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@@ -88,6 +88,19 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie.
(TR4 in \cite{hartshorne}), das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen. (TR4 in \cite{hartshorne}), das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen.
\end{bem} \end{bem}
\begin{definition}
Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$.
Eine Unterkategorie $\mathcal{R}$ von $\mathcal{T}$ heißt
triangulierte Unterkategorie, wenn gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item für jedes Objekt $X \in \mathcal{T}$ ist $X \in \mathcal{R}$, genau dann wenn
$T(X) \in \mathcal{R}$ ist, und
\item falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{T}$ in $\mathcal{R}$ liegen, so auch
der dritte.
\end{enumerate}
\label{def:triangulated-subcategory}
\end{definition}
\begin{definition}[Triangulierter Funktor] \begin{definition}[Triangulierter Funktor]
Ein additiver (kovarianter) Funktor $F\colon \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ zwischen triangulierten Kategorien Ein additiver (kovarianter) Funktor $F\colon \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ zwischen triangulierten Kategorien
heißt trianguliert, wenn er ausgezeichnete Dreiecke in ausgezeichnete Dreiecke überführt und mit dem heißt trianguliert, wenn er ausgezeichnete Dreiecke in ausgezeichnete Dreiecke überführt und mit dem
@@ -559,7 +572,7 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
\begin{lemma} \begin{lemma}
Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$: Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$:
\[ \[
H^{n}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n]) H^{n}\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n])
.\]\label{hom-compl-cohomgroups} .\]\label{hom-compl-cohomgroups}
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{proof} \begin{proof}
@@ -583,6 +596,23 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im }d^{n-1}$. wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im }d^{n-1}$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{lemma}[$\com{\text{Hom}}(-, -)$ und (Co)limites]
Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$ und seien $(\com{S} _n)_{n \in \N}$ bzw. $(\com{T} _n)_{n \in \N}$
direkte bzw. inverse Systeme in $\mathcal{K}$. Dann sind die natürlichen Homomorphismen
\[
\com{\text{Hom}}(\colim \com{S}_n, \com{X}) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{S}_n, \com{X})
\] und
\[
\com{\text{Hom}}(\com{X}, \lim \com{T}_n) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{T}_n)
\] Isomorphismen.
\label{lemma:inner-hom-commutes-with-limits}
\end{lemma}
\begin{proof}
Das gilt gradweise nach Definition von $\lim$ und man verifiert, dass die gradweisen Homomorphismen,
Komplexhomomorphismen bilden.
\end{proof}
\begin{lemma}[Tensorprodukt ist trianguliert] \begin{lemma}[Tensorprodukt ist trianguliert]
Sei $\com{M} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Sei $\com{M} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$.
Dann ist $- \otimes_A \com{M}$ (und $\com{M} \otimes_A -$) ein triangulierter Funktor von $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$ Dann ist $- \otimes_A \com{M}$ (und $\com{M} \otimes_A -$) ein triangulierter Funktor von $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$
@@ -629,7 +659,7 @@ eine Unterkategorie $\mathcal{L}$ von Komplexen in $\mathcal{K}$, sodass
\item für jeden Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ ein Quasiisomorphismus \item für jeden Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ ein Quasiisomorphismus
$\com{X} \to \com{I}$ mit $\com{I} \in \mathcal{L}$ $\com{X} \to \com{I}$ mit $\com{I} \in \mathcal{L}$
(bzw. $\com{P} \to \com{X} $ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$) (bzw. $\com{P} \to \com{X} $ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$)
existiert und existiert, und
\item $\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$) Exaktheit \item $\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$) Exaktheit
von Komplexen aus $\mathcal{L}$ erhält. von Komplexen aus $\mathcal{L}$ erhält.
\end{enumerate} \end{enumerate}
@@ -658,6 +688,7 @@ Das Ziel dieses Abschnitts ist das folgende Resultat:
Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln. Dann Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln. Dann
hat jeder Komplex in $\mathcal{A}$ eine K-injektive und eine K-projektive hat jeder Komplex in $\mathcal{A}$ eine K-injektive und eine K-projektive
Auflösung. Auflösung.
\label{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions}
\end{satz} \end{satz}
Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}. Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}.
@@ -667,28 +698,37 @@ Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}.
