \[\partial_t \rho_m + \text{div } \vec{\jmath} = 0.\]
+\end{document}

theo02.tex

@@ -0,0 +1,195 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Elektrodynamik in Materie}
+Elektrodynamik in Materie ist im Allgemeinen sehr kompliziert.
+Im einfachsten Fall ist die Wirkung
+\begin{enumerate}
+    \item linear
+    \item isotrop
+    \item instantan
+\end{enumerate}
+Dann existiert eine effektive Beschreibung mithilfe von nur zwei Konstanten. Als erstes benötigen wir die Dieelektrizitätskonstante $e$ und die Permeabilitätskonstante $\mu$. Es gilt
+\begin{align*}
+    \vec D &= e\cdot \vec E\\
+    \vec B &= \mu \cdot H
+\end{align*}
+\begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
+    \centering
+    im Vakuum (in diesem Fall $e = \mu = 1$)
+    \begin{align*}
+        \div \vec E &= 4\pi \rho\\
+        \div \vec B &= 0\\
+        \rot \vec E &= - \partial_{ct} \vec B\\
+        \rot \vec B &= + \partial_{ct} \frac{4\pi}{c} \vec \jmath
+    \end{align*}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
+    \centering
+    in Materie
+    \begin{align*}
+        \div \vec D &= 4\pi \rho\\
+        \div \vec B &= 0\\
+        \rot \vec E &= -\partial_{ct} \vec B\\
+        \rot \vec H &= +\partial_{ct} \vec D + \frac{4\pi}{c}\vec \jmath
+    \end{align*}
+\end{minipage}
+\section{elektrostatisches Potenzial}
+Dabei bedeutet elektrostatisch, dass alle Zeitableitungen 0 sind.
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[fill = black, shape = circle, inner sep = 3pt, label = $q_1$] (q1) at (0,2) {};
+        \draw[->] (0,0) -- node[pos=.5, left] {$\vec r_1$} (0,2);
+        \draw[->] (0,0) -- node[pos=.5, below right] {$\vec r$} (2,1);
+        \draw[dashed, ->] (0,2) -- node[pos=.5, above right]{$\vec r - \vec r_1$} (2,1);
+        \node[text width = 2cm] (beobachter) at (3.5,1) {Beobachter mit positiver Probeladung};
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Elektrisches Feld}
+    \label{efeld}
+\end{figure}
+Für das elektrische Feld aus Abbildung~\ref{efeld} gilt daher
+\[
+    \vec E(\vec r) = \frac{q_1}{|\vec r - \vec r_1|}  \cdot \vec e_{\vec r - \vec r_1} = q_1 \cdot \frac{\vec r - \vec r_1}{\left|\vec r - \vec r_1\right|^3}.
+\]
+Bei vielen felderzeugenden Ladungen berechnen wir einfach die Superposition
+\[
+    \vec E (\vec r) = \sum_{i}^{n} q_i \frac{\vec r - \vec r_i}{\left|\vec r - \vec r_1\right|^3}.  
+\]
+Da es sich bei der Elektrodynamik um eine Kontinuumstheorie handelt, gehen wir von $q$ zu $\rho$ über. Im Kontinuumslimes erhalten wir also
+\[
+    \vec E(\vec r) = \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \frac{\vec r - \vec r'}{\left|\vec r - \vec r'\right|^3}. 
+\]
+Im folgenden wirke $\nabla$ auf $r$ und $\nabla'$ auf $r'$. Es gilt
+\[
+    \frac{\vec r - \vec r'}{\left|\vec r - \vec r'\right|^3}   = -\nabla \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|} = \nabla' \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}.
+\]
+Eingesetzt in die Gleichung von oben erhalten wir
+\begin{align*}
+    \vec E(\vec r) &= \int \d[3]{r'} \rho(r') \cdot \nabla'\frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
+    &= - \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \nabla \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
+    &= -\nabla \underbrace{\int \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r')}{\left|\vec r - \vec r'\right|}}_{\eqqcolon \phi(\vec r)}\\
+    \to \vec E(\vec r) &= -\nabla \phi(\vec r)
+\end{align*}
+\begin{definition}
+   Das elektrostatische Potenzial $\phi$ ist gegeben durch 
+   \[\phi(\vec r) = \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}.
+   \]
+\end{definition}
+Für die Elektrostatik gilt also $\rot \vec E = - \rot \nabla \phi = 0$. Aus den Maxwell-Gleichungen erhalten wir konsistenterweise $\rot \vec E = -\partial_{ct} \vec B = 0$. 
+\begin{align*}
+    W_{AB} &= q \int_A^B \d{\vec S} \cdot \vec E\;\sim \text{ Verschiebearbeit}\\
+    &= q\cdot \left| \phi(\vec r_B) - \phi(\vec r_A)\right|\; \sim \text{Interpretation von $\phi$ als potentielle Energie}
+\end{align*}
+Aus
+\begin{align*}
+    \vec E(\vec r) &= - \nabla \phi(\vec r)\\
+    \intertext{und dem Gauß-Gesetz}
+    \div \vec E &= 4 \pi \rho
+    \intertext{erhalten wir}  
+    - \div \nabla \phi &= -\Delta \phi =  4\pi \rho 
+\end{align*}
+\begin{definition}[Laplace-Operator]
+    \[
+        \Delta = \div \nabla = \delta^{ij}\partial_i\partial_j  
+    \]
+\end{definition}
+\begin{satz}[Poisson-Gleichung]
+    Es gilt
+    \[
+      \Delta \phi = - 4\pi \rho  
+    \] beziehungsweise im Vakuum
+    \[
+        \Delta \phi = 0
+    \]
+\end{satz}
+%figure äquipotentiallinien, kästchen mit fluss rein oder raus
+Wir berechnen nun $\Delta \phi$ an einem Ort $\neq 0$ im Feld einer Punktladung.
