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 \documentclass{../lectures/lecture}
 \geometry{
    top=10mm,
    left=15mm,
    right=20mm,
    bottom=10mm}
 \begin{document}
 \thispagestyle{plain}
 \renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}
 \setcounter{chapter}{4}
 \setcounter{section}{6}
 Seien im Folgenden
 $S$ und $S'$ zwei Koordinatensysteme, wobei sich $S'$ relativ zu $S$ mit Geschwindigkeit $v$ bewege,
 sodass zum Zeitpunkt $ct = ct' = 0$ auch $x = x' = 0$ gelte.
 Das Ereignis $A$ liege im gemeinsamen Ursprung von $S$ und $S'$.
 \section{Geometrischer Vergleich zwischen Lorentz-Transformationen und Rotationen}
 Rotationen (links) und Lorentz-Transformationen (rechts) erzeugen deutlich verschiedene Geometrien.
 \begin{salign*}
 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \qquad
 \begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix} \cosh\psi & \sinh\psi \\ \sinh\psi & \cosh\psi \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} 
 .\end{salign*}
 Das fehlende Minuszeichen in den
 Lorentz-Transformationen, führt dazu, dass die Achsen für positive Rapidität zueinander geschert werden
 und die hyperbolischen Funktionen dazu, dass die Linien von gleichem $s^2$, also die Linien,
 auf denen die Lorentzinvariante $s^2 = (ct)^2 - x^2$ konstant ist, hyperbelförmig sind, im Gegensatz
 zu den kreisförmigen Linien gleichen Radius bei Rotationen.
 \section{Kausale Struktur der Raumzeit}
 Die Raumzeit ist durch eine ausgezeichnete Linie getrennt. Diese erfüllt
 die Gleichung $x = ct$. Hier ist $s^2 = 0$ und Ereignisse auf dieser Linie werden \textbf{lichtartig} gennant.
 Lichtsignale, die im Ursprung eines Koordinatensystems losgeschickt werden, verlaufen auf dieser (Null-)Linie.
 Die Nulllinie trennt Ereignisse in der Raumzeit in zwei Gruppen: Die \textbf{zeitartig} getrennten,
 mit $s^2 > 0$ und die \textbf{raumartig} getrennten mit $s^2 < 0$. Der Bereich der Raumzeit, wo $s^2 > 0$ gilt,
 wird auch \textbf{Lichtkegel} genannt. Innerhalb des Lichtkegels
 liegt eine absolute zeitliche Ordnung der Ereignisse vor: Ein Ereignis $B$, das in $S$ nach $A$ stattfindet,
 findet auch in $S'$ nach $A$ statt. Außerhalb des Lichtkegels, also für raumartig getrennte Ereignisse
 gilt das nicht: Es kann $v$ immer so gewählt werden, dass $B$ unterhalb der $x'$-Achse liegt. Dann
 findet $B$ in $S'$ vor $A$ statt.
 Außerdem kann $A$ nur zeitartigen Ereignissen $B$ Lichtsignale senden, da dort das Lichtsignal ankommt,
 bevor $B$ stattfindet.
 Bei raumartigen Ereignissen $C$ kann jedoch ein Lichtsignal von $A$ nicht ankommen,
 da wenn das Lichtsignal die räumlichen Koordinaten von $C$ erreicht hat, $B$ schon passiert ist.
 \section{Relativistische Effekte}
 \begin{itemize}
    \item Relativität der Gleichzeitig: Wie bereits im vorangegangenen Abschnitt erwähnt,
        ist keine zeitliche Ordnung der Ereignisse außerhalb des Lichtkegels gegeben.
    \item Zeitdilatation: Eine in $S'$ ruhende Uhr, scheint von $S$ aus betrachtet langsamer
        zu gehen. Genauer: $\Delta t = \gamma \Delta t'$. Dieser Effekt ist symmetrisch und wird
        von der Transformation erzeugt.
    \item Längenkontraktion: Längenmaßstäbe in einem bewegten System erscheinen verkürzt. Genauer:
        $\Delta x = \frac{1}{\gamma} \Delta x'$. Auch dieser Effekt ist symmetrisch und wird nur durch
        die Transformation erzeugt.
 \end{itemize}
 \section{Eigenzeit}
 \thispagestyle{plain}
 Sei eine Trajektorie $x^{\mu}(\tau)$ durch ein Koordinatensystem gegeben. Die Uhr eines Insassen eines
 Raumschiffes, das sich auf dieser Trajektorie bewegt, zeigt die sogenannte \textbf{Eigenzeit} $\tau$ des
 Systems an. Die Tangente $u^{\mu}(\tau) = \frac{\d{x}^{\mu}}{\d{\tau}}$ gibt die Geschwindigkeit
 des Teilchens auf der Trajektorie an.
 Durch Berechnung der Lorentz-Invariante $s^2$ erhalten wir $s^2 = (c\tau)^2$ im Ruhesystem
 des Teilchens. Da dieser Zusammenhang auch infinitesimal gilt, folgt insgesamt für
 die vom Ereignis $A$ zum Ereignis $B$ vergangene Eigenzeit
 \begin{salign*}
    \tau = \int_{A}^{B}  \d{\tau} = \int_{A}^{B} \frac{\d{t}}{\gamma}
 \end{salign*}
 für Start- und Endpunkte $A$ und $B$.
 \end{document}