Zunächst werden einige grundlegenden Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Zunächst werden einige grundlegenden Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven
Komplexen entwickelt. Komplexen entwickelt.
\begin{bem} \begin{lemma}[]
Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$ Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Es gilt
\begin{align*}
\com{X} \text{ K-injektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}\\
\com{X} \text{ K-projektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
.\end{align*}
\label{lemma:mork-crit-for-k-inj}
\end{lemma}
\begin{proof}
Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$
genau dann K-injektiv, wenn für jeden exakten Komplex genau dann K-injektiv, wenn für jeden exakten Komplex
$\com{S} \in \mathcal{K}$ gilt, dass $\com{S} \in \mathcal{K}$ gilt, dass
$\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$ $\forall i \in \Z$. $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$ $\forall i \in \Z$.
Da Verschieben Exaktheit erhält folgt also Da Verschieben Exaktheit erhält folgt die Behauptung. Die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile.
\[ \end{proof}
\com{X} \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
.\]
Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir
\[
\com{X} \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}
\]
\end{bem}
\begin{bem} \begin{lemma}
Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop. Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$
\begin{proof} ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit \end{lemma}
$\com{X} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\K$.
\end{proof} \begin{proof}
\end{bem} Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X})
\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=} \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
$\com{X} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\K$.
\end{proof}
Für ein Objekt $X \in \mathcal{A}$ stellt sich die Frage, ob Injektivität (bzw. Projektivität) von $X$ in $\mathcal{A}$
mit K-injektivität (bzw. K-projektivität) des Komplexes $\com{X}$, wobei $X^{i} = 0$ für alle $i \neq 0$ und
$X^{0} = X$, zusammenhängt. Die folgende Aussage stellt diesen Zusammenhang her:
\begin{satz} \begin{satz}
Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau
@@ -700,15 +740,15 @@ Komplexen entwickelt.
\begin{proof} \begin{proof}
Wir zeigen nur den K-projektiven Fall. Der K-injektive folgt dann durch Umdrehen Wir zeigen nur den K-projektiven Fall. Der K-injektive folgt dann durch Umdrehen
aller Pfeile. aller Pfeile.
,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to N \to P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = [0 \to M \to N \to P \to 0]$ eine kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
$f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$ $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$:
\[\begin{tikzcd} \[\begin{tikzcd}
0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r} 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r}
& 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\ & 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\
M \arrow{r} & N \arrow{r}{v} & P \arrow{r} & 0 M \arrow{r} & N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{v} & P \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}\] \end{tikzcd}\]
Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, d.h. es existiert $k \colon X^{0} \to N$, s.d. $f = vk$. Also ist Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, das heißt es existiert ein $k \colon X^{0} \to N$, sodass $f = vk$. Also ist
$\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv. $v_{*}\colon \text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.
,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$ ,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
Komplexhomomorphismus. Dann betrachte Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
@@ -717,40 +757,45 @@ Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
0 \arrow[from=1-1,to=1-3] \arrow{d} & & X^{0} \arrow{r} 0 \arrow[from=1-1,to=1-3] \arrow{d} & & X^{0} \arrow{r}
\arrow[dashed, from=1-3,to=2-1]{}{k^{0}} \arrow[dashed, from=1-3,to=2-1]{}{k^{0}}
\arrow[dashed]{dl} \arrow{d}{f^{0}} & 0 \arrow{d} \\ \arrow[dashed]{dl} \arrow{d}{f^{0}} & 0 \arrow{d} \\
S^{-1} \arrow{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1} S^{-1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1}
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
.\] .\]
Da $d^{0}f^{0} = 0$ faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil Da $d^{0}f^{0} = 0$, faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil
$X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$. $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{satz}[] \begin{satz}[]
\begin{enumerate}[(i)] Die volle Unterkategorie der K-projektiven (bzw. K-injektiven) Komplexe in $\mathcal{K}$ ist
\item $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau dann wenn $\com{X}[1]$ dies ist. eine triangulierte Unterkategorie.
\item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind,
dann auch der dritte.