+\begin{align*}
+    \phi(\vec r) &= \frac{1}{|\vec r - \vec r'|} &&\text{Potenzial einer Punktladung }\vec r'\\
+    \Delta \phi &= \Delta \frac{1}{r} &&\text{sphärische Symmetrie}\\
+    &= \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}\underbrace{\left(r \cdot \frac{1}{r}\right)}_{= \text{const}}\\
+    &= 0
+\end{align*}
+Nun möchten wir $\Delta \phi$ bei der Punktladung berechnen. Wir erhalten
+\begin{salign*}
+    \int_V \d[3]{r} \Delta \phi &\stackrel{\Delta = \div \nabla}{=} \int_{V} \d[3]{r}\div \nabla \phi\\
+    &\stackrel{\text{Gauss}}{=} \int_{\partial V} \d{\vec S} \cdot \nabla \phi\\
+    &\stackrel{\text{sph. Symmetrie}}{=} \int_{\partial V} r^2\d{\Omega} \cdot \underbrace{\frac{\partial \phi}{\partial r}}_{-\frac{1}{r^2}}\\
+    &= -\int_{\partial V}\d{\Omega}\\
+    &= -4\pi
+\end{salign*}
+
+Die Gleichung
+\[
+    \Delta \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|} = -4\pi \delta_D \left|\vec r - \vec r'\right|
+\]
+kombiniert beide Fälle. Dabei ist $\delta_D$ die Dirac-Funktion.
+\section{Dirac $\delta_D$-Funktion}
+Möchte man von der Ladungsdichte $\rho(\vec r)$ auf die  Ladung im Volumen $V$ schließen, berechnet man einfach
+\[q = \int_V \d[3]{r}\rho(\vec r).\]
+In die andere Richtung ist es nicht offensichtlich, hier gilt
+\[
+    \rho(\vec r) = q\delta_D (\vec r - \vec r')  
+\]
+wenn $q$ bei $\vec r'$ liegt.
+\begin{enumerate}
+    \item Für das Potenzial gilt
+    \begin{salign*}
+        \phi(\vec r) &= \int_V \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|},\quad \rho \to 0.
+    \intertext{Dann erhalten wir}
+    \Delta \phi &= \int_V \d[3]{r'} \rho(r') \Delta \frac{1}{|\vec r - \vec r'|}\\
+    &= -4\pi  \int \d[3]{r'} \rho(\vec r') \cdot \delta_D(\vec r - \vec r')
+    \intertext{Es gilt $\int_V \d[3]{r'}\varphi(\vec r') \delta_D(\vec r - \vec r') = \varphi(\vec r)$ und $\int \d[3]{r'} \delta_D(\vec r - \vec r') = 1$}
+    &= - 4\pi \rho(\vec r)
+    \end{salign*}
+    Man kann sich die Dirac $\delta$-Funktion vorstellen als 
+    \[
+        \lim\limits_{\sigma^2 \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right).
+    \]
+    \item Für diskrete Ladungen gilt
+    \begin{salign*}
+        \phi(\vec r) &= \sum_{i} \frac{q_i}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
+        \Delta \phi(\vec r) &= \sum_{i} q_i \Delta \frac{1}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
+        &= \sum_{i} q_i(-4\pi)\delta_D (\vec r - \vec r_i)\\
+        &= -4\pi \rho(\vec r),
+    \end{salign*} 
+    wobei wir die Ladungsverteilung $\rho(\vec r) = \sum_{i } q_i \delta_{D}(\vec r - \vec r_i)$ erhalten.
+\end{enumerate}
+\section{Eigenschaften der Dirac $\delta_D$-Funktion}
+\begin{enumerate}
+    \item Normierung $\int_{-\infty}^\infty\d{x} \delta_D(x) = 1$
+    \item Verschiebung $\int_{-\infty}^\infty\d{x}\varphi(x) \delta_D(x-a) = \varphi(a)$
+    \item Skalierung $\int_{-\infty}^\infty\d{x} \delta_D(ax) = \int_{-\infty}^\infty \frac{\d{y}}{a}\delta_D(y)$
+    \item Ableitung $\int_{-\infty}^\infty \d{x} \varphi(x) \delta_D'(x-a) = \underbrace{\varphi(x) \delta_D(x-a)\bigg|_{-\infty}^{+\infty}}_{\to 0} - \int_{-\infty}^\infty\d{x} \varphi'(x)\delta_D(x-a) = \varphi'(a)$.
+\end{enumerate}
+\section{Potenzielle Energie einer Ladungsverteilung}
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Bei einer Ladung $q_1$ an der Stelle $\vec r_1$ erhalten wir das Potenzial $\phi_1 = \frac{q_1}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}$.
+    \item Nun schieben wir eine Ladung $q_2$ aus dem Unendlichen an die Stelle $\vec r_2$. Dabei verrichten wir eine Arbeit $W_2 = q_2\phi_1(\vec r_2)$.
+    \item Wir schieben eine dritte Ladung $q_3$ an die Stelle $\vec r_3$ und verrichten die Arbeit $W_3 = q_3(\phi_1(\vec r_3) + \phi_2(\vec r_3))$.\\
+    $\vdots$
+    \item[(n)] Schließlich schieben wir die Ladung $q_n$ an die Stelle $\vec r_n$ und verrichten die Arbeit $W_n = q_n\sum_{i = 1}^{n-1} \phi_i(\vec r_n)$  
+\end{enumerate}
+Als Gesamtenergie ergibt sich daher
+\begin{salign*}
+    W_\text{ges} &= \sum_{n = 1}^{N} W_n\\
+    &= \sum_{n = 1}^{N} q_n \sum_{i = 1}^{n-1}  \frac{q_i}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}\\
+    &\stackrel{\text{Doppelzählung}}{=} \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_iq_n}{\left|\vec r - \vec r_1\right|}
+\end{salign*}
+Gehen wir nun zum Kontinuum über, so erhalten wir
+\begin{salign*}
+  W &= \frac{1}{2}\int \d[3]{r} \int \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec r)\rho(\vec r')}{\left|\vec r - \vec r'\right|}\\
+    &= \frac{1}{2} \int \d[3]{r} \rho(\vec r) \cdot \underbrace{\int \d[3]{4'} \frac{\rho(\vec r)}{\left|\vec r - \vec r'\right|}}_{= \phi(\vec r)}\\
+    &= \frac{1}{2} \int \d[3]{r} \rho(\vec r) \cdot\phi(\vec r)\\
+    &\stackrel{\Delta \phi = -4\pi\rho}{=} - \frac{1}{8\pi}\int \d[3]{r} \Delta \phi \cdot \phi
+    \intertext{Es gilt die Produktregel $\phi \nabla \phi = \phi \div \nabla \phi = \div (\phi \nabla \phi) - \nabla\phi \cdot \nabla\phi$}
+    &= -\frac{1}{8\pi} \int \d[3]{r} \div (\phi\nabla \phi) + \frac{1}{8\pi}\int \d[3]{r} (\nabla \phi)^2\\
+    &= \frac{1}{8\pi} \int \d[3]{r} \left|\vec E\right|^2\\
+    &= \int \d[3]{r} W_{\mathrm{el}}
+\end{salign*}
+\begin{definition}[Energiedichte]
+    Wir definieren die Energiedichte $W_{\mathrm{el}} = \frac{1}{8\pi} |\vec E|^2$.
