update ana and wtheo

ws2020/ana/uebungen/ana8.tex

@@ -67,26 +67,95 @@
     Sei nun $\epsilon > 0$. Dann ex. also ein $\delta > 0$ s.d. $\forall \tilde{\delta} \le \delta$
     gilt: $\Vert f * \varphi_{\tilde{\delta}} - f \Vert_{L^{1}(\R^{n})} < \frac{\epsilon}{2}$. Setze
     $K_n \coloneqq \overline{B_n(0)}$ und
-    $g_n \coloneqq (f * \varphi_{\delta}) \chi_{K_n}$. Dann ist $g_n \in C_c^{\infty}(\R^{n})$,
-    da $\varphi_{\delta} \in C^{\infty}(\R^{n})$ und $K_n$ kompakt.
+    $g_n \coloneqq (f * \varphi_{\delta}) \chi_{K_n}$. Dann ist $\text{spt }g_n$ kompakt,
+    da $\text{spt }g_n = \text{spt } (f * \varphi_{\delta}) \cap \text{spt } \chi_{K_n}$
+    als Schnitt zweier abgeschlossener Mengen abgeschlossen und
+    wegen $\text{spt }\chi_{K_n} = K_n$ und $\text{spt } \chi_{K_n} \supseteq \text{spt }g_n$ beschränkt ist.
 
-    Dann gilt $|f|\chi_{K_n} \nearrow |f|$. Also
-    ex. ein $n_0 \in \N$, s.d. $\forall n \ge n_0$:
+    Es gilt weiter $|f|\chi_{K_n} \nearrow |f|$. Also
+    ex. nach dem Satz der monotonen Konvergenz ein $n_0 \in \N$, s.d. $\forall n \ge n_0$:
     \[
-    \left| \Vert f \chi_{K_n} \Vert_{L^{1}} - \Vert f \Vert_{L^{1}} \right| < \frac{\epsilon}{2}
+    \left| \Vert f \chi_{K_n} \Vert_{L^{1}} - \Vert f \Vert_{L^{1}} \right| < \frac{\epsilon}{3}
     .\] Damit folgt $\forall n \ge n_0$:
     \begin{salign*}
         \underbrace{\Vert f \Vert_{L^{1}}}_{< \infty}
         &= \underbrace{\int_{K_n}^{} |f| \d{x}}_{< \infty} + \underbrace{\int_{K_n^{c}}^{} |f| \d{x}}_{< \infty} \\
         \intertext{Also}
         \int_{K_n^{c}}^{} |f| \d{x} &= \int_{\R^{n}}^{} |f| \d{x} - \int_{K^{n}}^{} |f| \d{x}  \\
-        &= \Vert f \Vert_{L^{1}} -  \Vert f \chi_{K_n} \Vert \\
-        &< \frac{\epsilon}{2}
+        &= \Vert f \Vert_{L^{1}} -  \Vert f \chi_{K_n} \Vert_{L^{1}} \\
+        &< \frac{\epsilon}{3}
     .\end{salign*}
-    Setze nun $f_{\epsilon} \coloneqq g_{n_0}$. Dann ist $f_{\epsilon} \in C_c^{\infty}$ und es gilt
+    Der Faltungsapproximationssatz angewendet auf $g_{n_0}$, ergibt ein $\delta' > 0$, s.d. 
+    $\Vert g_{n_0} * \varphi_{\delta '} - g_{n_0} \Vert_{L^{1}} < \frac{\epsilon}{3}$. Nun setze
+    $f_{\epsilon} \coloneqq g_{n_0} * \varphi_{\delta'}$. Da $\text{spt }g_{n_0}$ kompakt
+    und $\varphi_{\delta'} \in C_c^{\infty}$ folgt $f_{\epsilon} \in C_c^{\infty}$.
+    Damit gilt
     \begin{salign*}
-    \Vert 
+        \Vert f_\epsilon - f \Vert_{L^{1}} &\le \Vert f_{\epsilon} - g_{n_0} \Vert_{L^{1}}
+        + \Vert g_{n_0} - f \Vert_{L^{1}} \\
+        &= \Vert f_{\epsilon} - g_{n_0} \Vert_{L^{1}} + 
+        \int_{K_{n_0}}^{} |f * \varphi_{\delta} -f | \d{x} 
+        + \int_{K_{n_0}^{c}}^{} |f| \d{x}  \\
+        &< \frac{\epsilon}{3} + \Vert f * \varphi_{\delta} - f \Vert_{L^{1}} + \frac{\epsilon}{3}\\
+        &< \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3}\\
+        &= \epsilon
     .\end{salign*}
 \end{aufgabe}
 