\end{enumerate}
\label{satz:k-proj-triangulated} \label{satz:k-proj-triangulated}
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
Wir zeigen Bedingungen (i) und (ii) aus \ref{def:triangulated-subcategory} in
der K-projektiven Version, die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile.
\begin{enumerate}[(i)] \begin{enumerate}[(i)]
\item Das folgt, daraus dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$ \item Das folgt aus \ref{lemma:mork-crit-for-k-inj}
und daraus, dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
exakt und exakt und
\[ \[
\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S}) \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})
.\] .\]
\item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}$
und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$ mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
ist dann mit \ref{hom-cohom-func} und $\com{S} \in \mathcal{K}$ ein exakter Komplex. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
ist dann mit \ref{hom-cohom-func} die Folge
\[ \[
\underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0} \begin{tikzcd}
\to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} ) \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0} \arrow{r}
\to & \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} ) \arrow{r}
&
\underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0} \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0}
\end{tikzcd}
.\]
\[
\] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt
$\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, und damit $\com{Z} $ K-projektiv.
mit \hyperref[TR2]{TR2}. Der allgemeine Fall folgt nun mit \hyperref[TR2]{TR2}.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proof} \end{proof}
@@ -785,34 +830,34 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} & \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} &
\underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0} \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0}
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
.\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv, also folgt der behauptete Isomorphismus. .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv ist, also folgt der behauptete Isomorphismus.
(ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach
\ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein $t\colon \com{S} \to \com{T} $ Quasiisomorphismus, s.d. $tf= 0$. \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{S} \to \com{T} $ , sodass $tf= 0$.
Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $ Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $
injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann
ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$ ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
& \com{M} & \\ & \com{Y} & \\
\com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S}
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{M} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also
kommutiert kommutiert
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
& \com{S} \arrow{d}{s} & \\ & \com{S} \arrow{d}{s} & \\
\com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{M} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\ \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{Y} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
& \com{M} \arrow{u}{\text{id}} & \\ & \com{Y} \arrow{u}{\text{id}} & \\
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
.\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$. .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$.
(iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also
$\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also
\[ \[
\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} )
\stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{S} ) \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} )
= \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{0} ) = 0 = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{0} ) = 0
.\] .\]
\end{proof} \end{proof}
@@ -823,13 +868,13 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
\item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$ \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
& \com{M} \arrow{d}{s} \\ & \com{X} \arrow{d}{s} \\
\com{P} \arrow{r}{f} & \com{N}\\ \com{P} \arrow{r}{f} & \com{Y}\\
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{M} $, s.d. \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{X} $, sodass
$sg= f$ in $\mathcal{K}$. $sg= f$ in $\mathcal{K}$.
\item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein \item Für alle Quasiisomorphismen $s\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
$v\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$. $g\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{satz} \end{satz}
@@ -840,7 +885,8 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
& \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\ & \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\
\com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y} \com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
.\] Da $s$ Quasiisomorphismus, ist $s$ Isomorphismus in $\mathcal{D}$, also existiert ein .\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist, induziert $s$ einen Isomorphismus in $\mathcal{D}$.
Also existiert genau ein
$g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-for-kproj} $g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-for-kproj}
(iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$. (iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$.
@@ -850,16 +896,18 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
& \com{S} \arrow{d}{s} \\ & \com{S} \arrow{d}{s} \\
\com{P} \arrow{r}{\text{id}} & \com{P} \com{P} \arrow{r}{\text{id}} & \com{P}
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
.\] Da $s$ Quasiisomorphismus existiert mit (ii) ein $f\colon \com{P} \to \com{S}$, s.d. $sf = \text{id}_{\com{P} }$. .\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist,
existiert mit (ii) ein $g\colon \com{P} \to \com{S}$, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$.
(iii)$\implies$(ii): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für (iii)$\implies$(i): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für
$\com{S} \in \mathcal{K}$ $\com{S} \in \mathcal{K}$
$\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist. $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist.
Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann
existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein $t\colon \com{T} \to \com{P} $ Quasiisomorphismus mit $ft = 0$. existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{T} \to \com{P} $
Also existiert mit (iii) ein $s\colon \com{P} \to \com{T} $, s.d. $ts = \text{id}_{\com{P} }$, also mit $ft = 0$.