+\end{definition}
+\end{document}

theo03.tex

@@ -0,0 +1,326 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\usepackage{tikz-3dplot}
+\begin{document}
+
+\section{Randbedingungen von Feldern auf Oberflächen}
+Wir definieren die Oberflächenladung (siehe Abb. \ref{abb:oberflaeche}) als
+\[
+    \sigma(\vec{r}) \coloneqq \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta q(\vec{r})}{\Delta S}
+.\] 
+\begin{figure}[h]
+    \label{abb:oberflaeche}
+\tdplotsetmaincoords{70}{110}
+\begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords]
+    \fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle;
+    \draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, 0.5) -- cycle ;
+    \draw[black, dotted] (-0.5, -0.5, 0) -- (0.5, -0.5, 0) -- (0.5, 0.5, 0) -- (-0.5, 0.5, 0) -- cycle ;
+    \node at (0, 0.7, 0) {$\Delta S$};
+    \node at (0, -0.2, 0) {$\sigma$};
+    \node[blue] at (0, 0.7, 0.5) {$\Delta V$};
+    \draw[blue] (-0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5)
+        -- cycle;
+    \draw[blue] (-0.5, -0.5, 0.5) -- (-0.5, -0.5, -0.5);
+    \draw[blue] (0.5, -0.5, 0.5) -- (0.5, -0.5, -0.5);
+    \draw[blue] (0.5, 0.5, 0.5) -- (0.5, 0.5, -0.5);
+    \draw[blue] (-0.5, 0.5, 0.5) -- (-0.5, 0.5, -0.5);
+    \draw[->] (0, 0, -1) node[left]{$E_1^{\perp}$} -- (0, 0, 0) ; 
+    \draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0, 1) node[below left]{$E_2^{\perp}$}; 
+\end{tikzpicture}
+\centering
+\caption{Senkrechte Komponenten eines elektrischen Feldes durch Oberfläche mit Oberflächenladung $\sigma$.}
+\end{figure}
+
+Für das Integrationsvolumen betrachten wir die Divergenz des elektrischen Felds:
+\begin{salign*}
+    \int_{\Delta V}^{}  \d[3]{r} \div \vec{E}
+    &\stackrel{\text{Gauß}}{=}
+    \int_{\Delta S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \vec{E} \\
+    &= 4 \pi q \\
+    &= 4 \pi \int_{\Delta S}^{}  \d S \cdot \sigma \\
+    &\stackrel{\text{Vernachlässigung der Seiten}}{=} \Delta S ( E_2^{\perp} - E_1^{\perp})
+    \intertext{Damit folgt}
+    E_2^{\perp} &= E_1^{\perp} + 4 \pi \sigma
+.\end{salign*}
+
+\begin{figure}[h]
+    \label{abb:oberflaeche-2}
+\tdplotsetmaincoords{70}{110}
+\begin{tikzpicture}[scale=2,tdplot_main_coords]
+    \fill[red!50,opacity=0.2] (-2, -2, 0) -- (2, -2, 0) -- (2, 2, 0) -- (-2, 2, 0) -- cycle;
+    \draw[blue] (0, -0.5, -0.5) -- (0, 0.5, -0.5) -- (0, 0.5, 0.5) -- (0, -0.5, 0.5) -- cycle ;
+    \node[blue] at (0, 0.7, -0.3) {$\Delta S$};
+    \node[blue] at (0, 0, 0.7) {$\Delta r$};
+    \draw[->] (-0.5, -1, -1) node[left]{$\vec{E}_1$} -- (0, 0, 0) ; 
+    \draw[dashed] (-0.5, -1, -1) -- (0, -0.8, 0);
+    \draw[->] (0, -0.8, 0) node[left]{$E_1^{\parallel}$}-- (0, 0, 0);
+    \draw[->] (0, 0, 0) -- (0, 0.8, 0) node[right]{$E_2^{\parallel}$};
+    \draw[dashed] (0, 0.8, 0) -- (0.5, 1, 1);
+    \draw[->] (0, 0, 0) -- (0.5, 1, 1) node[above left]{$\vec{E}_2$}; 
+\end{tikzpicture}
+\centering
+\caption{Parallele Komponenten eines elektrisches Feldes durch Oberfläche.}
+\end{figure}
+
+Es liegt Elektrostatik vor. Damit ist $\vec{E} = - \nabla \phi$, also folgt
+$\rot \vec{E} = - \rot \nabla \phi = 0$, da die Rotation von Gradientenfeldern verschwindet.
+
+\begin{salign*}
+    \int_{\Delta S}^{}  \d{\vec{S}} \cdot \rot\vec{E}
+    &\stackrel{\text{Stokes}}{=} 
+    \int_{\partial \Delta S}^{}  \d{\vec{r}} \cdot \vec{E} \\
+    &\stackrel{\text{Vernachlässigung der Höhe}}{=}
+    \Delta r (E_2^{\parallel} - E_1^{\parallel}) \\
+    &= 0
+    \intertext{Damit folgt}
+    E_2^{\parallel} &= E_1^{\parallel}
+.\end{salign*}
+
+Im Vergleich fällt auf, dass das elektrische Feld senkrecht zur Oberfläche einen Sprung macht bei
+Durchstoßen der Oberfläche, sobald die Fläche eine Oberflächenladung besitzt. Dahingegen verändert sich 
+die parallele Komponente nicht.
