christian/uni
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Releases Wiki Activity

add wohldefiniertheits

Browse Source
This commit is contained in:
christian
2019-11-21 08:33:06 +01:00
parent 482802ee2a
commit 02e93ac868
2 changed files with 10 additions and 3 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
ws2019/la/uebungen/la5.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
ws2019/la/uebungen/la5.tex
+10 -3
View File
@@ -100,7 +100,7 @@ $U = \{f \in V \mid f(m_0) = 0\} $ und
.\] und $w \in W$, s.d. .\] und $w \in W$, s.d.
\[ \[
w(m) = f(m_0) \text{ } \forall m \in M w(m) = f(m_0) \text{ } \forall m \in M
.\] .\] $u$ und $w$ sind wohldefiniert, da $f$ Abbildung ist.
Damit folgt: Damit folgt:
\[ \[
@@ -131,6 +131,8 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
\begin{proof} \begin{proof}
Seien $v_1, v_2 \in V$, $a \in K$ beliebig. Seien $v_1, v_2 \in V$, $a \in K$ beliebig.
Zunächst: $\psi(v_1)$ wohldefiniert, da $v_1$ Abbildung ist und jedes Tupelelement genau
einem Bild von $v_1$ zugeordnet wird.
\begin{align*} \begin{align*}
\psi(v_1 + v_2) &= \left( (v_1+v_2)(0), (v_1 + v_2)(1), \ldots, (v_1+v_2)(n+1) \right) \\ \psi(v_1 + v_2) &= \left( (v_1+v_2)(0), (v_1 + v_2)(1), \ldots, (v_1+v_2)(n+1) \right) \\
&= \left( v_1(0) + v_2(0), v_1(1) + v_2(1), \ldots, v_1(n+1) + v_2(n+1) \right) \\ &= \left( v_1(0) + v_2(0), v_1(1) + v_2(1), \ldots, v_1(n+1) + v_2(n+1) \right) \\
@@ -149,6 +151,7 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
Beh.: $\partial$ ist linear. Beh.: $\partial$ ist linear.
\begin{proof} \begin{proof}
Seien $v_1, v_2 \in V$, $a \in K$ und $i \in \{0, 1, \ldots, n\} $ beliebig. Seien $v_1, v_2 \in V$, $a \in K$ und $i \in \{0, 1, \ldots, n\} $ beliebig.
Zunächst: $\partial(v_1)$ wohldefiniert, da $v_1$ Abbildung ist.
\begin{align*} \begin{align*}
\partial(v_1+v_2)(i) &= (i+1) \cdot (v_1 + v_2)(i+1) \\ \partial(v_1+v_2)(i) &= (i+1) \cdot (v_1 + v_2)(i+1) \\
&= (i+1) \cdot (v_1(i+1) + v_2(i+1)) \\ &= (i+1) \cdot (v_1(i+1) + v_2(i+1)) \\
@@ -254,11 +257,11 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
\[ \[
\text{ker } \partial \text{ker } \partial
= \left\{ f \in V \mid f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} = \left\{ f \in V \mid f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\}
\setminus \{\text{char } K - 1\} \right\} \setminus \{\text{char } K\} \right\}
.\] Damit ergibt sich: .\] Damit ergibt sich:
\[ \[
\psi(\text{ker } \partial) = \{ (a_0, a_1, \ldots, a_{n+1}) \in K^{n+2} \psi(\text{ker } \partial) = \{ (a_0, a_1, \ldots, a_{n+1}) \in K^{n+2}
\mid a_k = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \setminus \{\text{char }K - 1\} \} \mid a_k = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \setminus \{\text{char }K\} \}
.\] .\]
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proof} \end{proof}
@@ -274,6 +277,7 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
\begin{proof} \begin{proof}
Seien $\varphi_1, \varphi_2 \in V^{*}$ und $a \in K$ beliebig. Seien $\varphi_1, \varphi_2 \in V^{*}$ und $a \in K$ beliebig.
Zunächst: $f^{*}(\varphi_1)$ wohldefiniert, weil $\varphi_1$ und $f$ Abbildungen sind.
\begin{align*} \begin{align*}
f^{*}(\varphi_1 + \varphi_2) &= f^{*}(\varphi_1 + \varphi_2) &=
(\varphi_1 + \varphi_2) \circ f (\varphi_1 + \varphi_2) \circ f
@@ -293,6 +297,7 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
\begin{proof} \begin{proof}
Seien $u_1, u_2 \in U$, $a \in K$ und $f \in U^{*}$ beliebig. Seien $u_1, u_2 \in U$, $a \in K$ und $f \in U^{*}$ beliebig.
Zunächst: $(\text{ev}(u_1))(f)$ wohldefiniert, weil $f\colon U \to K$ Abbildung ist.
\begin{align*} \begin{align*}
(\text{ev}(u_1 + u_2))(f) &= (\text{ev}(u_1 + u_2))(f) &=
f(u_1 + u_2) f(u_1 + u_2)
@@ -319,6 +324,8 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
Seien $f_1, f_2 \in \text{Hom}_K(U,V)$, Seien $f_1, f_2 \in \text{Hom}_K(U,V)$,
$\varphi \in V^{*}$ $\varphi \in V^{*}$
und $a \in K$ beliebig. und $a \in K$ beliebig.
Zunächst: $(*(f_1))(\varphi) = \varphi \circ f_1$ wohldefiniert, weil $\varphi$ und $f_1$
Abbildungen.
\begin{align*} \begin{align*}
(*(f_1 + f_2))(\varphi) &= ((f_1 + f_2)^{*})(\varphi) (*(f_1 + f_2))(\varphi) &= ((f_1 + f_2)^{*})(\varphi)
= \varphi \circ (f_1 + f_2) = \varphi \circ (f_1 + f_2)