+\begin{aufgabe}[]
+    Sei $f \in L^{1}(\R^{n})$ und $\epsilon > 0$. Dann ex. nach Aufgabe 8.2 ein
+    $f_{\epsilon} \in C_c^{\infty}(\R^{n})$ mit
+    \[
+        \Vert f - f_{\epsilon} \Vert_{L^{1}(\R^{n})} < \frac{\epsilon}{3} \qquad \text{(i)}
+    .\] Sei nun $|h| < 1$ und setze $S \coloneqq \text{spt}f_{\epsilon}$. Dann ist
+    $S$ kompakt und beschränkt, d.h. es ex. ein $0 < r < \infty$, s.d.
+    $\overline{B_r(0)} \supseteq \bigcup_{x \in S} \overline{B_{1}(x)}$. Dann gilt
+    $\forall x \in \overline{B_r(0)}^{c}\colon f_{\epsilon}(x) = f_{\epsilon}(x + h) = 0$ (ii).
+
+    Da $f_{\epsilon} \in C_c^{\infty}$ ex. nach Lemma von Hadamard $g_i \in C_c^{\infty}(\R^{n})$ mit
+    \[
+        f_{\epsilon}(x) = f_{\epsilon}(0) + \sum_{i=1}^{n} x_i g_i(x) \qquad \forall x \in \R^{n}
+    .\] Damit gilt $\forall i = 1, \ldots, n$: $|g_i|$ insbesondere stetig und
+    nimmt damit auf der kompakten Menge $\overline{B_r(0)}$ ein Maximum an. Setze
+    $M_i \coloneqq \max_{x \in \overline{B_r(0)}} |g_i(x)|$
+    und damit $M \coloneqq \max_{i = 1,\ldots,n} M_i$. Sei $M > 0$, sonst
+    folgt direkt $\Vert f_{\epsilon} - f_{\epsilon, h} \Vert_{L^{1}} = 0$.
+
+    Sei nun $V \coloneqq \mathscr{L}^{n}(\overline{B_r(0)})$.
+    Dann ist $g_i$ glm. stetig in $\overline{B_r(0)}$, d.h. $\exists \delta_i > 0$, s.d.
+    $\forall x\in \overline{B_r(0)}$ und $h \in B_{\delta_i}(0)\colon |g_i(x) - g_i(x+h)| < \frac{\epsilon}{6 r n V}$.
+    Setze nun $\delta \coloneqq \min \{ \delta_i, \frac{\epsilon}{6 n V}\} > 0$.
+
+    Damit folgt für $h \in \R^{n}$ mit $|h| < \min \{\delta, \frac{\delta}{M}\} $:
+    \begin{salign*}
+        \Vert f_{\epsilon} - f_{\epsilon, h} \Vert_{L^{1}}
+        &\stackrel{\text{(ii)}}{=} \int_{\overline{B_r(0)}}^{} |f_{\epsilon}(x) - f_{\epsilon}(x + h)| \d{x} \\
+        &\stackrel{\text{Hadamard}}{=}
+        \int_{\overline{B_r(0)}}^{} \left|f_{\epsilon}(0) + \sum_{i=1}^{n} x_i g_i(x) \d{x}
+        - f_{\epsilon}(0) - \sum_{i=1}^{n} (x_i + h_i) g_i(x + h) \right| \d{x} \\
+        &\le \int_{\overline{B_r(0)}}^{} \sum_{i=1}^{n} |x_i (g_i(x) - g_i(x+h)) - h_i g_i(x +h)| \d{x}  \\
+        &\le \int_{\overline{B_r(0)}}^{} \sum_{i=1}^{n} (|x_i| |g_i(x) - g_i(x+h)| + |h_i g_i(x +h)| \d{x}  \\
+        &= \sum_{i=1}^{n} \int_{\overline{B_r(0)}}^{} (\underbrace{|x_i|}_{\le r}
+    \underbrace{|g_i(x) - g_i(x+h)|}_{< \frac{\epsilon}{6 rnV}} + \underbrace{|h_i|}_{< \frac{\delta}{M}} \underbrace{|g_i(x+h)|}_{\le M} \d{x}  \\
+        &< \sum_{i=1}^{n} \int_{\overline{B_r(0)}}^{} \Big[ r \frac{\epsilon}{6 r n V} + \frac{\delta}{M} M \Big]  \d{x} \\
+        &\le \sum_{i=1}^{n} \int_{\overline{B_r(0)}}^{} \left[ \frac{\epsilon}{6 n V} + \frac{\epsilon}{6 n V} \right]  \d{\mu}   \\
+        &= \frac{\epsilon}{3 n V} n V \\
+        &= \frac{\epsilon}{3} \qquad \text{(iii)}
+    .\end{salign*}
+    Es gilt außerdem $\Vert f_{\epsilon, h} - f_{h} \Vert_{L^{1}} = \Vert f_{\epsilon} - f \Vert_{L^{1}}$
+    mit Transformationssatz und der Transformation $z = x + h$ (iv).
+    Daraus folgt insgesamt
+    \begin{salign*}
+        \Vert f - f_h \Vert_{L^{1}} &= \Vert f - f_{\epsilon} + f_{\epsilon} - f_{\epsilon,h} + f_{\epsilon,h}
+        - f_h \Vert_{L^{1}} \\
+        &\le \Vert f - f_{\epsilon} \Vert_{L^{1}} + \Vert f_{\epsilon} - f_{\epsilon,h} \Vert_{L^{1}}
+        + \Vert f_{\epsilon, h} - f_h \Vert_{L^{1}} \\
+        &\stackrel{\text{(iv)}}{=} 2 \Vert f - f_{\epsilon} \Vert_{L^{1}} + \Vert f_{\epsilon} - f_{\epsilon,h}
+        \Vert_{L^{1}} \\
+        &\stackrel{\text{(i), (iii)}}{<} 2 \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\
+        &= \epsilon
+    .\end{salign*}
+    Für $\epsilon \to 0$ folgt die Behauptung.
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}