Also existiert mit (iii) ein $g\colon \com{P} \to \com{T} $, sodass $tg = \text{id}_{\com{P} }$, also
\[ \[
f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}s = 0 f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}g = 0
.\] .\]
Surjektivität: Sei $a \colon \com{P} \to \com{S} $ in $\mathcal{D}$. Dann ist $a$ gegeben durch ein Diagramm Surjektivität: Sei $a \colon \com{P} \to \com{S} $ in $\mathcal{D}$. Dann ist $a$ gegeben durch ein Diagramm
\[ \[
@@ -894,23 +942,17 @@ Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:
\com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\ \com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\
\com{X} \com{X}
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, s.d. das Diagramm \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, sodass das Diagramm
kommutiert. kommutiert.
\item Für jeden Quasiisomorphismus $u\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein \item Für jeden Quasiisomorphismus $s\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
$v\colon \com{S} \to \com{I} $, s.d. $vu = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$. $g\colon \com{S} \to \com{I} $, sodass $gs = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\label{satz:mork=mord-for-k-inj} \label{satz:mork=mord-for-k-inj}
\end{satz} \end{satz}
\subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme} \subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme}
In der Notation von Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive und eine K-projektive
\ref{satz:existence-derived-functors}
möchten wir die Klasse der K-injektiven bzw. K-projektiven Komplexe als $\mathcal{L}$
für die Funktoren
$\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$ bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ für $\com{M} \in \mathcal{K}$ verwenden.
Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive bzw. eine K-projektive
Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen bzw. direkten Systemen. Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen bzw. direkten Systemen.
\begin{definition}[Spezielles inverses System] \begin{definition}[Spezielles inverses System]
@@ -931,11 +973,9 @@ Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen
$\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder
Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist. Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\label{def:special-inv-system}
\end{definition} \end{definition}
Im Folgenden möchten wir zeigen, dass die Klasse der K-projektiven Komplexe
abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die folgenden Lemmata:
% TODO: beispiel funktioniert nicht mit N als indexmenge, wird nicht benoetigt % TODO: beispiel funktioniert nicht mit N als indexmenge, wird nicht benoetigt
%\item Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen abgeschlossen unter speziellen inversen Limites mit %\item Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen abgeschlossen unter speziellen inversen Limites mit
% $\com{A} \in \mathcal{J} \iff \com{A}[1] \in \mathcal{J}$. Dann ist für $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{J}$ % $\com{A} \in \mathcal{J} \iff \com{A}[1] \in \mathcal{J}$. Dann ist für $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{J}$
@@ -974,143 +1014,180 @@ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die fol
$\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$. $\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$.
\end{proof} \end{proof}
Unser Ziel ist nun zu zeigen, dass die Klasse der exakten Komplexe abgeschlossen ist bezüglich spezieller Im Folgenden zeigen wir, dass die Klasse der K-injektiven Komplexe
inverser Limites. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir ein technisches Hilfswerkzeug. abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu zeigen wir zunächst, dass dies für die Klasse
der exakten Komplexe gilt. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir dafür ein
Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$.
$\mathcal{A}b$.
\begin{definition} \begin{definition}
Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende %Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende
Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den %Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den
von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$. %von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$.
Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung Ein inverses System $(M_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: (R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
\begin{enumerate}[(i)] \begin{enumerate}[(i)]
\item $I$ genügt Bedingung (S).
\item $M_1 = 0$. \item $M_1 = 0$.
\item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv. \item Für $n > 1$ ist die Abbildung $M_n \to M_{n-1}$ surjektiv.
\end{enumerate} \end{enumerate}
%Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
%(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
%\begin{enumerate}[(i)]
% \item $I$ genügt Bedingung (S).
% \item $M_1 = 0$.
% \item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv.
%\end{enumerate}
\label{def:cond-r}
\end{definition} \end{definition}
\begin{bsp}
Spezielle inverse Systeme erfüllen (R).