+
+\textbf{Wiederholung}
+
+Elektrisches Feld $\vec{E}$ und elektrostatisches Potential $\phi$. Dann ist
+\begin{salign*}
+    \vec{E}(\vec{r}) &= q_1 \frac{\vec{r} - \vec{r}_1}{| \vec{r} - \vec{r}_1|^{3}}
+    \intertext{Bei mehreren Ladungen folgt mit Superpositionsprinzip}
+    \vec{E}(\vec{r}) &= \sum_{i}^{n} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^{3}}
+    \intertext{Im Kontinuumslimes ergibt sich} 
+    \vec{E}(\vec{r}) &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|^{3}}
+    \intertext{Aus 3. Maxwell Gleichung folgt im statischen Fall $\rot \vec{E} = - \partial_{ct} \vec{B} = 0$,
+    d.h. es muss ein Potential $\phi$ geben, mit $\vec{E} = - \nabla \phi$:}
+    \vec{E}(\vec{r}) &= - \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \nabla \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    = - \nabla \underbrace{\int_{}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}}_{= \phi(\vec{r})}
+    = - \nabla \phi
+    \intertext{Aus der 1. Maxwell Gleichung ($\div \vec{E} = 4 \pi \rho$) folgt}
+    \div \vec{E} &= - \div \nabla \phi = - \Delta \phi = 4 \pi \rho \qquad \text{(Poisson-Gleichung)}
+.\end{salign*}
+
+Die Maxwell-Gleichungen beschreiben eine Kontinuums-Theorie. Wie können dann Punktladungen
+in dieser Theorie beschrieben werden? Für Punktladung an der Stelle $\vec{r}'$ ist
+\begin{salign*}
+    \rho(\vec{r}) = q \cdot \underbrace{\delta_D (\vec{r} - \vec{r}')}_{\sim \text{Volumen}^{-1}}
+.\end{salign*}
+
+Wieso hat die Dirac Funktion die Einheit eines reziproken Volumens? Das folgt aus der Normierung
+\begin{align*}
+    \int_{}^{}  \d[3]{r} \delta_D | \vec{r} - \vec{r}'| = 1
+\end{align*}
+woraus direkt
+\begin{align*}
+    \int_{}^{}  \d[3]{r} \rho{\vec{r}} = q
+\end{align*}
+folgt.
+
+\textbf{Dirac-Funktion als Kontinuumslimes des Kronecker $\delta$}
+
+\begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
+\begin{itemize}
+    \item $\sum_{i=1}^{n} \delta_{ij} = 1$
+    \item $\sum_{i=a}^{b} \delta_{ij} = \begin{cases}
+            1 & \text{falls } a \le j \le b \\
+            0 & \text{sonst}
+    \end{cases}$
+    \item $\sum_{i=1}^{n} \delta _{ij} A^{i} = A_j$
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+vs.
+\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
+\begin{itemize}
+    \item $\int_{-\infty}^{\infty}  \d x \delta_D(x - x') = 1$
+    \item $\int_{a}^{b}  \d x \delta_D(x - x') = \begin{cases}
+            1 & \text{falls }a \le x' \le b \\
+            0 & \text{sonst}
+        \end{cases}$
+    \item $\int_{-\infty}^{\infty}  \d x \varphi(x) \delta_D(x -x') = \varphi(x')$ (Faltungsintegral)
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}[default 2d plot, xtick={1.2}, xticklabels={$x'$}, ytick={1},
+            xlabel=$x$, ylabel=$\varphi(x)$, grid=none, minor tick num=0]
+            \addplot[domain=0:2,samples=90] {0.5*sin(90*x^2)};
+            \draw (1.15, 0) -- (1.15, 0.5) -- (1.25, 0.5) -- (1.25, 0);
+        \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Gestalt der Dirac Funktion}
+\end{figure}
+
+Verbindung der kontinuierlichen Welt der Maxwell-Gleichungen mit der Intuition der diskreten Punktladungen.
+
+\begin{salign*}
+    \vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i} q_i \frac{\vec{r} - \vec{r}_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|^{3}}
+    = - \nabla \sum_{i} \frac{q_i}{| \vec{r} - \vec{r}_i|} = - \nabla \phi(\vec{r})
+.\end{salign*}
+Wie wird nun $\div \vec{E} = - \nabla \phi$ berechnet?
+\begin{salign*}
+    \Delta \frac{1}{| \vec{r} - \vec{r}'|} = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}')
+.\end{salign*}
+Die $\delta_D$ Funktion ist die Kontinuumsbeschreibung von Punktladungen.
+
+\section{Differentialoperatoren und Green-Funktionen}
+
+Nach Poisson-Gleichung ist
+\begin{salign*}
+    \Delta \phi(\vec{r}) &= - 4 \pi \rho (\vec{r}) \text{, gelöst von } \phi(\vec{r}) = \int_{}^{} 
+    \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\
+    \Delta \phi &= \Delta \int_{}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}'}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    = \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \Delta \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    = \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \cdot (-4 \pi) \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho(\vec{r})
+.\end{salign*}
+Interpretation von links nach rechts: $\Delta \phi = - 4 \pi \rho$: Lokalisierung von Ladungen aus $\phi$
+heraus.
+
+\begin{figure}[h]
+    \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+        \centering
+        \begin{tikzpicture}
+            \draw (0,0) circle (2cm);
+            \node at (2,2) {$\phi = \text{const}$};
+            \foreach \a in {0,60,...,300} {\draw[->] (\a:2) -- (\a:1.5); };
+            \draw[fill] (0,0) circle (0.1cm);
+        \end{tikzpicture}
+        \subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho \neq 0 $}
+    \end{subfigure}
+    \begin{subfigure}{0.5\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}
+            \draw (0,0) .. controls (1.5,1) .. (4,1.5);
+            \draw (0,-1) .. controls (1.8,0) .. (4,0) coordinate (line2);
+            \node at (4,2) {$\phi = \text{const}$};
+            \draw[->] (2.5, 1.3) -- (2.2, 1.9);
+            \draw[->] (2.0, 1.1) -- (1.7, 1.7);
+            \draw[->] (2.5, 0.1) -- (2.2, 0.7);
+            \draw[->] (2.0, -0.1) -- (1.7, 0.5);
+        \end{tikzpicture}
+        \centering
+        \subcaption{$\div \vec{E} = - \Delta \phi \sim \rho = 0$}
+    \end{subfigure}
+\end{figure}
+
+Interpretation von rechts nach links: Achtung: Gefährlicher Unfug:
+\begin{salign*}
+    \Delta \phi &= - 4 \pi \rho \qquad  \mid \Delta^{-1} \text{ ,,inverser Differentialoperator''} \\
+    \implies \phi &= \Delta^{-1} \left[ - 4 \pi \rho \right] = \int_{}^{}  \d[3]{r'}
+    \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+.\end{salign*}
+$\int_{}^{}  \d[3]{r}' \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \left[ \ldots \right]$ ist die inverse
+Operation zu $\Delta [ \ldots ]$. In Worten der Funktionalanalysis heißt dann
+
+$\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$ die Green-Funktion des Differentialoperators $\Delta$. Für uns
+Green-Funktion immer gleich dem Potential einer Punktladung.
+
+\chapter{Potentialtheorie}
+
+Ziel: Lösen von Poisson-Problemen.
+
+\section{Green-Theoreme}
+
+Seien $\varphi, \psi$ zwei skalare Felder. Dann ist
+\begin{align*}
+    \vec{A}(\vec{r}') &= \varphi(\vec{r}') \cdot \nabla'\psi(\vec{r}')  \\
+    \div' A (\vec{r}') &= \nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi + \phi \Delta'\psi \text{ (Produktregel)} \\
+    \intertext{Mit Satz von Gauß folgt dann}
+    \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}') &= \int_{\partial V}^{}  \d{\vec{S}'} \cdot \vec{A}(\vec{r}')
+    \qquad \d{\vec{S}} = \vec{n} \cdot \d s
+.\end{align*}
+
+Damit folgen die Green-Theoreme:
+
+\begin{satz}[1. Green-Theorem]
+    \begin{align*}
+        \int_{V}^{} \d[3]{r'} \div' \vec{A}(\vec{r}')
+        = \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \div'(\varphi \nabla' \psi)
+        &= \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \left[ \nabla'\varphi \cdot \nabla ' \psi + \varphi \Delta'\psi \right]  \\
+        &= \int_{\partial V}^{}  \d{S'} \varphi \cdot \underbrace{\nabla' \psi \cdot \vec{n}'}_{\frac{\partial \psi}{\partial n'}}
+    .\end{align*}
+\end{satz}
+
+Vertausche nun $\varphi$ und $\psi$ und subtrahiere zwei Kopien des ersten Green-Theorems. Dabei
+fällt $\nabla' \varphi \cdot \nabla' \psi$ heraus.
+
+\begin{satz}[2. Green-Theorem]
+    \begin{align*}
+        \int_{V}^{} \d[3]r' \left[ \varphi \cdot \nabla'\psi - \psi \nabla ' \varphi \right]
+        = \int_{\partial V}^{}  \d S' \left[ \varphi \frac{\partial \psi}{\partial n'} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n'} \right]
+    .\end{align*}
+\end{satz}
+
+Nun Anwendung durch Wahl der Felder: $\psi = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$, damit
+$\Delta' \psi = - 4 \pi \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')$. Weiter sei
+$\varphi = \phi$ Potential, also $\nabla' \phi = - 4 \pi \rho(\vec{r}')$ (Poisson-Gleichung).
+
+Substitution in das 2. Green-Theorem:
+\begin{align*}
+    \int_{V}^{} \d[3]{r'} \Big[ \underbrace{\phi(\vec{r}')}_{\varphi} \cdot \underbrace{(-4 \pi) \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')}_{\Delta \psi}
+    + \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}_{\psi} \underbrace{4 \pi \rho(\vec{r}')}_{\Delta \phi} \Big]
+    &= - 4 \pi \phi(\vec{r}) + 4 \pi \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \\
+    &= \int_{\partial V}^{}  \d{S'} \Big[ \phi(\vec{r}') \cdot \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} - \frac{\partial}{\partial n'} \phi(\vec{r}') \Big]
+.\end{align*}
+
+Auflösen nach $\phi$ ergibt
+
+\begin{align*}
+    \phi(\vec{r}) =
+    \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    + \frac{1}{4\pi} \int_{\partial V}^{}  \d{S'}
+    \Big[ \underbrace{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} \frac{\partial}{\partial n'} \phi}
+        _{ \substack{\text{Neumann-Randbedingung} \\\nabla \phi \text{ auf } \partial V}}
+        - \underbrace{\phi(\vec{r}') \frac{\partial}{\partial n'} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|}}
+        _{\substack{\text{Dirichlet-Randbedingung} \\ \phi \text{ auf } \partial V}}
+        \Big]
+.\end{align*}
+Falls $\partial V$ unendlich weit weg ist, bleibt nur der erste Term übrig. Bei der Festlegung der
+Randbedingungen, darf jeweils auf einem Flächenelement nur eine Neumann-Randbedingung oder eine
+Dirichlet-Randbedingung festgelegt werden, da sonst Probleme bezüglich der Bestimmtheit des Potentialproblems
+entstehen.
+
+\section{Eindeutigkeit der Potentiale}
+
+Seien $\phi_1, \phi_2$ Potentiale und Lösungen der Poisson-Gleichung,
+also
+\begin{align*}
+    \Delta \phi_1 = - 4\pi\rho = \Delta \phi_2 \implies \Delta (\underbrace{\phi_1 - \phi_2}_{=u}) = 0
+.\end{align*}
+Mit 1. Green-Theorem folgt
+\begin{align*}
+    \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \Big[ u \underbrace{\Delta' u}_{=0} - (\nabla' u)^2  \Big]
+    = \int_{\partial V}^{}  \d{S'} u \frac{\partial u}{\partial u'}
+.\end{align*}
+Fallunterscheidung nach Wahl der Randbedingung für Potentialproblem:
+\begin{itemize}
+    \item Neumann-Randbedingungen: $\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = \frac{\partial \phi_2}{\partial n}
+        \implies \frac{\partial u}{\partial n} = 0$ auf $\partial V$.