\end{bsp}
\begin{lemma} \begin{lemma}
Sei $I$ eine Indexmenge, die Bedingung (S) genügt und seien Seien
$(A_i)_{i \in I}$, $(B_{i})_{i \in I}$, $(C_i)_{i \in I}$ und $(D_i)_{i \in I}$ $(A_n)_{n \in \N}$, $(B_{n})_{n \in \N}$, $(C_n)_{n \in \N}$ und $(D_n)_{n \in \N}$
inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien
\begin{equation} \begin{equation}
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
(A_i)_{i \in I} \arrow{r}{f_i} & (B_i)_{i \in I} \arrow{r}{g_i} & (A_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(f_n)_{n \in \N}} & (B_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(g_n)_{n \in \N}} &
(C_i)_{i \in I} \arrow{r}{h_i} & (D_i)_{i \in I} (C_n)_{n \in \N} \arrow{r}{(h_n)_{n \in \N}} & (D_n)_{n \in \N}
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\label{eq:0.11-inv-systems} \label{eq:0.11-inv-systems}
\end{equation} \end{equation}
Morphismen von inversen Systemen mit $g_i \circ f_i = 0 = h_i \circ g_i$ Morphismen von inversen Systemen mit $g_n \circ f_n = 0 = h_n \circ g_n$
für $i \in I$ und sei für $n \in \N$ und sei
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $i \in I$ mit $i > I_{\text{min}}$ \] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $n \in \N$ mit $n > 1$
seien $A_i'$, $B_i'$, $C_i'$ und $D_i'$ die jeweiligen Kerne seien $A_n'$, $B_n'$, $C_n'$ und $D_n'$ die jeweiligen Kerne
der Übergangsabbildungen $A_i \to A_{i-1}$, $B_i \to B_{i-1}$, $C_i \to C_{i-1}$ der Übergangsabbildungen $A_n \to A_{n-1}$, $B_n \to B_{n-1}$, $C_n \to C_{n-1}$
und $D_i \to D_{i-1}$. und $D_n \to D_{n-1}$.
Sei weiter $j \in I$, s.d. für alle $i > j$ die Folge Sei weiter $N \in \N$, s.d. für alle $n > N$ die Folge
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
A_i' \arrow{r} & B_i' \arrow{r} & C_i' \arrow{r} & D_i' A_n' \arrow{r} & B_n' \arrow{r} & C_n' \arrow{r} & D_n'
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] exakt ist. \] exakt ist.
Dann ist die natürliche Abbildung Dann ist die natürliche Abbildung
\[ \[
\text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_j / \text{im } f_j \text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_N / \text{im } f_N
\] ein Isomorphismus. \] ein Isomorphismus.
\label{0.11} \label{0.11}
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{proof} \begin{proof}
Durch Umbenennung können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \N$. Sei Sei
$j \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das kommutative Diagramm: $N \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das folgende kommutative Diagramm und
mache Diagrammjagd.
\begin{equation} \begin{equation}
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow{r} A \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow[hookrightarrow]{r}
& \text{ker } g \arrow{r} \arrow{d} & \text{ker } g \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{d}
& B \arrow{r}{g} \arrow{d} & B \arrow{r}{g} \arrow{d}
& C \arrow{r}{h} \arrow{d} & C \arrow{r}{h} \arrow{d}
& D \arrow{d} \\ & D \arrow{d} \\
A_j \arrow{r}{f_j} & \text{im } f_j \arrow{r} A_N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_N} & \text{im } f_N \arrow[hookrightarrow]{r}
& \text{ker } g_j \arrow{r} & \text{ker } g_N \arrow[hookrightarrow]{r}
& B_j \arrow{r}{g_j} & B_N \arrow{r}{g_N}
& C_j \arrow{r}{h_j} & C_N \arrow{r}{h_N}
& D_j \\ & D_N \\
A_{j+1} \arrow{r}{f_{j+1}} \arrow{u}{p_{A}} & \text{im } f_{j+1} \arrow{r} \arrow{u} A_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_{A}}
& \text{ker } g_{j+1} \arrow{r} \arrow{u} & \text{im } f_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u}
& B_{j+1} \arrow{r}{g_{j+1}} \arrow{u}{p_B} & \text{ker } g_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u}
& C_{j+1} \arrow{r}{h_{j+1}} \arrow{u}{p_C} & B_{N+1} \arrow{r}{g_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_B}
& D_{j+1} \arrow{u}{p_D} \\ & C_{N+1} \arrow{r}{h_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_C}
\text{ker } p_{A_{j+1}} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow{u} & & & D_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_D} \\
& \text{ker } p_{B_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u} \text{ker } p_{A} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow[hookrightarrow]{u} & &
& \text{ker } p_{C_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u} & \text{ker } p_{B} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u}
& \text{ker } p_{D_{j+1}} \arrow{u} \\ & \text{ker } p_{C} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u}
& \text{ker } p_{D} \arrow[hookrightarrow]{u} \\
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\label{eq:0.11-diag} \label{eq:0.11-diag}
\end{equation} \end{equation}
Injektivität: Sei $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_j \in \text{im }f_j$. Injektivität: Sei $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_N \in \text{im }f_N$.
Dann existiert ein $a_j \in A_j$, sodass $f_j(a_j) = b_j$. Da $p_A$ surjektiv, Dann existiert ein $a_N \in A_N$, sodass $f_N(a_N) = b_N$. Da $p_A$ surjektiv ist,
existiert ein $x \in A_{j+1}$, sodass $p_A(x) = a_j$. Sei existiert ein $x \in A_{N+1}$, sodass $p_A(x) = a_N$. Sei
$y = f_{j+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ, $y = f_{N+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ ist,
ist $p_{B}(y) = b_j$. Da $(b_i)_{i \in \N}$ ein kompatibles folgt
System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{j+1}) = b_j$. Also ist \[
$b_{j+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{j+1} \in \text{ker } g_{j+1}$, p_B(y) = p_B(f_{N+1}(x)) = f_N(p_A(x)) = f_N(a_N) = b_N
.\] Da $(b_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles
System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{N+1}) = b_N$. Also ist
$b_{N+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{N+1} \in \text{ker } g_{N+1}$,
existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$, existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$,
sodass $f_{j+1}(\tilde{x}) = b_{j+1} - y$. Nun sodass $f_{N+1}(\tilde{x}) = b_{N+1} - y$. Nun
setze $a_{j+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist setze $a_{N+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
$f_{j+1}(a_{j+1}) = b_{j+1}$ und $p_{A}(a_{j+1}) = a_j$, denn \[
$\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible f_{N+1}(a_{N+1}) = f_{N+1}(\tilde{x} + x) = b_{N+1} - y + y = b_{N+1}
Familie $(a_{i})_{i\ge j}$ mit $f(a_i) = (b_i)_{i \ge j}$. Für $i < j$ setze \]
$a_i \coloneqq p_{A_{i+1}}(a_{i+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag} und
liefert dann ein kompatibles System $(a_i)_{i \in \N}$ mit \[
$f(a_{i}) = (b_{i})_{i \in \N}$ p_{A}(a_{N+1}) = p_{A}(\tilde{x} + x) = p_{A}(x) = a_N
,\] denn $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
Familie $(a_{n})_{n\ge N}$ mit $f(a_n) = b_n$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze
$a_n \coloneqq p_{A_{n+1}}(a_{n+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
liefert dann, dass $(a_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles System ist mit $f(a_{n}) = b_n$ für alle $n \in \N$.
Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_j$. Weil $p_B$ surjektiv, existiert dann ein Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_N$. Weil $p_B$ surjektiv ist, existiert ein
$y \in B_{j+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{j+1}(y)$. $y \in B_{N+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{N+1}(y)$.
Aufgrund der Kommutativität von Aufgrund der Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag} ist dann \eqref{eq:0.11-diag} ist dann
$p_C(z) = p_C(g_{j+1}(y)) = g_j(p_B(y)) = g_j(b) = 0$, also \[
folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{j+1} \circ g_{j+1} = 0$ folgt p_C(z) = p_C(g_{N+1}(y)) = g_N(p_B(y)) = g_N(b) = 0
$h_{j+1}(z) = h_{j+1}(g_{j+1}(z)) = 0$. Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun ,\]
ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{j+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist also
$y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{j+1}$ und $p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b$. folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{N+1} \circ g_{N+1} = 0$ folgt
Setze $b_{j+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_j \coloneqq b$. \[
h_{N+1}(z) = h_{N+1}(g_{N+1}(z)) = 0
.\]
Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{N+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
$y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{N+1}$ und
\[
p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b
.\]
Setze $b_{N+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_N \coloneqq b$.