+    \item Dirichlet-Randbedingungen: $\phi_1 = \phi_2 \implies u = 0$ auf $\partial V$.
+\end{itemize}
+Damit verschwindet die rechte Seite immer und es folgt
+\begin{align*}
+    \int_{V}^{} \d[3]{r'} \underbrace{(\nabla ' u)^2}_{\ge 0} = 0
+.\end{align*}
+Also folgt bereits $\nabla' u = 0$, also $\phi_2 = \phi_1 + \text{const}$.
+Bei Dirichlet-Randbedingungen folgt damit, wegen $u = 0$ auf $\partial V$, dass $\phi_1 = \phi_2$.
+
+\section{Green-Funktionen}
+
+\begin{align*}
+    \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') = - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \text{ mit }
+    G(\vec{r} - \vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} + F(\vec{r}, \vec{r}')
+.\end{align*}
+
+$F(\vec{r}, \vec{r}')$ hat die Eigenschaft $\Delta F(\vec{r}, \vec{r}') = 0$: Vakuum. Erfüllen
+von Randbedingungen (,,Spiegelladungen'').
+
+\begin{align*}
+    \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') &= - 4 \pi \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \qquad 
+    \mid \cdot \rho(\vec{r}), \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \\
+    \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \Delta G(\vec{r}, \vec{r}') \cdot \rho(\vec{r}')
+    &= \Delta \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} = \Delta \phi \\
+    &= -4 \pi \int_{V}^{}  \d[3]{r'} \rho (\vec{r}') \cdot \delta_D(\vec{r} - \vec{r}') = - 4 \pi \rho
+.\end{align*}
+
+Green-Funktionen sind für lineare Feldgleichungen $\implies$ Superpositionsprinzip.
+
+\end{document}

theo04.tex

@@ -0,0 +1,223 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\usepackage{tikz-cd}
+\usetikzlibrary{quotes,angles,babel}
+
+\begin{document}
+
+\newcommand\irregularcircle[2]{% radius, irregularity
+  \pgfextra {\pgfmathsetmacro\len{(#1)+rand*(#2)}}
+  +(0:\len pt)
+  \foreach \a in {10,20,...,350}{
+    \pgfextra {\pgfmathsetmacro\len{(#1)+rand*(#2)}}
+    -- +(\a:\len pt)
+  } -- cycle
+}
+
+\section{Systematische Konstruktion von Green-Funktionen}
+
+\begin{salign*}
+    \Delta \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= (-4\pi) \delta_D (\vec{r} - \vec{r}') \qquad 
+    \mid \int_{}^{}  \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') \\
+    \intertext{Durch Superposition der Coulomb-Felder der Einzelladungen folgt damit}
+    \Delta \int_{V}^{} \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    &= \Delta \phi = -4 \pi \int_{V}^{}  \d[3]r' \rho(\vec{r}') \delta_D(\vec{r} - \vec{r}')
+    = - 4 \pi \rho(\vec{r})
+.\end{salign*}
+Jetzt: Green-Funktionen für andere Differentialoperatoren, z.B.: $\Delta - m^2$ oder
+$\square = \partial_{ct}^2 - \Delta$.
+
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Lösung der Feldgleichung: algebraisch statt differentiell. Dafür: Fourier-Transformation
+        \begin{align*}
+            \Delta \phi &= - 4 \pi \rho \qquad \text{Poisson-Gleichung} \\
+            \rho(\vec{r}) &= \int_{}^{}  \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \rho(\vec{k}) \exp(i\vec{k}\vec{r})
+            \xrightleftharpoons[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}}
+            \rho(\vec{k}) = \int \d[3]{r} \rho(\vec{r}) \exp(- i \vec{k} \vec{r}) \\
+            \phi(\vec{r}) &= \int_{}^{}  \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k}) \exp(i\vec{k}\vec{r})
+            \xrightleftharpoons[\mathcal{F}^{-1}]{\mathcal{F}}
+            \phi(\vec{k}) = \int \d[3]{r} \phi(\vec{r}) \exp(- i \vec{k} \vec{r})
+            \intertext{Die Fouriertransformation angewendet auf die Poisson-Gleichung ergibt dann}
+            \Delta \phi(\vec{r}) &= \Delta \int_{}^{}  \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k})
+            \exp(i \vec{k} \vec{r}) = \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \phi(\vec{k})(ik)^2
+            \exp(i \vec{k}\vec{r}) = \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} (-4\pi) \rho(\vec{k})
+            \exp(i \vec{k} \vec{r})
+        .\end{align*}
+        Durch Integrandenvergleich folgt
+        \begin{align*}
+            \Delta \phi = - 4 \pi \rho \text{ im Fourier-Raum: } -k^2 \phi(\vec{k}) = - 4 \pi \rho(\vec{k})
+        .\end{align*}
+        Wir erhalten also eine algebraische Gleichung im Fourier-Raum, die sehr leicht gelöst werden kann:
+        \begin{align*}
+            \phi(\vec{k}) = \frac{4\pi}{k^2}\rho(\vec{k})
+        .\end{align*}
+        Damit ergibt sich folgendes Diagramm
+        \[
+        \begin{tikzcd}
+            \phi(\vec{k}) \arrow{r}{\cdot \frac{k^2}{4\pi}} \arrow[swap]{d}{\mathcal{F}^{-1}}
+            & \rho(\vec{k}) \\
+            \phi(\vec{r}) \arrow{r}{\Delta } & \arrow{u}{\mathcal{F}} \rho(\vec{r})
+\end{tikzcd}
+        .\] Damit folgt als Lösung der Poisson-Gleichung:
+        \[
+            \phi(\vec{r}) = \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{4\pi}{k^2} \mathcal{F}[ \rho(\vec{r})] \right] 
+        .\] 
+        Fourier-Transformationen sind numerisch extrem effizient berechenbar mithilfe von
+        ,,fast Fourier-transform''.
+    \item Faltungen im Realraum sind Produkte im Fourier-Raum.
+        \begin{align*}
+            \varphi \otimes \psi (\vec{r}) &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}}
+            \left[ \varphi(\vec{k}) \cdot \psi(\vec{k}) \right] \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\
+            &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}}
+                \int_{}^{}  \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}') \exp(- i \vec{k} \vec{r}')
+                \int_{}^{}  \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'') \exp(- i \vec{k} \vec{r}) \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\
+            &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}')
+            \int_{}^{}  \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'')
+            \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} \exp[i \vec{k}(\vec{r} - \vec{r}' - \vec{r}'')]
+            \intertext{In einer ebenen Welle ist nur eine Frequenz enthalten, deren Spektrum aufgrund
+                von Normierung divergieren muss. Die Fouriertransformierte der ebenen Welle ist also
+            wieder die Dirac-Funktion}
+            &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}')
+            \int_{}^{}  \d[3]{r''} \psi(\vec{r}'')
+            \delta_D((\vec{r} - \vec{r}') - \vec{r}'') \\
+            &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \varphi(\vec{r}') \psi(\vec{r} - \vec{r}')
+        .\end{align*}
+        Wir erhalten also tatsächlich eine Faltung zwischen $\varphi$ und $\psi$.
+    \item Berechnung der Fourier-Transformierten der Green-Funktion
+        Idee: $\frac{4\pi}{k^2}$ ist die Green-Funktion von $\Delta (\sim -k^2)$ im Fourier-Raum.
+        \begin{align*}
+            \phi(\vec{r}) = \underbrace{\int_{}^{}  \d[3]{r'} G(\vec{r}, \vec{r}') \rho(\vec{r}')}_{\text{Faltung}}
+            \xrightarrow{\text{Fourier}}
+            \phi(\vec{k}) = \underbrace{G(\vec{k}) \cdot \rho(\vec{k})}_{\text{Produkt}}
+        .\end{align*}
+        Zu zeigen:
+        \begin{align*}
+            G(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \xleftarrow{\mathcal{F}^{-1}}
+            G(\vec{k}) = \frac{4\pi}{k^2}
+        .\end{align*}
+        Es ist
+        \begin{align*}
+            G &= \int_{}^{} \frac{\d[3]{k}}{(2\pi)^{3}} G(\vec{k}) \exp(i \vec{k} \vec{r}) \\
+            \intertext{Da $G(\vec{k})$ sphärisch symmetrisch, verwenden wir Kugelkoordinaten. Mit
+            $\mu \coloneqq \cos \sphericalangle(\vec{k}, \vec{r})$ ist $\vec{k} \cdot \vec{r} = kr \mu$.
+        Damit folgt:}
+            G &= \int_{0}^{\infty}\frac{k^2 \d k}{(2\pi)^{3}} \int_{-1}^{1}  \d{\mu}
+            \underbrace{\int_{0}^{2\pi}  \d{\varphi}}_{=2\pi} \frac{4\pi}{k^2}\exp(ikr\mu) \\
+            &= \int_{0}^{\infty}\frac{4\pi}{(2\pi)^2} \d k \cdot \int_{-1}^{1}  \d \mu \exp(-ikr \mu) \\
+            &= \int_{0}^{\infty}\frac{4\pi}{(2\pi)^2} \d k \cdot \frac{\exp(-ikr) - \exp(ikr)}{-ikr} \\
+            &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty}  \d k \frac{\sin(kr)}{kr} \\
+            &= \frac{2}{\pi} \frac{1}{r} \underbrace{\int_{0}^{\infty}  \d{(kr)} \frac{\sin(kr)}{kr}}_{= \frac{\pi}{2} \text{ siehe Funktheo}}
+        .\end{align*}
+\end{enumerate}
+
+\section{Multipolentwicklung}
+
+Betrachte eine komplizierte Ladungsverteilung. Von sehr weit weg, geht das elektrische Feld in ein
+Coulomb-Feld über, das heißt Details in der Ladungsverteilung werden weniger relevant.
+
+\begin{figure}[h]
+    \begin{tikzpicture}
+        \draw (1, 2) \irregularcircle{1cm}{3mm};
+        \node at (2.7,3) {$\rho \neq 0$};
+        \draw[->] (0,0) coordinate (origin) -- (1,2) coordinate (r1) node[above right]{$\vec{r}'$};
+        \draw[->] (origin) -- (4,1) coordinate (r2) node[above right]{$\vec{r}$};
+        \pic [draw, ->, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle = r2--origin--r1};
+        \node at (3, 0.1) {$\mu \coloneqq \cos \alpha$};
+    \end{tikzpicture}
+    \centering
+    \caption{Komplizierte Ladungsverteilung}
+\end{figure}
+
+\begin{align*}
+    \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= \frac{1}{\sqrt{(\vec{r} - \vec{r}'})^2}
+    = \frac{1}{\sqrt{r^2 - 2r r' \mu + r'^2} } = \frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \frac{r'}{r} \mu + \left( \frac{r'}{r} \right)^2} }
+    \intertext{Annahme, dass $r \gg r' \sim $ Beobachter weit weg im Vergleich zur Ausdehnung von $\rho$.}
+    \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &=
+    \frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty} \left( \frac{r'}{r} \right)^{l} \underbrace{P_l(\mu)}_{\text{Legendre-Polynome}}
+    = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{r'^{l}}{r^{l+1}} P_l(\mu)
+.\end{align*}
+Für die Legendre-Polynome gilt:
+\[
+    \frac{1}{\sqrt{1 - 2 \mu x + x^2} } = \sum_{l=0}^{\infty} P_l(\mu) x^{l}
+.\] Durch die Operation $\frac{\d[l]{}}{\d{x^l}}$ und anschließendes Setzen von $x=0$ erhalten wir das
+$l$-te Legendre Polynom. Damit folgt
+\begin{align*}
+    P_0(\mu) =  1, P_1(\mu) = \mu, P_2(\mu) = \frac{1}{3} (3 \mu^2 -1), P_3(\mu) = \frac{1}{2} (5\mu^{3} - 3\mu^2)
+.\end{align*}
+alternativ Formel von Rodriguez:
+\[
+    P_l(\mu) = \frac{1}{2^{l}l!} \frac{\d[l]{}}{\d \mu^{l}}(\mu^2 -1)^{l}
+.\] 
+
+Kugelflächenfunktionen $Y_{lm}(\theta, \varphi) \xrightarrow{} P_l(\cos \alpha)$ Legendre-Polynome.