Dann konstruiere induktiv eine kompatible Dann konstruiere induktiv eine kompatible
Familie $(b_i)_{i \ge j}$ mit $b_i \in \text{ker } g_{i}$. Für $i < j$ setze wie Familie $(b_n)_{n \ge N}$ mit $b_n \in \text{ker } g_{n}$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze wie
oben $b_i \coloneqq p_{B_{i+1}}(b_{i+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von oben $b_n \coloneqq p_{B_{n+1}}(b_{n+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag} ein kompatibles System $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$ mit \eqref{eq:0.11-diag}, dass $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$ ein kompatibles System mit $b_N = b$ ist.
$b_j = b$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{bem}
Falls in der Situation von \ref{0.11}, $N= 1$ gewählt werden kann, folgt wegen $A_1 = B_1 = C_1 = D_1 = 0$,
dass die Folge
\[
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C
\end{tikzcd}
\] exakt ist.
\end{bem}
\begin{lemma} \begin{korollar}
Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. Die Klasse $\mathcal{E}$ der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
\label{lemma:exact-comp-complete-inv} \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
\end{lemma} \end{korollar}
\begin{proof} \begin{proof}
Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$ Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $\mathcal{E}$-spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{0.11}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{def:cond-r}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
\[ \[
(S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N} (S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N}
\] die Bedingungen von \ref{0.11}, da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$ \] die Bedingungen von \ref{0.11} für $N = 1$,
exakt ist. Also ist da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ der Komplex $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
exakt ist. Also ist die Folge
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
\lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\ \lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\
(\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1} (\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1}
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] exakt. Da $i \in \Z$ beliebig, folgt $\lim S_n$ exakt. \] exakt. Da $i \in \Z$ beliebig war, folgt dass $\lim S_n$ exakt ist.
\end{proof} \end{proof}
\begin{satz} \begin{satz}
@@ -1126,9 +1203,10 @@ $\mathcal{A}b$.
\begin{proof} \begin{proof}
Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielles inverses System. Dann ist Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielles inverses System. Dann ist
$(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles System, denn $(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, denn
\begin{enumerate}[(i)] \begin{enumerate}[(i)]
\item $F(S_1) = F(1) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der Limes des leeren Diagramms \item $F(S_1) = F(0) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der (inverse)
Limes des leeren Diagramms
ist. ist.
\item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung \item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung
\[ \[
@@ -1144,7 +1222,7 @@ $\mathcal{A}b$.
\] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch \] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch
$\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$. $\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$.
\end{enumerate} \end{enumerate}
Also $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$. Also ist $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{korollar}[] \begin{korollar}[]
@@ -1157,26 +1235,26 @@ $\mathcal{A}b$.
\end{korollar} \end{korollar}
\begin{proof} \begin{proof}
Sei $\mathcal{J}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
$\mathcal{E}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass $\mathcal{H}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
$\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann
ist $\mathcal{E}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$. $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt ist $\mathcal{H}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$.
$\mathcal{E}$ mit $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn: die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn:
\begin{enumerate}[(i)] \begin{enumerate}[(i)]
\item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist \item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist
$\mathcal{J}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. $\mathcal{E}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
\item Wegen \ref{satz:adjunction-hom-tor-comp} ist $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ rechtsadjungiert und \item Wegen \ref{lemma:inner-hom-commutes-with-limits} vertauscht $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ mit Limites.
vertauscht daher mit Limites. Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also
gradweise zerfallende Folgen. gradweise zerfallende Folgen.
\end{enumerate} \end{enumerate}
Also ist $\mathcal{E}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{E}_{\com{T} }$ Also ist $\mathcal{H}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{H}_{\com{T} }$
abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{E}$ gesetzt wird.
Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{J}$ gesetzt wird.
\end{proof} \end{proof}
Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebnisse: Für die Klasse der K-injektiven Komplexe betrachten wir die duale Version von \ref{def:special-inv-system}:
\begin{definition}[Spezielles direktes System] \begin{definition}[Spezielles direktes System]
Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen. Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
@@ -1198,8 +1276,8 @@ Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebniss
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{definition} \end{definition}
Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir auch eine duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}. Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir die duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}
Ebenfalls analog gilt: und insbesondere die folgenden Ergebnisse:
% brauche ich nicht % brauche ich nicht
%\begin{lemma} %\begin{lemma}