+\begin{align*}
+    P_l(\mu) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^{l} Y_{lm}(\theta, \varphi) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')
+    \qquad \text{(Additionstheorem)}
+.\end{align*}
+
+\begin{figure}[h]
+    \begin{tikzpicture}
+        \draw[->] (0,0) coordinate (origin) -- (1,2) coordinate (r1) node[above right]{$\vec{r}' = (r', \theta', \varphi')$};
+        \draw[->] (origin) -- (4,1) coordinate (r2) node[above right]{$\vec{r} = (r, \theta, \varphi)$};
+        \pic [draw, ->, "$\alpha$", angle eccentricity=1.5] {angle = r2--origin--r1};
+    \end{tikzpicture}
+    \centering
+    \caption{Situation}
+\end{figure}
+
+Damit erhalten wir
+\begin{align*}
+    \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}'|} &= \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{r'^{l}}{r^{l+1}}
+    \cdot Y_{lm}(\theta, \varphi) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')
+    \intertext{Damit folgt}
+    \phi(\vec{r}) &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|}
+    = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{lm} (\theta, \varphi) \cdot 
+    \underbrace{\int_{}^{}  \d[3]{r'} r'^{l} \rho(\vec{r'}) Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')}
+    _{= q_{lm} \text{ Multipolmomente}} \\
+    \phi(\vec{r}) &= \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{4\pi}{2l+1} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{lm}(\theta, \phi) \cdot q_{lm}
+.\end{align*}
+Mutipolmomente
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Information über die Ladungsverteilung: Größe, Stärke und Form
+    \item Einfluss nimmt mit $\frac{1}{r^{l+1}}$ ab. Dominierender Term $\frac{1}{r}$-Term bei großem
+        Abstand
+\end{enumerate}
+
+Monopol $l=0$, also nur $1$ Koeffizient, $m = 0$ $\sim $ Gesamtladung.
+\begin{align*}
+    q_{00} = \int \d[3]{r'} r'^{0} \rho(\vec{r}') \cdot \underbrace{Y_{00}^{*}(\theta, \varphi)}_{\frac{1}{\sqrt{4\pi} }} = \frac{q}{\sqrt{4\pi} }
+.\end{align*}
+
+Dipol $l=1$, also $3$ Koeffizienten, $m \in \{-1, 0, 1\} $.
+\begin{align*}
+    q_{1m} = \int_{}^{}  \d[3]{r'}\rho(\vec{r}') r' Y_{1m}^{*}(\theta', \varphi') \sim \text{ Ladung } \times  
+    \text{ Abstand}
+.\end{align*}
+
+Quadrupol $l=2$, also $5$ Koeffizienten, $m \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} $.
+\begin{align*}
+    q_{2m} = \int \d[3]{r'} \rho(\vec{r}') r'^2 Y_{2m}^{*}(\theta', \varphi') \sim \text{ Ladung } \times \text{ Fläche}
+.\end{align*}
+Oktupol $l=3$\\
+Hexadekupol $l=4$
+
+Hermitizität:
+\begin{align*}
+    Y_{lm}^{*}(\theta, \varphi) &= (-1)^{m} Y_{l,-m}(\theta, \varphi)
+    \intertext{Damit folgt}
+    q_{lm}^{*} &= \int_{}^{}  \d[3]{r'} r'^{l} \rho(\vec{r}') Y_{lm}^{*}(\theta', \varphi')
+    = (-1)^{m} \int_{}^{}  \d[3]{r'}r'^{l} \rho(\vec{r}') Y_{l, -m}(\theta', \varphi') \\
+    &= (-1)^{m} q_{l, -m}
+.\end{align*}
+Für reelle Ladungsverteilungen existieren also $(l+1)$ unabhängige Multipole.
+
+\section{Kugelflächenfunktionen: sphärisch harmonische Funktionen}
+
+\begin{align*}
+    \Delta \exp(- i \vec{k} \vec{r}) &= - k^2 \exp(\pm i\vec{k}\vec{r})
+    \implies (\Delta + k^2) \exp(\pm i\vec{k}\vec{r}) = 0 \qquad (\text{ Helmholtz-Differentialgleichung}) \\
+    \Delta_{\theta, \varphi} Y_{lm}(\theta, \varphi) &= - l(l+1) Y_{lm}(\theta, \varphi) \implies
+    (\Delta_{\theta, \varphi} + l(l+1)) Y_{lm}(\theta, \varphi) = 0
+.\end{align*}
+
+\end{document}

theoIII.tex

@@ -0,0 +1,33 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\usepackage{standalone}
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{subcaption}
+\usepackage{tikz-cd}
+\usepackage{tikz-3dplot}
+\usetikzlibrary{quotes,angles,babel}
+
+\title{Theoretische Physik 3: Elektrodynamik}
+\author{Prof. Dr. Bjoern Malte Schäfer\\[5mm]
+Mitschrift von \\[1mm]
+Christof Gehrig (\href{mailto:christof.gehrig@stud.uni-heidelberg.de}{christof.gehrig@stud.uni-heidelberg.de})\\
+Josua Kugler (\href{mailto:josua.kugler@stud.uni-heidelberg.de}{josua.kugler@stud.uni-heidelberg.de})\\
+Christian Merten (\href{mailto:christian.merten@stud.uni-heidelberg.de}{christian.merten@stud.uni-heidelberg.de})\\
+Rui Yang (\href{mailto:rui.yang@stud.uni-heidelberg.de}{rui.yang@stud.uni-heidelberg.de})\\
+}
+\date{Wintersemester 2020/21}
+\renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}
+\begin{document}
+
+\newgeometry{right=15mm, left=15mm}
+\maketitle
+\restoregeometry
+
+\tableofcontents
+
+\input{theo01.tex}
+\input{theo02.tex}
+\input{theo03.tex}
+\input{theo04.tex}
+
+\end{document}